幾何学的実現と積(Milnorの定理)

$\lvert K\rvert$ は $k$-空間なので、コンパクト生成空間 の命題「$k$-空間の圏の直積」により $\lvert K\rvert\times_k\lvert L\rvert=\lvert K\rvert\times\lvert L\rvert$ であり、thm-rp-main から従う。非退化単体が有限個なら $\lvert L\rvert$ はコンパクト Hausdorff（幾何学的実現 の系「実現の位相的性質」）、とくに局所コンパクトである。$\square$

まず「$z\in s_i(K_{n-1})$ と $\alpha(i)=\alpha(i+1)$ は同値」を示す。$\alpha(i)=\alpha(i+1)$ なら $\alpha=\alpha'\sigma^i$（$\alpha'$ は全射）と書けて $z=(\sigma^i)^*(\alpha'^*x)=s_i(\alpha'^*x)$ である。逆に $z=s_iz'$ とし、$z'=\alpha''^*x''$ を根による表示とすると $z=(\alpha''\sigma^i)^*x''$ で $\alpha''\sigma^i$ は全射なので、表示の一意性から $\alpha=\alpha''\sigma^i$、とくに $\alpha(i)=\alpha(i+1)$ である。
$(z,w)$ が退化していることは、ある $i$ について $(z,w)=s_i(z',w')$、すなわち $z\in s_i(K_{n-1})$ かつ $w\in s_i(L_{n-1})$ となることなので、ある $i$ で $(\alpha(i),\beta(i))=(\alpha(i+1),\beta(i+1))$ となることと同値である。$(\alpha,\beta)$ は積順序について順序を保つので、単射でないことと隣り合う 2 点の値が一致することは同値である。
非退化な $(z,w)$ は根の組 $(x,y)$ と単射 $(\alpha,\beta)$ で決まり、$(\alpha(i),\beta(i))$ は狭義増加列なので座標の和が 1 歩ごとに 1 以上増え、$n\le p+q$ である。よって根が有限個なら非退化単体は有限個である。$\Delta^p$ の $n$ 単体 $\mu\colon[n]\to[p]$ の根による表示は、全射 $\alpha\colon[n]\to[m]$ と単射 $\kappa\colon[m]\to[p]$ への分解 $\mu=\kappa\circ\alpha$ による $\mu=\alpha^*\kappa$（根は $\kappa$）である。$\Delta^q$ の $n$ 単体 $\nu=\kappa'\circ\beta$ も同様で、$\kappa,\kappa'$ は単射なので、$(\alpha,\beta)$ が単射であることと $(\mu,\nu)$ が単射であることは同値である。よって $(\mu,\nu)$ が非退化であることは、$(\mu,\nu)\colon[n]\to[p]\times[q]$ が単射であること、すなわち $v_i:=(\mu(i),\nu(i))$ が狭義増加列であることと同値であり、最後の主張が従う。$\square$

幾何学的実現 の命題「実現の点の標準の代表」により、左辺の点は非退化単体 $\gamma=(\alpha,\beta)$（lem-rp-nondegenerate により狭義増加列）と内部の点 $\lambda$ の組でただ 1 通りに表される。$\pi_{p,q}$ が全単射であることを示す。
全射：$(s,s')$ を与え、$\varphi:=(a_s,a_{s'})\colon[0,1)\to[p]\times[q]$ とおく。$\varphi$ は積順序について広義単調増加なので、その値の集合は狭義増加列 $v_0<\dots< v_n$ をなし、各ファイバー $\varphi^{-1}(v_i)=a_s^{-1}(\cdot)\cap a_{s'}^{-1}(\cdot)$ は 2 つの区間 $[c,d)$ の共通部分なので空でない区間 $[c_i,c_{i+1})$ である。$\lambda_i:=c_{i+1}-c_i>0$ とおけば $\lambda$ は $\lvert\Delta^n\rvert$ の内部の点で、$\gamma(i):=v_i$ により $\varphi=\gamma\circ a_\lambda$ となる。成分を見て (1) を使うと $a_s=\alpha\circ a_\lambda=a_{\lvert\alpha\rvert\lambda}$、すなわち $s=\lvert\alpha\rvert\lambda$ であり、同様に $s'=\lvert\beta\rvert\lambda$ である。
単射：狭義増加列 $\gamma=(\alpha,\beta)$ と内部の点 $\lambda$ から $(s,s')=(\lvert\alpha\rvert\lambda,\lvert\beta\rvert\lambda)$ が得られたとする。(1) により $(a_s,a_{s'})=\gamma\circ a_\lambda$ であり、$\lambda$ が内部の点なので $a_\lambda$ は全射である。よって $\gamma$ の像は $(a_s,a_{s'})$ の値の集合として、$\lambda_i$ はそのファイバーの長さとして、$(s,s')$ から決まる。
左辺は非退化単体が有限個なのでコンパクトであり（幾何学的実現 の系「実現の位相的性質」）、右辺は Hausdorff なので、連続な全単射 $\pi_{p,q}$ は同相写像である。$\square$

段 1（全射）：$\lvert K\rvert$、$\lvert L\rvert$ の点を $[x,s]$、$[y,s']$（$x\in K_p$、$y\in L_q$）とする。$x,y$ を米田の補題で単体的写像 $x\colon\Delta^p\to K$、$y\colon\Delta^q\to L$ とみると、自然性により
$$ \pi_{K,L}\circ\lvert x\times y\rvert=(\iota_x\times\iota_y)\circ\pi_{p,q} $$
である（以下この等式を (2) と呼ぶ）。prop-rp-simplices により $\pi_{p,q}(\xi)=(s,s')$ となる $\xi$ があり、$\pi_{K,L}(\lvert x\times y\rvert\xi)=([x,s],[y,s'])$ である。
段 2（単射）：$\lvert K\times L\rvert$ の点を標準の代表 $[(z,w),\lambda]$（$\lambda$ は内部の点）で表し、$z=\alpha^*x$、$w=\beta^*y$ を根による表示とする。$(\alpha,\beta)$ は $\Delta^p\times\Delta^q$ の $n$ 単体で、$x\times y$ による像は $(z,w)$ なので、この点は $\lvert x\times y\rvert[(\alpha,\beta),\lambda]$ に等しい。その像は $([x,\lvert\alpha\rvert\lambda],[y,\lvert\beta\rvert\lambda])$ で、$\alpha,\beta$ は全射なので $\lvert\alpha\rvert\lambda$、$\lvert\beta\rvert\lambda$ は内部の点である。したがって像の標準の代表から $x,y$ と $\lvert\alpha\rvert\lambda,\lvert\beta\rvert\lambda$ が読み取れ、prop-rp-simplices の単射性により $[(\alpha,\beta),\lambda]\in\lvert\Delta^p\times\Delta^q\rvert$ が決まる。よって元の点は像から決まる。
段 3（逆写像の連続性）：$h:=\pi_{K,L}^{-1}$ とおく。$\lvert K\rvert\times_k\lvert L\rvert$ は $k$-空間なので、試験写像 $u\colon C\to\lvert K\rvert\times_k\lvert L\rvert$ について $h\circ u$ が連続であることを示せばよい。$u$ は直積位相への試験写像でもある。射影の像はコンパクトなので、CW 複体 $\lvert K\rvert$ の有限個の胞体としか交わらない（CW複体 の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」）。それらの胞体に対応する非退化単体が生成する部分単体的集合を $K'$ とすると、$K'$ の非退化単体は有限個で、射影の像は閉集合 $\lvert K\rvert_{K'}\cong\lvert K'\rvert$ に含まれる（幾何学的実現 の補題「部分単体的集合の実現」）。同様に $L'$ をとる。
lem-rp-nondegenerate により $K'\times L'$ の非退化単体は有限個なので $\lvert K'\times L'\rvert$ はコンパクトであり、段 1・2 により $\pi_{K',L'}$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間 $\lvert K'\rvert\times\lvert L'\rvert$ への連続な全単射、したがって同相写像である。包含 $j\colon\lvert K'\times L'\rvert\to\lvert K\times L\rvert$ は連続で、$\pi_{K,L}\circ j=\pi_{K',L'}$（右辺の値域を部分空間 $\lvert K\rvert_{K'}\times\lvert L\rvert_{L'}$ とみる）なので、この部分空間の上で $h=j\circ\pi_{K',L'}^{-1}$ となる。$u$ はこの部分空間への連続写像なので、$h\circ u=j\circ\pi_{K',L'}^{-1}\circ u$ は連続である。
自然性は $\pi_{K,L}$ の定義式から明らかである。$\square$