因果階層

1 の前半。 Globally Hyperbolic時空 の記事の命題「大域的双曲時空は因果的に単純」による。
1 の後半。 $(M,g)$ を因果的に単純とする。
識別的であること：$p\neq q$ かつ $I^+(p)=I^+(q)$ と仮定する。事実 3 により $q\in\overline{I^+(q)}=\overline{I^+(p)}$ であり、$I^+(p)\subset J^+(p)$ で $J^+(p)$ は閉なので $q\in J^+(p)$、すなわち $p\le q$ である。$p$ と $q$ を入れ替えて $q\le p$ も得る。$p\neq q$ なので、$p$ から $q$ への未来向き因果曲線と $q$ から $p$ への未来向き因果曲線をつなげば閉じた因果曲線ができ、因果的であることに反する。$I^-$ についても同様である。
reflecting であること：$I^-(p)\subset I^-(q)$ とすると、事実 3 により $p\in\overline{I^-(p)}\subset\overline{I^-(q)}\subset J^-(q)$ なので $p\le q$ であり、準備の注意により $I^+(q)\subset I^+(p)$ である。逆に $I^+(q)\subset I^+(p)$ とすると $q\in\overline{I^+(q)}\subset\overline{I^+(p)}\subset J^+(p)$ なので $p\le q$ であり、$I^-(p)\subset I^-(q)$ である。
2。 $t$ を時間関数とし、ある点 $p$ で強因果的でないと仮定する。すると $p$ の近傍 $U$ で、$p$ のどんな近傍 $V\subset U$ についても、両端が $V$ に属し $U$ に含まれない未来向き因果曲線があるものがとれる。事実 4 の凸近傍 $W$ と、$p$ の開近傍 $U'$ で閉包 $\overline{U'}$ がコンパクトかつ $\overline{U'}\subset U\cap W$ となるものをとる。$p$ に縮む近傍の列 $V_k\subset U'$ に対し、両端 $p_k,q_k\in V_k$ をもち $U$ に含まれない（したがって $U'$ にも含まれない）未来向き因果曲線 $\gamma_k$ がある。$\gamma_k$ が最初に $U'$ の外に出る点を $x_k$ とすると、$x_k\in\partial U'$ であり、$\gamma_k$ の $p_k$ から $x_k$ までの部分は $\overline{U'}\subset W$ に含まれる。$\partial U'$ はコンパクトなので、部分列をとって $x_k\to x\in\partial U'$ としてよい。$p_k\to p$ なので、事実 4 により $x$ は $W$ 内の未来向き因果曲線で $p$ から到達でき、$x\neq p$（$p\in U'$、$x\notin U'$）だから $p< x$、よって $t(p)< t(x)$ である。一方、$\gamma_k$ に沿って $t$ は増加するので $t(x_k)\le t(q_k)$ であり、$t$ の連続性から $t(x)\le t(p)$ となって矛盾する。
3。 強因果的 $\Rightarrow$ 識別的：$p\neq q$ かつ $I^+(p)=I^+(q)$ と仮定する。$p$ の開近傍 $U$ で $q\notin\overline U$ となるものをとり（多様体は Hausdorff で局所コンパクト）、強因果性の近傍 $V\subset U$ をとる。事実 3 により $p'\in V\cap I^+(p)$ がある。$p'\in I^+(q)$ なので、$q$ から $p'$ への未来向き時間的曲線 $\alpha$ がある。$\alpha$ の始点 $q$ は $\overline U$ の外にあるので、$\alpha$ 上の $q$ に十分近い点 $q'\neq q$ は $U$ の外にあり、$q\ll q'$ である。$q'\in I^+(q)=I^+(p)$ なので、$p$ から $q'$ への未来向き時間的曲線 $\beta$ がある。$\beta$ と $\alpha$ の $q'$ から $p'$ までの部分をつなぐと、両端 $p,p'$ が $V$ に属し、$U$ の外の点 $q'$ を通る未来向き因果曲線ができ、強因果性に反する。過去についても同様である。
識別的 $\Rightarrow$ 因果的：閉じた因果曲線 $\gamma$ があれば、その上に相異なる 2 点 $p,q$ がとれ（速度は $0$ でないので $\gamma$ は 1 点ではない）、$p\le q$ かつ $q\le p$ である。準備の注意により $I^+(q)\subset I^+(p)$ かつ $I^+(p)\subset I^+(q)$ となり、未来識別的であることに反する。
因果的 $\Rightarrow$ chronological は、閉じた時間的曲線が閉じた因果曲線であることによる。chronological $\Rightarrow$ non-totally vicious は、$M$ が空でないことによる。$\blacksquare$

$v=a\partial_x+b\partial_\theta\neq0$ について $g(v,v)=2ab+fb^2$、$g(v,T)=a+(f-1)b$ である。$v$ が未来向き因果的とする。$b< 0$ なら、$g(v,v)\le0$ から $a\ge f\lvert b\rvert/2\ge0$、$g(v,T)< 0$ から $a<(1-f)b< 0$ となり矛盾する。よって $b\ge0$ であり、$b=0$ なら $a< 0$、$b>0$ なら $a\le-fb/2\le0$ である。とくに 未来向き因果ベクトルは $a\le0$ を満たし、$a=0$ となるのは $f(x)=0$（$x=0$）かつ $b>0$ のときに限る。未来向き時間的なら $2ab+fb^2< 0$ から $b>0$、$a<-fb/2\le0$ である。
したがって未来向き因果曲線に沿って $x$ は増加せず、時間的曲線に沿っては狭義に減少する。閉じた時間的曲線はないので chronological である。一方、円 $C=\{x=0\}$ を $\theta$ の増える向きに一周する曲線は、接ベクトル $\partial_\theta$ が $g(\partial_\theta,\partial_\theta)=f(0)=0$、$g(\partial_\theta,T)=-1< 0$ を満たす閉じた未来向き因果曲線であり、因果的でない。$\blacksquare$

因果的であること：$M'$ の閉じた因果曲線は $M$ の閉じた因果曲線である。その上で $x$ は増加せず始点と終点で等しいので一定であり、前の例の証明の太字の主張から曲線は $C$ に含まれ、$\theta$ が狭義に増加する。閉じるためには $\theta$ が $2\pi$ の正の整数倍だけ増える必要があり、そのとき $p_0$ を通る。よって $M'$ に閉じた因果曲線はない。
識別的でないこと：$C\setminus\{p_0\}$ の任意の点 $q$ について $I^+(q)=\{x< 0\}$（$M'$ において）であることを示す。そうすれば $C\setminus\{p_0\}$ の相異なる 2 点の時間的未来が一致する。時間的曲線に沿って $x$ は狭義に減少するので $I^+(q)\subset\{x< 0\}$ である。逆に $q=(0,\theta_0)$、$x_1< 0$、$\theta_1$ を与える。$\varepsilon>0$ に対し、$\theta$ を（普遍被覆の座標で）パラメータとする微分方程式 $dx/d\theta=-(f(x)/2+\varepsilon)$、$x(\theta_0)=0$ の解は右辺が有界なので全域で存在し、$\theta$ について狭義減少で、$\theta=\theta_0+L(\varepsilon)$、$L(\varepsilon)=\int_{x_1}^0dx/(f(x)/2+\varepsilon)$ で $x_1$ に達する。曲線 $\theta\mapsto(x(\theta),\theta)$ の接ベクトル $a\partial_x+\partial_\theta$ は $a=-(f/2+\varepsilon)$ を満たし、$2a+f=-2\varepsilon< 0$ かつ $a+(f-1)< 0$ なので未来向き時間的である。$L$ は連続で、$\varepsilon\to\infty$ で $0$ に近づき、$\varepsilon\to+0$ で $\int_{x_1}^0 2(1+x^2)x^{-2}\,dx=\infty$ に発散する。中間値の定理により $L(\varepsilon)\equiv\theta_1-\theta_0\pmod{2\pi}$ となる $\varepsilon$ があり、そのとき曲線は $q$ から $(x_1,\theta_1)$ に達する。曲線は始点以外で $x< 0$ なので $p_0$ を通らない。よって $(x_1,\theta_1)\in I^+(q)$ である。$\blacksquare$

以下、$\mathbb{L}^2$ での集合に添字 $L$ を付ける。まず $p\in M$ について $I^\pm(p)=I_L^\pm(p)\setminus\{0\}$ である。$\subset$ は明らかである。$r\in I_L^+(p)$、$r\neq0$ とすると、線分 $pr$ は未来向き時間的である。原点がこの線分上になければそれを使い、線分上にあれば、開集合 $I_L^+(p)\cap I_L^-(r)$ の点 $m$ を直線 $pr$ の外にとって折れ線 $p\to m\to r$ を使う。2 本の線分はどちらも時間的で、直線 $pr$ とは端点 $p$、$r$ でしか交わらないので原点を通らない。
因果的に単純でないこと：$p=(-1,-1)$、$q=(1,1)$ とする。$\mathbb{L}^2$ で $p$ から $q$ への未来向き因果曲線 $(t(s),x(s))$ は $t'\ge\lvert x'\rvert\ge x'$ を満たし、$t$ と $x$ の増分がともに $2$ なので $t'=x'$ が成り立ち、直線 $t=x$ 上を進んで原点を通る。よって $q\notin J^+(p)$ である。一方 $q_k=(1+1/k,1)$ は $I_L^+(p)\setminus\{0\}=I^+(p)$ に属し $q$ に収束するので、$J^+(p)$ は閉でない。
因果的連続であること：$\mathbb{L}^2$ が因果的なので $M$ も因果的である。$\mathbb{L}^2$ における閉包をとると、開集合から 1 点を除いても閉包は変わらないので $\overline{I^+(p)}=\overline{I_L^+(p)}=\{t-t_p\ge\lvert x-x_p\rvert\}$ であり（時空 の記事の例「Minkowski時空」を平行移動したもの）、その中で $t$ が最小の点は $p$ だけである。よって $I^+(p)$ から $p$ が決まり、$M$ は未来識別的である。過去も同様である。reflecting であること：$I^+(q)\subset I^+(p)$ なら、閉包をとって $\overline{I_L^+(q)}\subset\overline{I_L^+(p)}$ なので $q\in\overline{I_L^+(p)}$、すなわち $\mathbb{L}^2$ で $p\le q$ であり、$\mathbb{L}^2$ での押し上げから $I_L^-(p)\subset I_L^-(q)$、原点を除いて $I^-(p)\subset I^-(q)$ を得る。逆向きも同様である。$\blacksquare$