境界に沿った貼り合わせと連結和

$M$ の閉集合 $F$ について $\pi^{-1}(j_M(F))=F\sqcup h^{-1}(F\cap A)$ は $M\sqcup N$ の閉集合なので（$B$ は $N$ の閉集合）、$j_M(F)$ は閉集合であり、$j_M$ は閉写像である。$\pi^{-1}(O_M)=(M\setminus A)\sqcup\emptyset$ は開集合である。$\pi^{-1}(j_M(M)\cap j_N(N))=A\sqcup B$ から最後の等式が従う。

2 点が同じ開集合に入らないなら、$j_M(A)\subset W$ なので、一方は $O_M$ か $O_N$ に入り、他方はそこに入らない。$x=j_M(m)\in O_M$、$y\notin O_M$ とする（$O_N$ も同じ）。多様体 $M$ は正則なので、$m$ の開近傍 $E$ で閉包 $\overline E$ が閉集合 $A$ と交わらないものがある。$\pi^{-1}(j_M(E))=E$、$\pi^{-1}(j_M(\overline E))=\overline E$ なので、$j_M(E)$ と $X\setminus j_M(\overline E)$ は開集合で、$y\notin O_M\supset j_M(\overline E)$ から $x$ と $y$ を分ける。第 2 可算性は、第 2 可算な 3 つの開集合 $O_M$、$O_N$、$W$ の可算基の和による。

$b\sim h(b)$ は $\Psi(b)$ と $\Phi(h(b))=h'(\Psi(b))$ に写り、これらは同一視されるので、$\Phi\sqcup\Psi$ は写像 $\Lambda\colon M\cup_hN\to M'\cup_{h'}N'$ を引き起こす。$\Phi^{-1}\sqcup\Psi^{-1}$ から逆写像も得られるので $\Lambda$ は全単射である。$O_M$、$O_N$ の上では $\Lambda$ は座標で $\Phi$、$\Psi$ そのものである。$W$ の上では、$t\le0$ で $\Lambda(\Theta(a,t))=j_{M'}(\Phi(c_M(a,-t)))=j_{M'}(c_{M'}(\Phi(a),-t))=\Theta'(\Phi(a),t)$、$t\ge0$ で $\Lambda(\Theta(a,t))=j_{N'}(c_{N'}(\Psi(h^{-1}(a)),t))=\Theta'(\Phi(a),t)$ である（$\Psi(h^{-1}(a))=h'^{-1}(\Phi(a))$ による）。よって $\Theta'^{-1}\circ\Lambda\circ\Theta=\Phi\vert_A\times\mathrm{id}$ であり、$\Lambda$ は座標で見て滑らかな写像で逆写像も滑らかである。$\square$

$p\in A$ のまわりの正の向きの境界座標 $x=(x^1,\dots,x^n)$ をとる。$M$ はそこで $\{x^1\le0\}$ と表され、$\partial/\partial x^1$ は外向きで、境界の向きの定義により $y:=(x^2,\dots,x^n)\vert_A$ は $o_A$ について正の向きの局所座標である。$G(s,u):=x\bigl(c_M(y^{-1}(u),s)\bigr)$ とおくと、$c_M(a,0)=a$ から $G(0,u)=(0,u)$ である。$s\ge0$ で $G^1(s,u)\le0$ なので $\partial_sG^1(0,u)\le0$ であり、$G$ は微分同相写像 $c_M$ を座標で書いたものなので Jacobi 行列は正則である。$(s,u)$ についての Jacobi 行列は $s=0$ で $\begin{pmatrix}\partial_sG^1&0\\ \ast&I_{n-1}\end{pmatrix}$ の形なので、$\partial_sG^1(0,u)<0$ であり、変数を $(\tau,u):=(-s,u)$ に替えた写像 $(\tau,u)\mapsto G(-\tau,u)$ の Jacobi 行列式は $\tau=0$ で正である。連続性により、$p$ の近くの $a$ と小さい $s>0$ で、$c_M$ は座標 $(-s,y)$ の向き（主張の向き）から $x$ の向き（$M$ の向き）へ向きを保つ。$c_M$ が向きを保つ点の集合と逆にする点の集合は $A\times(0,1)$ の開集合で、$A\times(0,1)$ の各連結成分 $C\times(0,1)$（$C$ は $A$ の連結成分）は小さい $s$ の部分で前者と交わるので、前者が全体である。$\square$

$f(\operatorname{Int}D^n)=F(B_1)$ は開集合なので $M_f$ は閉集合である。$E=\{x\in B_\rho\mid1-\lvert x\rvert^2\le0\}$ で、$1-\lvert x\rvert^2$ の勾配 $-2x$ は $\lvert x\rvert=1$ で $0$ でないので、境界付き多様体 の定理「正則な劣位集合は境界付き多様体」により $E$ は境界 $S^{n-1}$ の境界付き多様体である。$M\setminus f(D^n)$ と $F(E)=M_f\cap F(B_\rho)$ は $M_f$ の開集合で $M_f$ を覆い、重なり $F(\{1<\lvert x\rvert<\rho\})$ の上では $F$ が微分同相写像なので、2 種類の座標近傍の座標変換は $C^\infty$ 級である。Hausdorff 性と第 2 可算性は $M$ から遺伝し、境界は $F(S^{n-1})=f(S^{n-1})$ である。$(v,s)\mapsto(1+s(\rho-1))v$ は $S^{n-1}\times[0,1)$ から $E$ への微分同相写像（逆写像 $x\mapsto(x/\lvert x\rvert,(\lvert x\rvert-1)/(\rho-1))$）なので、$c_f$ は $\partial M_f\times[0,1)$ から開集合 $F(E)$ への微分同相写像で、$c_f(f(v),0)=f(v)$ である。$\square$

$M\setminus f(D^n)$ が交わらない空でない開集合 $U_1$、$U_2$ の和だったとする。円環 $F(\{1<\lvert x\rvert<\rho\})$ は $n\ge2$ なので連結で、たとえば $U_1$ に含まれる。すると $U_2\cap F(B_\rho)=\emptyset$ なので、$M=\bigl(U_1\cup F(B_\rho)\bigr)\sqcup U_2$ は交わらない空でない開集合の和になり、$M$ の連結性に反する。よって $M\setminus f(D^n)$ は連結で、$f(S^{n-1})$ の各点 $F(v)$ は $F((1+\varepsilon)v)\in M\setminus f(D^n)$ の極限なので、$M_f$ はこの連結集合の閉包に含まれ、連結である。

$M$ が向き付け不可能だとする。$N$ も向き付け不可能なら、円板定理の 2 により $\Phi\circ f=f'$、$\Psi\circ g=g'$ となる $\Phi,\Psi$ があり、2 と同じ議論で微分同相写像が得られる。$N$ が向き付け可能なら、$N$ に向きを入れる。$g$ と $g'$ の向きの型が違うときは、$(f',g')$ を $(f'\circ r,g'\circ r)$ に取り替える：$r(D^n)=D^n$ なので $M_{f'\circ r}=M_{f'}$、$N_{g'\circ r}=N_{g'}$ であり、$(f'\circ r)\circ(g'\circ r)^{-1}=f'\circ g'^{-1}$、カラーも同じ写像なので、両者はまったく同じ多様体である。すると $g$ と $g'$ は同じ型になり、円板定理の 1 で $\Psi$ が、2 で $\Phi$ が得られる。$M$ が向き付け可能で $N$ が向き付け不可能な場合は、$M$ と $N$ の役割を入れ替えて同じ議論をすればよい。$\square$

円板定理 の例「球面の半球」の $k$（閉じた上半球の上への円板）と $k'=\tau\circ k$（下半球）を使う。$\epsilon\in\{\mathrm{id},r\}$ を、$M$ が向き付けられているときは $k'\circ\epsilon$ が $S^n$ の向きを逆にするように、そうでなければ $\epsilon=\mathrm{id}$ に選び、$g:=k'\circ\epsilon$、$\kappa:=k\circ\epsilon$ とおく。$\tau$ は赤道を動かさないので $S^{n-1}$ の上で $\kappa=g$ であり、$S^n_g=S^n\setminus k'(\operatorname{Int}D^n)$ は閉じた上半球 $\kappa(D^n)$ である。$\kappa$ は $\mathbb{R}^n$ の開埋め込み（立体射影の逆写像）の制限なので、$D^n$ から $S^n_g$ への微分同相写像である。

prop-glue-naturality を $\Phi=\mathrm{id}_{M_f}$、$\Psi=\kappa^{-1}\colon S^n_g\to D^n$、$h'=f\vert_{S^{n-1}}\colon S^{n-1}\to\partial M_f$ に使う。赤道の点 $e$ で $h'(\Psi(e))=f(\kappa^{-1}(e))=f(g^{-1}(e))=h(e)$ なので条件がみたされ、rem-glue-uniqueness と合わせて $M\#_{f,g}S^n$ は $M_f\cup_{h'}D^n$ と微分同相である。一方、$m\mapsto m$（$m\in M_f$）、$x\mapsto f(x)$（$x\in D^n$）は同相写像 $\lambda\colon M_f\cup_{h'}D^n\to M$ を引き起こし、$M$ の構造を $\lambda$ で引き戻した構造は、$M_f$ と $D^n$ のもとの構造を誘導する（$M_f$ は $M$ の中で lem-glue-remove-disk の構造をもち、$f$ は $D^n$ から $f(D^n)=F(\{\lvert x\rvert\le1\})$ への微分同相写像）。rem-glue-uniqueness の一意性により、これは貼り合わせの構造と微分同相であり、$M\#_{f,g}S^n\cong M$ が得られる。

こうして得た微分同相写像は $M_f$ の上で恒等写像なので、$M$ が向き付けられているとき、引き戻した向きは $M_f$ の内部で一致し、$M\#S^n$ の連結性（$M$ と同相なので連結）から向きを保つ。$\square$

コンパクト多様体のホモロジーは有限生成である（Hat02 Corollary A.8・A.9：コンパクト多様体は有限単体複体のレトラクト）。$x:=f(0)$ とおく。$f(D^n)\setminus\{x\}$ は $f(S^{n-1})$ に放射状に変形レトラクトするので、包含 $M_f\hookrightarrow M\setminus\{x\}$ はホモトピー同値である。

段 1（$M_f$ と $M$）：切除により $H_k(M,M\setminus\{x\})\cong H_k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\{0\})$ は $k=n$ で $\mathbb{Z}$、ほかで $0$ である。対 $(M,M\setminus\{x\})$ の長完全列から、$k\le n-2$ で $H_k(M_f)\cong H_k(M)$ であり、$$0\to H_n(M_f)\to H_n(M)\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\partial}H_{n-1}(M_f)\to H_{n-1}(M)\to0$$が完全である。$n\ge2$ なので $M\setminus\{x\}$ は連結で非コンパクトであり、$H_n(M_f)\cong H_n(M\setminus\{x\})=0$（Hat02 Proposition 3.29）。$\partial$ は生成元を境界球面 $\partial M_f=f(S^{n-1})$ の基本類の像 $s_M\in H_{n-1}(M_f)$ に送る（円板の対 $(f(D^n),f(D^n)\setminus\{x\})$ との自然性）。$M$ が向き付け可能なら $H_n(M)\cong\mathbb{Z}\to H_n(M,M\setminus\{x\})$ は同型（Hat02 Theorem 3.26）なので $s_M=0$ で $H_{n-1}(M_f)\cong H_{n-1}(M)$。向き付け不可能なら $H_n(M)=0$（同）なので $s_M$ は無限位数で $H_{n-1}(M_f)/\langle s_M\rangle\cong H_{n-1}(M)$ である。$N$ についても同じで、$s_N$ を同様に定める。

段 2（Mayer–Vietoris）：prf-glue-euler の開集合 $P\simeq M_f$、$R\simeq N_g$（$P\cap R\simeq S^{n-1}$）で被約 Mayer–Vietoris 完全列を書く。$1\le k\le n-2$ では $\tilde H_k(S^{n-1})=\tilde H_{k-1}(S^{n-1})=0$ なので $H_k(M\#N)\cong H_k(M_f)\oplus H_k(N_g)\cong H_k(M)\oplus H_k(N)$ となり 1 が従う。$k=n-1$ では $H_n(M_f)=H_n(N_g)=0$、$\tilde H_{n-2}(S^{n-1})=0$ から$$0\to H_n(M\#N)\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\ \varphi\ }H_{n-1}(M_f)\oplus H_{n-1}(N_g)\to H_{n-1}(M\#N)\to0,\qquad\varphi(1)=(s_M,\pm s_N)$$が完全である。$M$、$N$ がともに向き付け可能なら $\varphi=0$。$M$ だけが向き付け不可能なら余核は $H_{n-1}(M_f)/\langle s_M\rangle\oplus H_{n-1}(N_g)\cong H_{n-1}(M)\oplus H_{n-1}(N)$。これで 2 が従う。

段 3（ともに向き付け不可能）：$C:=\operatorname{Coker}\varphi\cong H_{n-1}(M\#N)$ とおく。$(s_M,0)$ の $C$ での像は無限位数である（$k(s_M,0)=m(s_M,\pm s_N)$ なら $ms_N=0$ から $m=0$、したがって $k=0$）。$C$ をこの像で割ると $H_{n-1}(M_f)\oplus H_{n-1}(N_g)$ を $(s_M,0)$、$(0,s_N)$ で割ったもの、すなわち $H_{n-1}(M)\oplus H_{n-1}(N)$ になるので、$C$ の階数は $r+s+1$ である。また $\varphi$ は単射なので $H_n(M\#N)=0$ であり、連結な閉多様体 $M\#N$ は向き付け不可能である（Hat02 Theorem 3.26）。連結な閉 $n$ 次元多様体の $H_{n-1}$ のねじれ部分は、向き付け可能なら $0$、不可能なら $\mathbb{Z}/2$ である（Hat02 Corollary 3.28）。よって $H_{n-1}(M)\cong\mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}/2$、$H_{n-1}(N)\cong\mathbb{Z}^s\oplus\mathbb{Z}/2$、$C\cong\mathbb{Z}^{r+s+1}\oplus\mathbb{Z}/2$ である。$\square$