Macdonald多項式

$d=|\lambda|$ とし、$\{P_\mu\}_{\mu\vdash d}$ と $\{P^{\prime}_\mu\}_{\mu\vdash d}$ がともに (A)(B) を満たすとする。(B) により $\{P_\mu\}$ は $\Lambda^d_F$ の直交基底で、形式が非退化なので $\langle P_\mu,P_\mu\rangle_{q,t}\ne0$ である。支配順序を細分した全順序で帰納法を使い、$\mu< \lambda$ で $P^{\prime}_\mu=P_\mu$ とする。(A) から $R:=P^{\prime}_\lambda-P_\lambda$ は $m_\mu$（$\mu< \lambda$）の結合であり、$P_\mu$ の三角性から $R=\sum_{\mu< \lambda}d_\mu P_\mu$ と書ける。$\nu< \lambda$ に対し (B) から $0=\langle R,P_\nu\rangle_{q,t}=d_\nu\langle P_\nu,P_\nu\rangle_{q,t}$ なので $d_\nu=0$、すなわち $P^{\prime}_\lambda=P_\lambda$ である。$\square$

1．$\sigma\in S_n$ に対し $\sigma(A_i)=A_{\sigma(i)}$ であり、$f$ が対称なら $\sigma(T_{q,x_i}f)=T_{q,x_{\sigma(i)}}f$ なので、$\sigma(Df)=Df$ である。$a_\delta=\sum_w\operatorname{sgn}(w)x^{w\delta}$（$w\delta$ は $w(x^\delta)$ の指数）から $T_{t,x_i}a_\delta=\sum_w\operatorname{sgn}(w)t^{(w\delta)_i}x^{w\delta}$ なので、$f=\sum_\alpha f_\alpha x^\alpha$ に対し
$$ a_\delta\,Df=\sum_i(T_{t,x_i}a_\delta)(T_{q,x_i}f)=\sum_{w\in S_n}\sum_\alpha\operatorname{sgn}(w)f_\alpha\Bigl(\sum_{i=1}^nt^{(w\delta)_i}q^{\alpha_i}\Bigr)x^{w\delta+\alpha} $$
は多項式である。$Df$ は対称なので $a_\delta Df$ は交代多項式であり、Schur多項式 の補題「交代多項式の基本性質」(3) により $Df$ は対称多項式である。次数を保つことは式から明らかである。
2．$f=m_\lambda$ とする。交代多項式 $a_\delta Dm_\lambda$ を $\sum_\gamma r_\gamma a_\gamma$（$\gamma$ は狭義減少、$r_\gamma$ は $x^\gamma$ の係数）と書く（Schur多項式 の定理「対称多項式の環の基底」の証明）。$x^\gamma$ の係数に寄与するのは $\gamma=w\delta+\alpha$（$\alpha$ は $\lambda$ の並べ替え）の項である。$w\delta$ の任意の $k$ 成分の和は $\delta_1+\cdots+\delta_k$ 以下、$\alpha$ の任意の $k$ 成分の和は $\lambda_1+\cdots+\lambda_k$ 以下なので、$\gamma_1+\cdots+\gamma_k\le(\lambda+\delta)_1+\cdots+(\lambda+\delta)_k$ であり、$\mu:=\gamma-\delta$ は $\mu\le\lambda$ を満たす。よって $Dm_\lambda=\sum_{\mu\le\lambda}r_{\mu+\delta}s_\mu$ である。同じ評価を交代多項式 $a_\delta m_\nu$（$D$ を恒等写像に替えたもの）に当てると $m_\nu=s_\nu+\sum_{\mu< \nu}(\text{整数})\,s_\mu$ となり、この対角成分 $1$ の三角行列を逆に解くと $s_\mu=m_\mu+\sum_{\nu< \mu}(\text{整数})\,m_\nu$ なので、$Dm_\lambda=\sum_{\mu\le\lambda}c_{\lambda\mu}m_\mu$ を得る。$\gamma=\lambda+\delta$ のときはすべての $k$ で等号が成り立つので、$w\delta=\delta$（$w=\mathrm{id}$）かつ $\alpha=\lambda$ であり、$c_{\lambda\lambda}=r_{\lambda+\delta}=\sum_it^{n-i}q^{\lambda_i}$ である。
3．$c_{\lambda\lambda}$ を $t$ の多項式とみると、$t^{n-i}$ の係数が $q^{\lambda_i}$ なので、$c_{\lambda\lambda}$ から $\lambda$ が復元できる。$\square$

要点：自己随伴性を $D_x\Pi=D_y\Pi$ に言い換えると、$\Pi^{-1}D_x\Pi$ が $q$ によらないので $q=t$ の場合に帰着し、$q=t$ では Schur 関数が正規直交な固有ベクトルになる。

$d=|\lambda|$ とし、$n\ge d$ をとる。lem-mac-triangular の 2 から、$P=\sum_{\nu\le\lambda}u_{\lambda\nu}m_\nu$（$u_{\lambda\lambda}=1$）が $DP=c_{\lambda\lambda}P$ を満たすことは、$\nu< \lambda$ について
$$ (c_{\lambda\lambda}-c_{\nu\nu})\,u_{\lambda\nu}=\sum_{\nu< \mu\le\lambda}u_{\lambda\mu}c_{\mu\nu} $$
が成り立つことと同値である。lem-mac-triangular の 3 により左辺の係数は $0$ でないので、$u_{\lambda\nu}$ は $\nu$ について上から順に一意に定まる。こうして得た $P_\lambda$ は (A) を満たす。$\lambda\ne\mu$ なら、lem-mac-self-adjoint により
$$ c_{\lambda\lambda}\langle P_\lambda,P_\mu\rangle_{q,t}=\langle DP_\lambda,P_\mu\rangle_{q,t}=\langle P_\lambda,DP_\mu\rangle_{q,t}=c_{\mu\mu}\langle P_\lambda,P_\mu\rangle_{q,t} $$
であり、$c_{\lambda\lambda}\ne c_{\mu\mu}$ なので (B) が成り立つ（ここでは $\mu$ も $d$ の分割とした。次数の異なる元は、$q,t$ 内積の定義により $p_\lambda$ の次数が違えば直交するので、はじめから直交する）。得られた $P_\lambda$ を同型 $\Lambda^d_{n,F}\cong\Lambda^d_F$ で $\Lambda_F$ に移せばよい。一意性（prf-mac-uniqueness）により、$P_\lambda$ は $n$ の取り方によらない。$\square$

prf-mac-existence の漸化式から、$u_{\lambda\mu}$ は $\mathbb{Z}[q,t]$ の元 $c_{\mu\nu}$ を足し引き掛け合わせ、$c_{\lambda\lambda}-c_{\nu\nu}$（$\nu< \lambda$）で割ってできる。$t=q$ では $c_{\lambda\lambda}-c_{\nu\nu}=\sum_iq^{\lambda_i+n-i}-\sum_iq^{\nu_i+n-i}$ で、$\lambda+\delta\ne\nu+\delta$ はどちらも狭義減少なので指数の集合が異なり、$0$ でない。$t=1$ では $\sum_iq^{\lambda_i}-\sum_iq^{\nu_i}$ で、成分の多重集合が異なるので $0$ でない。よってどちらの代入も定義され、代入した $P_\lambda$ は代入した $D$ の固有ベクトルで (A) の形をもち、固有値は相異なる。このような固有ベクトルは漸化式で一意に決まる。$t=q$ では prf-lem-mac-self-adjoint の段 4 から $s_\lambda$ が固有ベクトルで、prf-lem-mac-triangular の 2 で示した $s_\lambda$ の三角性から (A) の形をもつので $P_\lambda(x;q,q)=s_\lambda$ である。$t=1$ では $A_i=1$、$D=\sum_iT_{q,x_i}$ なので $Dm_\lambda=\bigl(\sum_iq^{\lambda_i}\bigr)m_\lambda$ であり、$P_\lambda(x;q,1)=m_\lambda$ である。$\square$

prf-mac-uniqueness で見たとおり $\langle P_\lambda,P_\lambda\rangle_{q,t}\ne0$ なので $b_\lambda$ は定まり、(B) から $\langle P_\lambda,Q_\mu\rangle_{q,t}=\delta_{\lambda\mu}$ である。後半は prf-lem-mac-self-adjoint の段 1 から従う。$\square$