有限支配空間

$X$ はコンパクト距離化可能なので、Hilbert立方体 $Q=[0,1]^{\mathbb{N}}$（$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$）の閉集合とみなせる（位相空間の埋め込み定理の系「コンパクト距離化可能空間」）。$Q$ は距離化可能なので、ANR の定義により、$X$ を含む $Q$ の開集合 $W$ とレトラクション $r\colon W\to X$ がある。$Q$ には距離 $\rho(x,y):=\sum_n2^{-n}\lvert x_n-y_n\rvert$ を入れる（同記事の命題「Hilbert 立方体の距離」）。
$X$ はコンパクトなので、$\delta>0$ を、$X$ からの距離が $\delta$ 未満の点がすべて $W$ に入るようにとれる。$2^{-N}<\delta$ となる $N$ をとり、$\pi\colon Q\to Q$ を $\pi(x):=(x_0,\dots,x_N,0,0,\dots)$ で定める。$x\in Q$ と $t\in[0,1]$ について、点 $(1-t)x+t\pi(x)$ は $Q$ に属し、最初の $N+1$ 座標が $x$ と同じなので
$$ \rho\bigl(x,(1-t)x+t\pi(x)\bigr)\le\sum_{n>N}2^{-n}=2^{-N}<\delta $$
である。よって $x\in X$ なら $x$ と $\pi(x)$ を結ぶ線分は $W$ に含まれる。
$F:=\{y\in Q\mid y_n=0\ (n>N)\}$ は立方体 $[0,1]^{N+1}$ と同相で、$\pi(X)$ はそのコンパクト集合、$W\cap F$ は $F$ の開集合である。$F$ を辺の長さ $2^{-m}$ の格子で小立方体に分け、$\pi(X)$ と交わる小立方体の和を $P$ とすると、$m$ が十分大きければ $\pi(X)\subset P\subset W\cap F$ である。$P$ は有限個の立方体の和で、それらの開いた面を胞体とする有限 CW 複体である。
$s:=\pi|_X\colon X\to P$、$d:=r|_P\colon P\to X$ とおく。$H(x,t):=r\bigl((1-t)x+t\pi(x)\bigr)$ は線分が $W$ に含まれるので $X\times[0,1]$ 上で定義された連続写像で、$H(x,0)=r(x)=x$、$H(x,1)=d(s(x))$ である。よって $d\circ s\simeq\operatorname{id}_X$ である。$\square$

1：ホモトピー不変性により $d_*\circ s_*=(d\circ s)_*=\operatorname{id}$ なので、$s_*$ は単射で $H_i(X)$ は $H_i(K)$ の直和因子と同型である。$H_i(K)$ は胞体ホモロジーと同型で、有限生成であり $i>k$ で $0$ である（胞体ホモロジー群）。有限生成アーベル群の直和因子は有限生成である。$H_0(X)$ は弧状連結成分の数を階数とする自由アーベル群である。
2：$h\colon d\circ s\simeq\operatorname{id}_X$ をとり、$\gamma(t):=h(x,t)$ を $d(s(x))$ から $x$ への道とする。基点の動くホモトピーについての等式 $(d\circ s)_*=\beta_\gamma\circ(\operatorname{id}_X)_*$（$\beta_\gamma\colon\pi_1(X,x)\to\pi_1(X,d(s(x)))$ は $\gamma$ に沿った基点の取り替えの同型。Hat02 Lemma 1.19, p. 37）により $d_*\circ s_*=(d\circ s)_*$ は同型なので、$d_*\colon\pi_1(K,s(x))\to\pi_1(X,d(s(x)))$ は全射である。有限 CW 複体の基本群は、1 骨格（有限グラフ）の基本群が有限生成な自由群であること（Hat02 Proposition 1A.2, p. 84）と同書 Proposition 1.26（p. 50）により有限生成なので、$\pi_1(X,d(s(x)))\cong\pi_1(X,x)$ も有限生成である。$\square$

1：$\Phi\colon T_{g\circ f}\to T_{f\circ g}$、$\Psi\colon T_{f\circ g}\to T_{g\circ f}$ を
$$ \Phi([a,t]):=[f(a),t],\qquad\Psi([b,t]):=[g(b),t] $$
で定める。$\Phi$ は同一視と両立する：$(a,1)$ の像 $[f(a),1]=[fgf(a),0]$ は $(gf(a),0)$ の像 $[f(gf(a)),0]$ に等しい。$\Psi$ も同様である。どちらも商空間の普遍性により連続である。合成は $\Psi\Phi([a,t])=[gf(a),t]$、$\Phi\Psi([b,t])=[fg(b),t]$ である。
一般に $h\colon Y\to Y$ について、$\theta_u\colon T_h\to T_h$（$u\in I$）を
$$ \theta_u([y,t]):=\begin{cases}[y,t+u]&(t+u\le1),\\ [h(y),t+u-1]&(t+u\ge1)\end{cases} $$
で定めると、$t+u=1$ で両式は $[y,1]=[h(y),0]$ で一致し、$(y,1)$ と $(h(y),0)$ の像はともに $[h(y),u]$ なので同一視と両立する。$Y\times I\times I$ 上の連続写像から誘導され、$I$ は局所コンパクトなので商写像と $I$ の積は商写像であり（Hat02 Proposition A.17, p. 532）、$\theta$ は $T_h\times I$ 上で連続である。$\theta_0=\operatorname{id}$、$\theta_1([y,t])=[h(y),t]$ である。$h=g\circ f$ と $h=f\circ g$ に使えば $\Psi\Phi\simeq\operatorname{id}$、$\Phi\Psi\simeq\operatorname{id}$ を得る。
2：$T_h$ は、$Y$ に $Y\times I$ を $\varphi_h\colon Y\times\partial I\to Y$、$\varphi_h(y,0)=y$、$\varphi_h(y,1)=h(y)$ で貼り付けた空間 $Y\sqcup_{\varphi_h}(Y\times I)$ と同相である（$[y,t]$ と柱の点 $(y,t)$ を対応させる写像が両方向に普遍性で連続に定まる）。$h_0\simeq h_1$ なら $\varphi_{h_0}\simeq\varphi_{h_1}$ である。$I\times I$ は $I\times\{0\}\cup\partial I\times I$ に変位レトラクトするので、$(Y\times I)\times I$ は $(Y\times I)\times\{0\}\cup(Y\times\partial I)\times I$ に変位レトラクトする。このような対については、ホモトピックな貼り付け写像で貼った空間はホモトピー同値である（Hat02 Proposition 0.18, p. 16。その証明がこの条件を満たす対に通用することは同書 p. 528 に注意されている）。$\square$

（⇒）$s\colon X\to K$、$d\colon K\to X$ を $d\circ s\simeq\operatorname{id}_X$、$K$ を有限 CW 複体とする。lem-fd-torus により
$$ X\times S^1\cong T_{\operatorname{id}_X}\simeq T_{d\circ s}\simeq T_{s\circ d} $$
である（2 つ目は 2、3 つ目は 1 を $f=s$、$g=d$ として使う）。胞体近似定理により $s\circ d\colon K\to K$ は胞体写像 $c$ にホモトピックなので、2 により $T_{s\circ d}\simeq T_c$ である。$T_c$ は $K$ の胞体 $e$ と $e\times(0,1)$ を胞体とする有限 CW 複体である。

thm-fd-cw-type により $X$ は CW 複体 $Y$ とホモトピー同値であり、$Y$ も単連結で有限支配である。prop-fd-homology により $H_n(Y;\mathbb{Z})$ はすべて有限生成で、ある $k$ より大きい $n$ では $0$ である。有限生成アーベル群の基本定理により各 $H_n(Y)$ を有限個の巡回群の直和に分解し、生成元を指定する。単連結な CW 複体に対する最小胞体構造の定理（Hat02 Proposition 4C.1, p. 429）により、CW 複体 $Z$ と胞体的なホモトピー同値写像 $Z\to Y$ で、$Z$ の胞体が 1 つの 0 胞体と、各巡回直和因子に対する「生成元」の $n$ 胞体と、位数有限の因子に対する「関係」の $(n+1)$ 胞体だけからなるものがある。直和因子は全体で有限個なので $Z$ は有限 CW 複体である。$\square$