E_nオペラッド

合成が定まること：$c_s\circ d_{s,t}$ は各座標が正の傾きの 1 次式で $J^n$ を $J^n$ に写すので小立方体であり、その像は $c_s(J^n)$ に含まれる。$s\ne s'$ なら $c_s(J^n)\cap c_{s'}(J^n)=\emptyset$ なので像は交わらず、同じ $s$ の中では $d_{s,t}$ の像が交わらず $c_s$ が単射なので交わらない。角の座標は $c$ と $d_s$ の角の座標の多項式なので、$\gamma$ は連続である。

公理：結合律と単位律は、写像の合成が結合的で恒等写像が単位であることから従う。$((c\sigma)\tau)_m=(c\sigma)_{\tau(m)}=c_{\sigma\tau(m)}$ なので右作用である。同変性の第 1 式：左辺の第 $s$ ブロックの第 $t$ 成分は $c_{\sigma(s)}\circ d_{s,t}$ である。右辺は $e:=\gamma(c;d_{\sigma^{-1}(1)},\dots,d_{\sigma^{-1}(k)})$ に $\pi:=\sigma\langle j_1,\dots,j_k\rangle$ を作用させたもので、その同じ位置の成分は $e_{\pi(m)}$、すなわち $e$ の第 $\sigma(s)$ ブロックの第 $t$ 成分 $c_{\sigma(s)}\circ d_{s,t}$ である。第 2 式も同様に、両辺の第 $s$ ブロックの第 $t$ 成分はともに $c_s\circ d_{s,\tau_s(t)}$ である。

自由性：$c\sigma=c$ で $\sigma(m)\ne m$ なら $c_{\sigma(m)}=c_m$ となり、2 つの成分の像が一致して交わらないことに反する。$\square$

$b=(b_1,\dots,b_j)\in F(J^n,j)$ について、$\|\cdot\|_\infty$ を最大値ノルムとして $\delta(b):=\min\bigl(\min_{r,i}2\min(b_{r,i},1-b_{r,i}),\ \min_{r\ne s}\|b_r-b_s\|_\infty\bigr)>0$ とおく（$j=1$ なら第 2 項はない）。$\delta$ は連続である。$0<\ell\le\delta(b)$ のとき、$b_r$ を中心とし各辺の長さ $\ell$ の開立方体は $J^n$ に収まり（$b_{r,i}\pm\ell/2\in I$）、互いに交わらない（中心の距離が $\|b_r-b_s\|_\infty\ge\ell$）。この配置を $E(b,\ell)\in\mathcal{C}_n(j)$ と書き、$f(b):=E(b,\delta(b))$ とおく。$f$ は連続で同変であり、$g\circ f=\operatorname{id}$ である。

$c\in\mathcal{C}_n(j)$ の第 $r$ 成分の第 $i$ 辺の長さを $\ell_{r,i}$ とし、$\varepsilon(c):=\min(\min_{r,i}\ell_{r,i},\ \delta(g(c)))>0$ とおく。$H\colon\mathcal{C}_n(j)\times I\to\mathcal{C}_n(j)$ を次で定める。$0\le t\le\frac12$ では、各成分の中心を止め、第 $i$ 辺の長さを $(1-2t)\ell_{r,i}+2t\,\varepsilon(c)$ にする。この長さは $\varepsilon(c)$ 以上 $\ell_{r,i}$ 以下なので、新しい立方体は元の立方体に含まれ、配置は $\mathcal{C}_n(j)$ にとどまる。$t=\frac12$ では $E(g(c),\varepsilon(c))$ になる。$\frac12\le t\le1$ では $E\bigl(g(c),(2-2t)\varepsilon(c)+(2t-1)\delta(g(c))\bigr)$ とする。辺の長さは $\varepsilon(c)$ と $\delta(g(c))$ の間にあるので、これも $\mathcal{C}_n(j)$ に入る。

$H$ は角の座標が連続に動くので連続で、成分ごとに定義しているので同変であり、$H(c,0)=c$、$H(c,1)=f(g(c))$ である。$c=f(b)$ なら $\ell_{r,i}=\delta(b)=\varepsilon(c)$ なので $H(c,t)=c$ である。よって $g$ と $f$ は互いに同変なホモトピー逆である。$\square$

1：$\mathcal{C}_n(1)$ は $\{(u,v)\mid0\le u_i< v_i\le1\}$ で凸である。

2：$\omega(c)=(r_1,\dots,r_j)$ を、$c_{r_1}(J),\dots,c_{r_j}(J)$ が左から順に並ぶ列とする。$(c\sigma)_m=c_{\sigma(m)}$ なので、$c\sigma$ で左から $p$ 番目の区間の番号は $\sigma^{-1}(r_p)$ であり、$\omega(c\sigma)=\omega(c)\sigma$ である（オペラッド の例「可換オペラッドと結合オペラッド」の作用）。$\gamma(c;d_1,\dots,d_k)$ の区間は、ブロックの順が $c_s$ の並び、ブロックの中の順が $d_s$ の並びで決まるので、$\omega$ は辞書式の合成を保つ。$\omega^{-1}(r_1,\dots,r_j)$ は $0\le u_{r_1}< v_{r_1}\le u_{r_2}< \cdots< v_{r_j}\le1$ で定まる空でない凸集合である。これらは有限個の互いに交わらない閉集合で $\mathcal{C}_1(j)$ をおおうので、どれも開集合でもあり、ちょうど弧状連結成分である。

3：$h(x_1,x_2):=(x_2-x_1)/\lvert x_2-x_1\rvert$ は $F(\mathbb{R}^n,2)\to S^{n-1}$ で、成分の入れ替えを対蹠写像に写す。$k(z):=(-z/2,z/2)$ は同変で $h\circ k=\operatorname{id}$ であり、$(x,t)\mapsto(1-t)x+t\,k(h(x))$ は $F(\mathbb{R}^n,2)$ の中の同変なホモトピーである（2 点の差が $((1-t)\lvert x_2-x_1\rvert+t)\,h(x)\ne0$）。これと thm-en-configuration を合わせる。$S^{n-1}$ は $n\ge2$ で弧状連結であり、可縮でない（球面）。$\square$

定義が定まること：$r\ne s$ で $w\in\bar c_r(I^n)\cap\bar c_s(I^n)$ とする。$w$ が $c_r(J^n)$ の点なら、$w$ の近くに $c_s(J^n)$ の点があり、$c_r(J^n)$ と交わることに反する。よって $w$ は両方の直方体の境界にあり、$\bar c_r^{-1}(w),\bar c_s^{-1}(w)\in\partial I^n$ なので、$y_r,y_s$ の値はどちらも $*$ である。どの $c_r(J^n)$ にも入らない点が $\bar c_r(I^n)$ に入るときも同様である。$w\in\partial I^n$ なら値は $*$ である。

連続性：$\mathcal{C}_n(j)\times(\Omega^nY)^j\times I^n$ を、$w\in\bar c_r(I^n)$ で定まる閉集合 $A_r$ と、$w$ がどの $c_r(J^n)$ にも入らないことで定まる閉集合 $A_0$ でおおう。$A_r$ の上では値は $y_r$ と $\bar c_r^{-1}(w)=\bigl((w_i-u_{r,i})/(v_{r,i}-u_{r,i})\bigr)_i$ の評価で、$I^n$ が局所コンパクトなので評価写像は連続である。$A_0$ の上では定数である。重なりで値が一致するので、有限個の閉集合についての貼り合わせの補題により連続である。$I^n$ は局所コンパクトなので、随伴をとって $\theta_j\colon\mathcal{C}_n(j)\times(\Omega^nY)^j\to\Omega^nY$ も連続である。

公理（オペラッド の命題「構造写像による記述」の 1〜3）：単位は $\theta_1(\operatorname{id};y)=y$ である。同変性：$\theta_j(c\sigma;y)$ は $y_m$ を $c_{\sigma(m)}$ に貼り、$\theta_j(c;\sigma\cdot y)$ は $(\sigma\cdot y)_r=y_{\sigma^{-1}(r)}$ を $c_r$ に貼るので、どちらも $y_m$ を $c_{\sigma(m)}$ に貼る。結合律：$e=\gamma(c;d_1,\dots,d_k)$ とすると、$\theta(e;y)$ は $c_s(d_{s,t}(J^n))$ の上で $y_{s,t}\circ(c_s\circ d_{s,t})^{-1}$、それ以外で $*$ である。$\theta_k(c;\theta(d_1;y^{(1)}),\dots)$ は $c_s(J^n)$ の上で $\theta(d_s;y^{(s)})\circ c_s^{-1}$ であり、これは $c_s(d_{s,t}(J^n))$ の上で $y_{s,t}\circ d_{s,t}^{-1}\circ c_s^{-1}$、$c_s(J^n)$ のほかの点で $*$ である。$c_s(J^n)$ の外では $*$ である。境界の点ではどちらも $*$ なので、両者は一致する。射であること：$\varphi\colon Y\to Y'$ について $\varphi\circ\theta_j(c;y)=\theta_j(c;\varphi\circ y_1,\dots,\varphi\circ y_j)$ は定義から明らかである。$\square$

$\theta_2(c^\circ;-,-)$ は連続なので、積は $\pi_0$ の上で定まる。一般に $\mathcal{C}_n(j)$ の中の道 $\alpha$ について $t\mapsto\theta_j(\alpha(t);x)$ は $X$ の中の道であり、$\alpha$ の両端の演算の値をつなぐ。

単位元：構造写像の 1 により $\theta_2(c^\circ;x,*)=\theta_2(c^\circ;\theta_1(\operatorname{id};x),\theta_0)=\theta_1(\gamma(c^\circ;\operatorname{id},*);x)$ であり、$\gamma(c^\circ;\operatorname{id},*)\in\mathcal{C}_n(1)$ は左半分の直方体である。$\mathcal{C}_n(1)$ は凸なので（cor-en-small-arity）恒等写像と道でつながり、$\theta_2(c^\circ;x,*)$ と $\theta_1(\operatorname{id};x)=x$ は同じ成分にある。右からも同じである。

結合律：$([x][y])[z]$ と $[x]([y][z])$ はそれぞれ $\theta_3(\gamma(c^\circ;c^\circ,\operatorname{id});x,y,z)$、$\theta_3(\gamma(c^\circ;\operatorname{id},c^\circ);x,y,z)$ の成分である。2 つの演算は、どちらも第 1 座標の 3 つの区間を左から $1,2,3$ の順に並べた $\mathcal{C}_1(3)$ の点に、$\iota$ を $n-1$ 回合わせた射で $\mathcal{C}_n(3)$ に写したものである。$\mathcal{C}_1(3)$ の順が $(1,2,3)$ の成分は凸なので、2 点は道でつながる。

可換律：互換 $\tau$ について $\theta_2(c^\circ;y,x)=\theta_2(c^\circ;\tau\cdot(x,y))=\theta_2(c^\circ\tau;x,y)$ である。$n\ge2$ なら $\mathcal{C}_n(2)$ は弧状連結（cor-en-small-arity）なので $c^\circ\tau$ と $c^\circ$ は道でつながり、$[y][x]=[x][y]$ である。

3：射は $\theta_2(c^\circ;-,-)$ と $\theta_0$ を保つ。$\square$

$\mathcal{C}_\infty(j)$ は可縮である（May72 定理 4.8, p. 19。この記事では証明しない）。弱ホモトピー同値の一方が弱可縮なら他方も弱可縮なので、$E_\infty$ オペラッドをつなぐ列のすべての項は弱可縮である。逆に各 $E(j)$ が弱可縮とする。オペラッド $P,Q$ について $(P\times Q)(j):=P(j)\times Q(j)$ に、成分ごとの合成と単位 $(1,1)$、対角的な $\Sigma_j$ の作用を入れると、公理は成分ごとに成り立つのでオペラッドになり、2 つの射影はオペラッドの射である。$P=E$ なら作用は自由である。$Q=\mathcal{C}_\infty$ とすると、ホモトピー群は直積で計算されるので、射影 $E\times\mathcal{C}_\infty\to E$ と $E\times\mathcal{C}_\infty\to\mathcal{C}_\infty$ はどちらも弱同値であり、$E\leftarrow E\times\mathcal{C}_\infty\to\mathcal{C}_\infty$ が求める列である。$\square$