冪零行列

(i)⇔(ii) は 冪零元 の記事の命題「行列の冪零指数の上限」である。
(i)⇒(iv)：$A^m=O$ とし、$K_i:=\ker A^i\subset K^n$（$0\le i\le m$）とおく。$K_0=\{0\}$、$K_m=K^n$ で、$A^iv=0$ なら $A^{i+1}v=0$ なので $K_0\subset K_1\subset\dots\subset K_m$ である。さらに $v\in K_i$ なら $A^{i-1}(Av)=A^iv=0$ なので
$$ A(K_i)\subset K_{i-1}\qquad(1\le i\le m) $$
である。$d_i:=\dim K_i$ とし、$K_1$ の基底をとり、それを $K_2$ の基底に延長し、さらに $K_3$ の基底に延長する、という操作を続けて、$K^n$ の基底 $b_1,\dots,b_n$ で、各 $i$ について $b_1,\dots,b_{d_i}$ が $K_i$ の基底になるものを作る。$d_{i-1}< j\le d_i$ なら $b_j\in K_i$ なので $Ab_j\in K_{i-1}=\operatorname{span}\{b_1,\dots,b_{d_{i-1}}\}$ であり、$d_{i-1}< j$ なので $Ab_j$ は $b_1,\dots,b_{j-1}$ の線形結合である。よって $P:=(b_1\ \cdots\ b_n)$ とすると、$P^{-1}AP$ の第 $j$ 列（$Ab_j$ の座標）は第 $j$ 成分以下が $0$ であり、$P^{-1}AP$ は狭義上三角行列である。
(iv)⇒(iii)：$N:=P^{-1}AP$ とする。$\det(xI-N)=\det\bigl(P^{-1}(xI-A)P\bigr)=\det(xI-A)$ なので $p_A=p_N$ である。$xI-N$ は対角成分がすべて $x$ の上三角行列なので、行列式 の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」により $p_N(x)=x^n$ である。
(iii)⇒(ii)：Cayley–Hamiltonの定理 により $A^n=p_A(A)=O$ である。
(iii)⇔(v)：$p_A$ は最高次の係数が $1$ の $n$ 次式なので、$\overline{K}$ の上で $p_A(x)=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n)$ と分解する。$p_A=x^n$ であることと、すべての $\lambda_i$ が $0$ であることは同値である。$\square$

(i)：$p_A(x)=\det(xI-A)$ の $x^{n-1}$ の係数は $-\operatorname{tr}A$、定数項は $(-1)^n\det A$ である（トレースと固有値 の記事の補題「固有多項式の係数」の計算は、行列式の各項の次数を数えるだけなので任意の体の上で成り立つ）。thm-nm-characterization により $p_A=x^n$ なので、どちらも $0$ である。$\det A=0$ なので $A$ は正則でない。
(ii)：$(I-A)(I+A+\dots+A^{n-1})=I-A^n=I$ であり、$I+A+\dots+A^{n-1}$ は $A$ の多項式なので $I-A$ と可換で、逆の順の積も $I$ である。
(iii)：対角化 の記事の系「冪零行列は零行列でなければ対角化できない」である。$\square$

冪零なら：$A^k$ も $(A^k)^n=(A^n)^k=O$ より冪零なので、cor-nm-basic の (i) により $\operatorname{tr}(A^k)=0$ である。
逆を示す。段 1（固有値の冪和）：$\overline{K}$ は代数閉体なので、Jordan標準形 の記事の定理「Jordan標準形の存在」により、正則行列 $P\in M_n(\overline{K})$ で $T:=P^{-1}AP$ が上三角行列になるものがある。$T$ の対角成分を $t_1,\dots,t_n$ とすると、thm-nm-characterization の証明の (iv)⇒(iii) と同じ計算で $p_A(x)=(x-t_1)\cdots(x-t_n)$ である。$T^k=P^{-1}A^kP$ は対角成分 $t_1^k,\dots,t_n^k$ の上三角行列で、$\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$ により
$$ \operatorname{tr}(A^k)=\operatorname{tr}(PT^kP^{-1})=\operatorname{tr}(T^kP^{-1}P)=\operatorname{tr}(T^k)=t_1^k+\dots+t_n^k $$
である。
段 2（Vandermonde 行列）：$t_1,\dots,t_n$ のうち $0$ でない値を重複なく $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ とし、$t_i=\lambda_j$ となる $i$ の個数を $m_j$ とする（$1\le m_j\le n$）。$r\ge1$ と仮定して矛盾を導く。仮定と段 1 から、$k=1,\dots,r$（$r\le n$）について
$$ m_1\lambda_1^k+m_2\lambda_2^k+\dots+m_r\lambda_r^k=\operatorname{tr}(A^k)=0 $$
である（$m_j$ は $m_j\cdot1\in K$ と読む）。これは $r$ 次正方行列 $V:=(\lambda_j^k)_{1\le k,j\le r}$ と列ベクトル $(m_1,\dots,m_r)^{\mathsf T}$ の積が $0$ であるという式である。$V$ の第 $j$ 列から $\lambda_j$ をくくり出すと
$$ \det V=\lambda_1\cdots\lambda_r\prod_{1\le j< l\le r}(\lambda_l-\lambda_j)\ne0 $$
である（Vandermondeの行列式）。よって $V$ は正則で、$m_j\cdot1=0$（$j=1,\dots,r$）となる。ところが $1\le m_j\le n$ で、$K$ の標数は $0$ か $n$ より大きいので $m_j\cdot1\ne0$ であり、矛盾する。
段 3：したがって $r=0$、すなわち $t_1=\dots=t_n=0$ で $p_A(x)=x^n$ となり、thm-nm-characterization により $A$ は冪零である。$\square$

$AB=BA$ なので二項定理が使えて
$$ (A+B)^{k+l-1}=\sum_{i=0}^{k+l-1}\binom{k+l-1}{i}A^iB^{k+l-1-i} $$
である。各項で $i\ge k$ なら $A^i=O$、$i\le k-1$ なら $k+l-1-i\ge l$ なので $B^{k+l-1-i}=O$ であり、和は $O$ である。$(AB)^j=A^jB^j$ なので $j=\min(k,l)$ で $O$ になる。$(cA)^k=c^kA^k=O$ である。
最後に、$AC=CA$ の両辺に左右から $C^{-1}$ を掛けると $C^{-1}A=AC^{-1}$ なので、$C^{-1}A$ は $(C^{-1}A)^k=C^{-k}A^k=O$ を満たし冪零である。$C+A=C(I+C^{-1}A)=C\bigl(I-(-C^{-1}A)\bigr)$ で、cor-nm-basic の (ii) により $I-(-C^{-1}A)$ は正則なので、$C+A$ は正則である。$\square$

段 1（有限個に帰着）：$\mathcal{S}$ が張る $M_n(K)$ の部分空間 $L$ を考える。積の双線形性から $L$ の元どうしも可換であり、prop-nm-commuting を有限回使うと $L$ の元は冪零である。$L$ の基底 $A_1,\dots,A_r$ を 1 つの $P$ で同時に狭義上三角行列にできれば、その線形結合である $\mathcal{S}$ の元も狭義上三角行列になる。以下、$A_1,\dots,A_r$ について示す。
段 2（共通の核）：$V_0:=K^n$、$V_i:=V_{i-1}\cap\ker A_i$（$1\le i\le r$）とおき、$V_i\ne\{0\}$ を $i$ についての帰納法で示す。$v\in V_{i-1}$ なら、$j< i$ について $A_jA_iv=A_iA_jv=0$ なので $A_iv\in V_{i-1}$ である。よって $A_i$ は $V_{i-1}\ne\{0\}$ の線形変換を定め、それは冪零なので単射でない（単射ならその冪も単射だが、ある冪は $0$）。したがって $V_i=V_{i-1}\cap\ker A_i\ne\{0\}$ である。とくに、$0$ でない $v\in V_r$ はすべての $A_i$ について $A_iv=0$ を満たす。
段 3（$n$ についての帰納法）：$n=1$ なら冪零な $1$ 次の行列は $O$ なのでよい。$n\ge2$ とし、段 2 の $v$ について $W:=Kv$ とおく。$A_iW=\{0\}\subset W$ なので、商ベクトル空間 の記事の命題「誘導写像と区分上三角行列」により、$n-1$ 次元の空間 $K^n/W$ の線形変換 $\overline{A_i}(x+W):=A_ix+W$ が定まる。$\overline{A_i}\,\overline{A_j}(x+W)=A_iA_jx+W$ なので $\overline{A_i}$ どうしは可換で、$\overline{A_i}^{\,k}(x+W)=A_i^kx+W$ なので冪零である。帰納法の仮定により、$K^n/W$ の基底 $x_2+W,\dots,x_n+W$ で、各 $\overline{A_i}(x_j+W)$ が $x_2+W,\dots,x_{j-1}+W$ の線形結合になるものがある。$x_1:=v$ とすると、$x_1,\dots,x_n$ は $K^n$ の基底である（$y\in K^n$ について $y+W=\sum_{j\ge2}c_j(x_j+W)$ なら $y-\sum_{j\ge2}c_jx_j\in W=Kx_1$ なので $n$ 個で $K^n$ を張る）。さらに $A_ix_1=0$ であり、$j\ge2$ では
$$ A_ix_j\in\operatorname{span}\{x_2,\dots,x_{j-1}\}+W=\operatorname{span}\{x_1,\dots,x_{j-1}\} $$
である。よって $P:=(x_1\ \cdots\ x_n)$ とすれば、どの $P^{-1}A_iP$ も狭義上三角行列である。$\square$