右アノダイン射

1：Kan–Quillenモデル構造 の補題「単射は単体を貼って作れる」により、$A^{(-1)}=A_0$、$A^{(r)}=A^{(r-1)}\sqcup_{\coprod_{S_r}\partial\Delta^r}\coprod_{S_r}\Delta^r$、$A=\bigcup_rA^{(r)}$ と書ける。$E_r:=(A^{(r)}\star B)\cup(A\star B_0)$ とおくと、$E_{-1}$ は $J(f,g)$ の始域、$\bigcup_rE_r=A\star B$ である。$E_{r-1}\subset E_r$ と $J(A^{(r-1)}\subset A^{(r)},g)$ の正方形（始域から $E_{r-1}$ への包含）では、補集合はどちらも「$A$ 部分が $A^{(r)}\setminus A^{(r-1)}$、$B$ 部分が $B\setminus B_0$ に入る単体」なので押し出しである。さらに $J(A^{(r-1)}\subset A^{(r)},g)$ は $\coprod_{S_r}J(\partial\Delta^r\subset\Delta^r,g)$ の押し出しである：$\coprod_{S_r}(\Delta^r\setminus\partial\Delta^r)\to A^{(r)}\setminus A^{(r-1)}$ が各次数で全単射なので、補集合の公式により補集合どうしが全単射に対応する。よって $J(f,g)$ は $J(\partial\Delta^r\subset\Delta^r,g)$ たちの余積の押し出しの可算列の合成であり、$\mathcal R$ に入る。$f\star L$ も同じ段階 $A^{(r)}\star L$ と第 2 の補集合の公式で示せる。

2：$g$ が $G$ 胞体複体なら、$B$ の側で同じ議論を行う（補集合の公式は $B\setminus B_0$ についても足し算的である）。$g$ が $g'$ のレトラクトなら、結の関手性により $J(f,g)$ は $J(f,g')$ のレトラクトである。$\square$

押し出し積の記号と性質（$u\mathbin{\square}v\cong v\mathbin{\square}u$、$(u\mathbin{\square}v)\mathbin{\square}w=u\mathbin{\square}(v\mathbin{\square}w)$）は Kan–Quillenモデル構造 の節「2 アノダイン拡大と単射の積」に従い、$\varepsilon=(\{1\}\subset\Delta^1)$ とおく。

(a) 閉包性。単射 $u$ を固定し、$u\mathbin{\square}v$ が右アノダインとなる単射 $v$ の全体を $\mathcal T_u$ とする。Kan–Quillenモデル構造 の命題「Gabriel–Zisman の定理」の証明の 2 の (a)(b)(c) は、押し出し積の補集合の計算と、クラスが押し出し・余積・可算列の合成・レトラクトで閉じていることだけを使うので、prop-ra-generation の 1 によりここでもそのまま成り立つ。よって $\mathcal T_u$ は押し出し・余積・可算列の合成・レトラクトで閉じている。

(b) 境界と $\varepsilon$。$(\partial\Delta^n\subset\Delta^n)\mathbin{\square}\varepsilon\colon\partial\Delta^n\times\Delta^1\cup\Delta^n\times\{1\}\subset\Delta^n\times\Delta^1$ は右アノダインである。実際 Kan–Quillenモデル構造 の補題「角柱の補題」の証明では、$\varepsilon=1$ のとき $(n+1)$ 単体 $x_j$（$0\le j\le n$）を $\Lambda^{n+1}_{j+1}$ に沿って順に貼っている。添字 $j+1$ は $1$ 以上なので、これらはすべて右ホーンである。

(c) 単射と $\varepsilon$。(a) を $u=\varepsilon$ に使うと、$\mathcal T_\varepsilon$ は (b) により境界の包含をすべて含み、単射は境界の包含の余積の押し出しの可算列の合成なので（Kan–Quillenモデル構造 の補題「単射は単体を貼って作れる」）、すべての単射 $v$ で $v\mathbin{\square}\varepsilon$ は右アノダインである。

(d) 右ホーンはレトラクト。$h=(\Lambda^n_k\subset\Delta^n)$、$0< k\le n$ とする。順序写像 $s\colon[n]\to[n]\times[1]$、$s(m)=(m,0)$ と $t\colon[n]\times[1]\to[n]$、$t(m,0)=m$、$t(m,1)=\max(m,k)$ をとる。$t$ は順序を保ち（$(m,0)\le(m',1)$ なら $m\le m'\le\max(m',k)$）、$ts=\mathrm{id}$ である。$s$ は $\Lambda^n_k$ を $\Lambda^n_k\times\{0\}$ に写す。$t$ は $\Delta^n\times\{1\}$ を、頂点 $0$ を値にとらない面（$k\ne0$ なので $\Lambda^n_k$ に入る）に写す。$\Lambda^n_k\times\Delta^1$ の単体は第 1 成分がある $j\ne k$ を値にとらない鎖であり、$\max$ が新たに作る値は $k$ だけなので、その像も $j$ を値にとらない。よって $t$ は $h\mathbin{\square}\varepsilon$ の始域 $\Lambda^n_k\times\Delta^1\cup\Delta^n\times\{1\}$ を $\Lambda^n_k$ に写し、$h$ は $h\mathbin{\square}\varepsilon$ のレトラクトである。

(e) 結論。単射 $j$ を固定する。右ホーン $h$ について、$j\mathbin{\square}h$ は $j\mathbin{\square}(h\mathbin{\square}\varepsilon)=(j\mathbin{\square}h)\mathbin{\square}\varepsilon$ のレトラクトであり、$j\mathbin{\square}h$ は単射なので (c) によりこれは右アノダインである。よって $\mathcal T_j$ は $R$ を含み、(a) により $R$ 胞体複体とそのレトラクト、すなわち prop-ra-generation の 2 によりすべての右アノダイン射を含む。$i\mathbin{\square}j\cong j\mathbin{\square}i$ なので主張が従う。左アノダイン射については、反対単体的集合をとる操作が積と和集合を保つので $(i\mathbin{\square}j)^{\mathrm{op}}=i^{\mathrm{op}}\mathbin{\square}j^{\mathrm{op}}$ であり、prop-ra-generation の 3 で右アノダイン射の場合に帰着する。$\square$

1。Kan–Quillenモデル構造 の補題「写像の単体的集合と積の随伴」の 1 と同じ対応により、境界 $\partial\Delta^n\subset\Delta^n$ に対する $\rho$ の持ち上げの問題は、$p$ と合成すると射影になる写像 $K'\times\partial\Delta^n\cup K\times\Delta^n\to X$ を、同じ条件をみたす $K'\times\Delta^n\to X$ に延ばす問題であり、$i\mathbin{\square}(\partial\Delta^n\subset\Delta^n)$ と $p$ の持ち上げの問題（下辺は射影 $K'\times\Delta^n\to K'$）にほかならない。prop-ra-product によりこれは右アノダインなので、右ファイブレーション $p$ に対して解がある。よって $\rho$ は自明 Kan ファイブレーションであり、Kan–Quillenモデル構造 の命題「弱同値の基本性質」の 2 により、切断 $s$ で $\rho s=\mathrm{id}$ かつ $\mathrm{id}$ から $s\rho$ へのホモトピーがあるものをもつ。とくに $\rho$ はホモトピー同値である。

2。$S$ を Kan 複体とする。射影 $S\times K'\to K'$ は Kan ファイブレーション $S\to\Delta^0$ の引き戻しなので右ファイブレーションである。$K'$ の上の写像 $K'\times\Delta^n\to S\times K'$ は $S$ 成分で決まり、$f$ の上の写像 $K\times\Delta^n\to S\times K'$ も $S$ 成分で決まるので、$\operatorname{Map}_{K'}(K',S\times K')\cong\operatorname{Map}(K',S)$、$\operatorname{Map}_{K'}(K,S\times K')\cong\operatorname{Map}(K,S)$ であり（右辺は Kan–Quillenモデル構造 の節「8 単体的モデル構造」の写像の単体的集合）、制限は $g\mapsto g\circ(f\times\mathrm{id})$ にあたる。$f$ は共終なのでこれはホモトピー同値である。ホモトピー $H\colon M\times\Delta^1\to N$ は各頂点 $m$ について $H_0(m)$ と $H_1(m)$ を結ぶ辺 $H(m,-)$ を与えるので、ホモトピー同値は頂点を辺で結ばれる関係で割った集合の全単射を誘導する。$\operatorname{Map}(K,S)$ についてのこの集合は $[K,S]$ なので、$f^*\colon[K',S]\to[K,S]$ はすべての Kan 複体 $S$ で全単射である。Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan 複体への写像による判定」の 1 により、$f$ は弱同値である。$\square$