移送準同型(被覆空間)

同義語：被覆空間の移送準同型transfer homomorphism of a covering space

概要

前提知識: 被覆空間, 被覆変換群, 特異コホモロジー

移送準同型（transfer homomorphism）は、有限 $n$ 重の被覆写像 $p\colon\tilde X\to X$ について、被覆写像が誘導する写像とは逆向きに、底空間 $X$ のホモロジーから被覆空間 $\tilde X$ のホモロジーへ向かう準同型 $\tau_*\colon H_q(X;A)\to H_q(\tilde X;A)$ である。特異単体 $\sigma\colon\Delta^q\to X$ を、その $n$ 個の持ち上げの和に写す鎖写像から得られる。コホモロジーでは向きが逆になり、$\tau^*\colon H^q(\tilde X;A)\to H^q(X;A)$ を与える。
基本の関係は $p_*\circ\tau_*=n$ と $\tau^*\circ p^*=n$ で、鎖・余鎖の段階で成り立つ。ここから、$n$ 倍が可逆な係数（有理数など）では $p_*$ は全射、$p^*$ は単射になり、底空間のホモロジーは被覆空間のホモロジーの像として捉えられる。空間が弧状連結かつ局所弧状連結で、被覆が正則で被覆変換群が $\Gamma$ なら、逆の合成 $\tau_*\circ p_*$ は $\Gamma$ の元の作用の和になり、有理係数のコホモロジー $H^q(X;\mathbb{Q})$ は $H^q(\tilde X;\mathbb{Q})$ の $\Gamma$ 不変部分と同型になる。

定義

以下、$n\ge1$ を整数、$A$ をアーベル群とする。被覆写像 $p\colon\tilde X\to X$（被覆空間の記事の定義「被覆写像と被覆空間」）は、どの点のファイバー $p^{-1}(x)$ もちょうど $n$ 点からなるとき $n$ 重被覆という。$X$ が連結なら、ファイバーの濃度は一定である（同記事の命題「ファイバーの濃度の局所定数性」）。
空間 $Y$ の特異鎖複体を $S_\bullet(Y)$ と書き、$S_q(Y;A):=S_q(Y)\otimes A$、$S^q(Y;A):=\operatorname{Hom}(S_q(Y),A)$ とする。余境界は特異コホモロジーの記事の定義「特異コホモロジー」のとおり $\delta\varphi=\varphi\circ\partial$ である。$H_q(Y;A)$、$H^q(Y;A)$ はこれらの（余）鎖複体の（コ）ホモロジーである。

特異単体の持ち上げ全体

$p\colon\tilde X\to X$ を $n$ 重被覆、$\sigma\colon\Delta^q\to X$ を特異 $q$ 単体とし、$p\circ\tilde\sigma=\sigma$ となる連続写像 $\tilde\sigma\colon\Delta^q\to\tilde X$ 全体の集合を $L(\sigma)$ とする。

任意の $u\in\Delta^q$ について、$\tilde\sigma\mapsto\tilde\sigma(u)$ は全単射 $L(\sigma)\to p^{-1}(\sigma(u))$ である。とくに $L(\sigma)$ はちょうど $n$ 個の元をもつ。
$q\ge1$ と面写像 $d_i\colon\Delta^{q-1}\to\Delta^q$ について、$\tilde\sigma\mapsto\tilde\sigma\circ d_i$ は全単射 $L(\sigma)\to L(\sigma\circ d_i)$ である。

単体は単連結

要点：$u$ から各点への線分を持ち上げた終点で持ち上げを作り、凸性から道の取り方によらないことを使って連続性を示す。

詳しい証明を開く

1. 一意性は、$\Delta^q$ が連結なので被覆空間の記事の定理「持ち上げの一意性」による。存在を示す。$y\in p^{-1}(\sigma(u))$ を固定し、$v\in\Delta^q$ について線分 $\ell_v(t):=(1-t)u+tv$ をとり、$\sigma\circ\ell_v$ の $y$ を始点とする持ち上げ（同記事の定理「道の持ち上げ」）の終点を $\tilde\sigma(v)$ とする。$p\circ\tilde\sigma=\sigma$、$\tilde\sigma(u)=y$ である。連続性：$v_0\in\Delta^q$ について、$\sigma(v_0)$ の均一被覆近傍 $V$ と $\tilde\sigma(v_0)$ を含むシート $W$ をとり、$v_0$ の凸な相対開近傍 $N\subset\sigma^{-1}(V)$ をとる。$v\in N$ について、$\ell_v$ と「$\ell_{v_0}$ に続けて $v_0$ から $v$ への線分をたどる道」は、$\Delta^q$ が凸なので線分による補間で端点を固定してホモトピックであり、同記事の系「道のホモトピー類と持ち上げの終点」により、$\sigma$ と合成した道の持ち上げの終点は等しい。後半の線分は $N$ の中にあるので、その持ち上げは $(p|_W)^{-1}\circ\sigma$ で与えられる。よって $N$ 上で $\tilde\sigma=(p|_W)^{-1}\circ\sigma$ であり、$\tilde\sigma$ は連続である。最後に、評価写像は一意性により単射で、いま示した存在により全射である。

2. $\tilde\sigma\circ d_i$ は $\sigma\circ d_i$ の持ち上げなので、写像は定まる。$\Delta^{q-1}$ の点 $v$ を 1 つとると、1 により $L(\sigma)$ も $L(\sigma\circ d_i)$ も、$\tilde\sigma\mapsto\tilde\sigma(d_i(v))$ と $\rho\mapsto\rho(v)$ で同じファイバー $p^{-1}(\sigma(d_i(v)))$ と全単射に対応し、制限はこの対応と両立する。よって制限は全単射である。$\square$

移送準同型

$p\colon\tilde X\to X$ を $n$ 重被覆とする。準同型 $\tau_\#\colon S_q(X)\to S_q(\tilde X)$ を、特異単体 $\sigma$ について
$$ \tau_\#(\sigma):=\sum_{\tilde\sigma\in L(\sigma)}\tilde\sigma $$
で定め（lem-trf-lifts により $n$ 項の和）、$S_q(X;A)$ には $\tau_\#\otimes\mathrm{id}_A$ を、$S^q(\tilde X;A)$ には $\tau^\#(\varphi):=\varphi\circ\tau_\#$ を考える。prop-trf-chain により、これらが誘導する
$$ \tau_*\colon H_q(X;A)\to H_q(\tilde X;A),\qquad\tau^*\colon H^q(\tilde X;A)\to H^q(X;A) $$
を $p$ の移送準同型（移送）という。

$\tau^\#$ を具体的に書くと $(\tau^\#\varphi)(\sigma)=\sum_{\tilde\sigma\in L(\sigma)}\varphi(\tilde\sigma)$ である。被覆写像が誘導する $p_*\colon H_q(\tilde X;A)\to H_q(X;A)$ とは向きが逆である。

移送は鎖写像

$\partial\circ\tau_\#=\tau_\#\circ\partial$ であり、$\tau^\#$ は余境界と可換である。

面と持ち上げの対応

$q\ge1$ と特異 $q$ 単体 $\sigma$ について、lem-trf-lifts の 2 で和の添字を取り替えると
$$ \partial\tau_\#(\sigma)=\sum_{i=0}^q(-1)^i\sum_{\tilde\sigma\in L(\sigma)}\tilde\sigma\circ d_i=\sum_{i=0}^q(-1)^i\sum_{\rho\in L(\sigma\circ d_i)}\rho=\tau_\#(\partial\sigma) $$
である（同じ面が何度現れても、添字 $i$ ごとに数える）。$q=0$ では両辺とも $0$ である。係数を付けた鎖写像 $\tau_\#\otimes\mathrm{id}_A$ も境界と可換である。$\delta(\tau^\#\varphi)=\varphi\circ\tau_\#\circ\partial=\varphi\circ\partial\circ\tau_\#=\tau^\#(\delta\varphi)$ である。$\square$

主定理

移送と被覆写像の合成

$p\colon\tilde X\to X$ を $n$ 重被覆とし、$p_\#$、$p^\#$ を $p$ が誘導する鎖写像・余鎖写像とする。鎖と余鎖の段階で
$$ p_\#\circ\tau_\#=n\cdot\mathrm{id}_{S_\bullet(X;A)},\qquad\tau^\#\circ p^\#=n\cdot\mathrm{id}_{S^\bullet(X;A)} $$
が成り立つ。したがって、すべての $q$ について $p_*\circ\tau_*=n\cdot\mathrm{id}_{H_q(X;A)}$、$\tau^*\circ p^*=n\cdot\mathrm{id}_{H^q(X;A)}$ である。

持ち上げを押し戻す

特異単体 $\sigma$ の持ち上げ $\tilde\sigma\in L(\sigma)$ はどれも $p\circ\tilde\sigma=\sigma$ を満たすので、$p_\#\tau_\#(\sigma)=\sum_{\tilde\sigma\in L(\sigma)}\sigma=n\sigma$ である。余鎖では $(\tau^\#p^\#\varphi)(\sigma)=\sum_{\tilde\sigma\in L(\sigma)}\varphi(p\circ\tilde\sigma)=n\varphi(\sigma)$ である。鎖写像の等式はホモロジー・コホモロジーに降りる。$\square$

逆の合成 $\tau_*\circ p_*$、$p^*\circ\tau^*$ は一般には $n$ 倍でない（ex-trf-sphere）。

移送から従う制約

$p\colon\tilde X\to X$ を $n$ 重被覆とする。

$\tau_*\colon H_q(X;A)\to H_q(\tilde X;A)$ の核と $p^*\colon H^q(X;A)\to H^q(\tilde X;A)$ の核の元は、$n$ 倍すると $0$ になる。
$nH_q(X;A)\subset\operatorname{im}p_*$、$nH^q(X;A)\subset\operatorname{im}\tau^*$ である。
$A$ 上の $n$ 倍写像が全単射なら（$A=\mathbb{Q}$ や、$n$ と互いに素な $\ell$ について $A=\mathbb{Z}/\ell$ など）、$\tau_*$ と $p^*$ は単射、$p_*$ と $\tau^*$ は全射である。

合成が $n$ 倍であることを使う

$\tau_*x=0$ なら $nx=p_*\tau_*x=0$、$p^*\alpha=0$ なら $n\alpha=\tau^*p^*\alpha=0$ である。2 は $nx=p_*(\tau_*x)$、$n\alpha=\tau^*(p^*\alpha)$ による。3. 鎖の段階の $n$ 倍は、係数の準同型 $\mu\colon A\to A$、$a\mapsto na$ が誘導する写像 $\mathrm{id}\otimes\mu$（余鎖では $\varphi\mapsto\mu\circ\varphi$）である。$\mu$ が同型なら、その逆が誘導する写像が逆写像になるので、$H_q(X;A)$、$H^q(X;A)$ 上の $n$ 倍は全単射である。$p_*\tau_*$ が全単射なので $\tau_*$ は単射、$p_*$ は全射であり、$\tau^*p^*$ が全単射なので $p^*$ は単射、$\tau^*$ は全射である。$\square$

正則被覆の場合

被覆変換 $\gamma\colon\tilde X\to\tilde X$ は鎖写像 $\gamma_\#$ と余鎖写像 $\gamma^\#$ を誘導する。$p\circ\gamma=p$ なので $p_\#\gamma_\#=p_\#$、$\gamma^\#p^\#=p^\#$ である。

正則被覆の移送

$\tilde X$ と $X$ を弧状連結かつ局所弧状連結な空間、$p\colon\tilde X\to X$ を正則被覆（被覆変換群の記事の定義「正規化群と正則被覆」）とし、被覆変換群 $\Gamma$ は位数 $n$ の有限群とする。このとき $p$ は $n$ 重被覆であり、次が成り立つ。

鎖と余鎖の段階で $\tau_\#\circ p_\#=\sum_{\gamma\in\Gamma}\gamma_\#$、$p^\#\circ\tau^\#=\sum_{\gamma\in\Gamma}\gamma^\#$ である。
$A$ 上の $n$ 倍写像が全単射なら、$p^*$ は同型 $H^q(X;A)\cong H^q(\tilde X;A)^\Gamma$（$\Gamma$ で動かない元の部分群）を与え、$p_*$ は同型 $H_q(\tilde X;A)_\Gamma\cong H_q(X;A)$（$\gamma_*x-x$ で生成される部分群による商）を誘導する。

持ち上げは被覆変換で移り合う

要点：正則被覆では、特異単体 $\tilde\sigma$ の像 $p\circ\tilde\sigma$ の持ち上げは $\gamma\circ\tilde\sigma$（$\gamma\in\Gamma$）でちょうど尽くされる。2 は 1 と thm-trf-main から、$n$ で割ることで従う。

詳しい証明を開く

$\Gamma$ はファイバーに自由に作用し（被覆変換群の記事の補題「被覆変換は 1 点で決まる」）、正則被覆なので推移的に作用する（同記事の系「正則被覆の特徴づけ」）。よって各ファイバーは $\Gamma$ と同じ $n$ 点からなる。

1. $\tilde X$ の特異単体 $\tilde\sigma$ について、$\gamma\circ\tilde\sigma$（$\gamma\in\Gamma$）は $p\circ\tilde\sigma$ の持ち上げで、1 点での値が異なるので互いに異なる。lem-trf-lifts により持ち上げはちょうど $n$ 個なので、$L(p\circ\tilde\sigma)=\{\gamma\circ\tilde\sigma\mid\gamma\in\Gamma\}$ であり、$\tau_\#p_\#(\tilde\sigma)=\sum_\gamma\gamma\circ\tilde\sigma$ である。余鎖では $(p^\#\tau^\#\varphi)(\tilde\sigma)=\sum_\gamma\varphi(\gamma\circ\tilde\sigma)=\sum_\gamma(\gamma^\#\varphi)(\tilde\sigma)$ である。

2. cor-trf-consequences の 3 の証明のとおり、$n$ 倍は $H^q(\tilde X;A)$ と $H^q(X;A)$ の上で全単射で、その逆 $n^{-1}$ は $\gamma^*$、$p^*$、$\tau^*$ と可換である。$\gamma^*p^*=p^*$ なので $p^*$ の像は $\Gamma$ 不変であり、$p^*$ は cor-trf-consequences の 3 により単射である。$\alpha$ が $\Gamma$ 不変なら、1 により $p^*\tau^*(n^{-1}\alpha)=\sum_\gamma\gamma^*(n^{-1}\alpha)=n^{-1}\cdot n\alpha=\alpha$ なので、$\alpha$ は $p^*$ の像に入る。ホモロジーでは、$p_*\gamma_*=p_*$ なので $p_*$ は $H_q(\tilde X;A)_\Gamma$ を経由し、cor-trf-consequences の 3 により全射である。$p_*x=0$ なら $\sum_\gamma\gamma_*x=\tau_*p_*x=0$ なので $nx=\sum_\gamma(x-\gamma_*x)$ であり、$x=\sum_\gamma\bigl(n^{-1}x-\gamma_*(n^{-1}x)\bigr)$ は $\gamma_*y-y$ の形の元の和である。$\square$

例

円周の $k$ 重被覆

$k\ge1$ について $p_k\colon S^1\to S^1$、$p_k(z)=z^k$ は正則な $k$ 重被覆で、被覆変換群は $1$ の $k$ 乗根による回転からなる（被覆変換群の記事の例「球面と実射影空間、円周の $k$ 重被覆」）。回転は恒等写像とホモトピックなので $\gamma_*=\mathrm{id}$ であり、prop-trf-regular の 1 から $\tau_*p_*=k$ である。整数係数で見ると、$H_0(S^1)\cong\mathbb{Z}$ の上では $p_*$ は同型で $\tau_*$ は $k$ 倍（1 点の持ち上げは $k$ 点で、どれも同じ類）である。$H_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ の上では $p_*$ は写像度 $k$ の倍写像なので（写像度の記事の命題「円周の冪写像の写像度」）、$k\,\tau_*(x)=p_*\tau_*(x)=kx$ と $\mathbb{Z}$ が捩れをもたないことから $\tau_*=\mathrm{id}$ である。

球面から実射影空間への 2 重被覆

$m\ge1$ とし、$p\colon S^m\to\mathbb{RP}^m$ を対蹠点を同一視する 2 重被覆、$a$ を対蹠写像とする（被覆変換群は $\{\mathrm{id},a\}$ で、2 点のファイバーに推移的に作用するので $p$ は正則被覆である。被覆変換群の記事の同じ例と系「正則被覆の特徴づけ」）。$a$ の写像度は $(-1)^{m+1}$ である（写像度の記事の命題「直交変換の写像度」）。

$H_m(S^m;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の上で $\tau_*p_*=\mathrm{id}+a_*$ は $1+(-1)^{m+1}$ 倍で、$m$ が偶数なら $0$ である。逆の合成は一般に $n$ 倍でない。
$0< q< m$ では $H_q(S^m;\mathbb{Z})=0$ なので、$2\cdot\mathrm{id}=p_*\tau_*$ は $0$ を経由し、$H_q(\mathbb{RP}^m;\mathbb{Z})$ のすべての元は $2$ 倍すると $0$ になる。
$\mathbb{Q}$ 係数では prop-trf-regular の 2 により $H_q(\mathbb{RP}^m;\mathbb{Q})\cong H_q(S^m;\mathbb{Q})_\Gamma$ である。$H_m(S^m;\mathbb{Q})\cong\mathbb{Q}$ の上で $a_*$ は $(-1)^{m+1}$ 倍なので（普遍係数定理の記事の定理「ホモロジーの普遍係数定理」の自然性）、商は $m$ が奇数なら $\mathbb{Q}$、偶数なら $\mathbb{Q}/2\mathbb{Q}=0$ である。よって $H_q(\mathbb{RP}^m;\mathbb{Q})$ は $q=0$ と（$m$ が奇数のときの）$q=m$ で $\mathbb{Q}$、ほかは $0$ である。
これらは実射影空間の記事の系「任意係数のホモロジー」の値と一致する。

移送は群のホモロジーにも移せる。群 $G$ と指数 $n$ の部分群 $H$ をとり、連結な CW 複体の $K(G,1)$ を $K$、その普遍被覆を $E$ とする。$E$ を $H$（被覆変換群 $G$ の部分群）で割った空間 $E/H$ は $K$ の $n$ 重被覆で、基本群は $H$、高次のホモトピー群は $0$ であり、群のホモロジーの記事の補題「被覆空間の胞体構造」により CW 複体なので、$K(H,1)$ である。群のホモロジーの記事の定理「$K(G,1)$ のホモロジー」を通すと、移送は準同型 $H_q(G,A)\to H_q(H,A)$ を与える。群のホモロジーの側で代数的に定義される移送（Wei94 Application 6.3.9、p. 174）との比較は、この記事では扱わない。

反例

cor-trf-consequences の 3 と prop-trf-regular の 2 の仮定を一つずつ外す。

外す条件	反例	成り立たなくなること
ファイバーが有限	$p\colon\mathbb{R}\to S^1$、$t\mapsto e^{2\pi it}$、$A=\mathbb{Q}$	$p_*\colon H_1(\mathbb{R};A)\to H_1(S^1;A)$ が全射
$A$ 上の $n$ 倍が全単射	$S^2\to\mathbb{RP}^2$（$n=2$）、$A=\mathbb{Z}/2$	$p_*\colon H_1(S^2;A)\to H_1(\mathbb{RP}^2;A)$ が全射
正則被覆	8 の字 $B=S^1\vee S^1$ の正則でない 3 重被覆 $E$、$A=\mathbb{Q}$	$H_1(E;A)_\Gamma\cong H_1(B;A)$

反例の確かめ

各行の確かめを開く

$\mathbb{R}$ は可縮なので $H_1(\mathbb{R};\mathbb{Q})=0$ である（特異ホモロジーのホモトピー不変性の記事の定理「特異ホモロジーのホモトピー不変性」は鎖ホモトピーで示されるので、$\otimes\mathbb{Q}$ をとっても一点への写像は同型を誘導する）。一方、$H_1(S^1;\mathbb{Q})\cong\mathbb{Q}$ である（胞体ホモロジーの記事の例「胞体鎖と任意係数のホモロジー」）。ファイバーは $\mathbb{Z}$ で無限であり、持ち上げの和が有限和にならないので移送が作れない。
$H_1(S^2;\mathbb{Z}/2)=0$ だが、$H_1(\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ である（実射影空間の記事の系「任意係数のホモロジー」）。$\mathbb{Z}/2$ の上で $2$ 倍は $0$ で、全単射でない。
被覆変換群の記事の例「正則でない被覆：8 の字の 3 重被覆」の $E$ は頂点 3 個・辺 6 個の連結なグラフで、被覆変換群 $\Gamma$ は自明である。胞体鎖で計算すると $H_1(E;\mathbb{Q})\cong\mathbb{Q}^{6-3+1}=\mathbb{Q}^4$、$H_1(B;\mathbb{Q})\cong\mathbb{Q}^2$ であり、$\Gamma$ が自明なので左辺の余不変商は $\mathbb{Q}^4$ のままで、$\mathbb{Q}^2$ と同型でない。$\Gamma$ は位数 $1$ の有限群で、その位数倍（恒等写像）は全単射なので、外れた条件は正則性だけである。正則でないので $E$ は $|\Gamma|$ 重被覆でもない（3 重被覆である）。

補足

文献

特異単体を持ち上げの和に写す移送の構成と $\tau^*p^*=n$ は Hat02 §3.G（p. 321）にあり、正則被覆についての prop-trf-regular の 2 は、係数が標数 $0$ または $n$ を割らない素数標数の体の場合が同書 Proposition 3G.1（pp. 321–322）である。May99 は、ホモロジーの移送と $p_*\tau_*=n$ を Chapter 16 §5 の問題 (3)（p. 129）として、コホモロジーの移送と $\tau^*p^*=n$ を Chapter 18 の問題 (5)（p. 143）として出している。有限 CW 複体の $n$ 重被覆では、各胞体がちょうど $n$ 個の胞体に持ち上がり、Euler 標数が $n$ 倍になる（Euler標数の記事の定理「被覆と Euler 標数」）。