Springer対応
概要
Springer対応（Springer correspondence）とは、複素数体上の連結な半単純群 $G$ の Weyl 群 $W$ の既約表現を、Lie 環の冪零軌道とその上の $G$ 同変な既約局所系の組に単射で対応させるものである。冪零錐への Springer 分解 $\mu\colon\widetilde{\mathcal N}\to\mathcal N$ は半小射で、$R\mu_*\mathbb C[\dim\mathcal N]$ は交叉コホモロジー複体の直和に分解し、その自己準同型の代数が $W$ の群環と同型になる。直和成分の重複度の空間が既約表現を与え、Springer ファイバーの最高次のコホモロジーの中に実現される。一般線形群では、対称群の既約表現と $n$ の分割の全単射になる。
Springer対応（Springer correspondence）は、簡約群 $G$ の Weyl 群 $W$ の既約表現を、$G$ の Lie 環の冪零元の共役類（冪零軌道）と、その上の局所系の組に対応させる対応である。表現は、冪零元 $x$ を含む Borel 部分環の全体である Springer ファイバー $\mathcal B_x$ のコホモロジーの上に実現される。一般線形群 $\mathrm{GL}_n$ では、Weyl 群は対称群 $S_n$、冪零軌道は Jordan 標準形の型すなわち $n$ の分割で番号付けられ、Springer 対応は $S_n$ の既約表現と $n$ の分割の一対一対応になる。
この対応を見通しよく述べる道具が分解定理である。冪零元全体の集合（冪零錐）$\mathcal N$ には、Springer ファイバーを束ねた滑らかな多様体 $\widetilde{\mathcal N}$ からの固有射 $\mu\colon\widetilde{\mathcal N}\to\mathcal N$（Springer 分解）がある。$\mu$ による定数層の順像 $R\mu_*\mathbb Q[\dim\mathcal N]$ は偏屈層（偏屈層）で、交叉コホモロジー複体（交叉コホモロジー）の直和に分解する。その自己準同型の代数が $W$ の群環になり、直和成分の重複度の空間が $W$ の既約表現を与える。
この記事では、$\mathrm{GL}_n$ について冪零錐と Springer 分解の基本性質を証明し、$n=2,3$ の Springer ファイバーを求める。次に、半小射の順像が偏屈層になることと Springer の定理（引用）を述べ、$n=2$ では分解を直接確かめる。最後に、$\mathrm{GL}_n$ では Springer 対応が分割と既約表現の全単射になることを導く。
冪零錐と Springer 分解
以下、断りのない限り $V=\mathbb C^n$、$G=\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$、$\mathfrak g=\mathfrak{gl}_n(\mathbb C)$ とする。$\mathcal N\subset\mathfrak g$ を冪零行列（冪零行列）全体の集合とし、冪零錐という。$\mathcal B:=\operatorname{Fl}_n$ を $V$ の完全旗 $V_\bullet=(0=V_0\subset V_1\subset\cdots\subset V_n=V)$、$\dim V_i=i$ の全体とする（旗多様体）。$V_\bullet$ を保つ行列全体 $\mathfrak b_{V_\bullet}$ は Borel 部分環で、$V_\bullet\mapsto\mathfrak b_{V_\bullet}$ により $\mathcal B$ は Borel 部分環の全体と同一視される。
$$
\widetilde{\mathcal N}:=\{(x,V_\bullet)\in\mathcal N\times\mathcal B\mid x\in\mathfrak b_{V_\bullet}\},\qquad\mu(x,V_\bullet):=x
$$
とおき、$\mu\colon\widetilde{\mathcal N}\to\mathcal N$ を Springer 分解、$x\in\mathcal N$ について $\mathcal B_x:=\mu^{-1}(x)$（$x$ で保たれる完全旗の全体）を Springer ファイバーという。$G$ は $g\cdot(x,V_\bullet)=(gxg^{-1},gV_\bullet)$ で作用し、$\mu$ は $G$ 同変である。$x$ の $G$ 共役類 $\mathcal O_x:=\{gxg^{-1}\}$ を冪零軌道という。
$\mathcal B_{gxg^{-1}}=g\mathcal B_x$ なので、Springer ファイバーは冪零軌道ごとに同型である。Jordan 標準形（Jordan標準形）により、冪零軌道は Jordan ブロックの大きさの並び、すなわち $n$ の分割 $\lambda=(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots)$ と一対一に対応する。これを $\mathcal O_\lambda$ と書く。$\mathcal O_{(n)}$（Jordan ブロックが一つ）を正則冪零軌道、$\mathcal O_{(1^n)}=\{0\}$ を零軌道という。
- 冪零な $x$ について、$x\in\mathfrak b_{V_\bullet}$ は $xV_i\subset V_{i-1}$（$1\le i\le n$）と同値である。
- 射影 $\widetilde{\mathcal N}\to\mathcal B$ の各ファイバーは $n(n-1)/2$ 次元の線形空間である。
- $\mu$ は固有かつ全射である。
- $x\in\mathcal O_{(n)}$ なら $\mathcal B_x$ は一点 $\{(\ker x,\ker x^2,\dots,\ker x^n)\}$ である。
- $\mathcal O_{(n)}$ は $\mathcal N$ の開集合で $\dim\mathcal O_{(n)}=n^2-n$ であり、$\mathcal N$ は $\mathcal O_{(n)}$ の閉包で、既約な $n^2-n$ 次元の閉部分多様体である。
要点：1・2 は旗に合わせた基底で $x$ が狭義上三角行列になることから、3 は $\mathcal B$ が射影多様体であることと $\ker x\ne0$ による帰納法から、4 は $V_i\subset\ker x^i$ と $\dim\ker x^i=i$ から、5 は正則冪零元の中心化環が $x$ の多項式の全体（$n$ 次元）であることと次元の比較から従う。
詳しい証明を開く
1：$x\in\mathfrak b_{V_\bullet}$ なら $x$ は $1$ 次元の商 $V_i/V_{i-1}$ に冪零に作用するので $0$ で作用し、$xV_i\subset V_{i-1}$ である。逆は明らか。
2：$V_\bullet$ に合わせた基底をとれば、1 の条件は $x$ が狭義上三角行列であることなので、ファイバーは $n(n-1)/2$ 次元の線形空間である。
3：$\widetilde{\mathcal N}$ は $\mathcal N\times\mathcal B$ の閉集合（条件 $xV_i\subset V_i$ は閉）で、$\mathcal B$ は射影多様体（旗多様体 の命題「旗多様体は射影多様体である」）なので、射影 $\mathcal N\times\mathcal B\to\mathcal N$ は固有であり、その閉集合への制限 $\mu$ も固有である。全射性：冪零な $x\ne0$ なら $\ker x\ne0$ なので直線 $V_1\subset\ker x$ をとり、$x$ が $V/V_1$ に引き起こす冪零写像に $n$ についての帰納法を当てて、1 の条件を満たす旗を得る。$x=0$ ならすべての旗がよい。
4：$xV_i\subset V_{i-1}$ なら $x^iV_i=0$、すなわち $V_i\subset\ker x^i$ である。$x$ が一つの Jordan ブロックなら $\dim\ker x^i=i$ なので $V_i=\ker x^i$ であり、逆にこの旗は 1 の条件を満たす。
5：$\mathcal O_{(n)}=\{x\in\mathcal N\mid x^{n-1}\ne0\}$ は開集合である。$x\in\mathcal O_{(n)}$ と可換な行列 $y$ を考える。$v$ を $x^{n-1}v\ne0$ となるベクトルとすると $v,xv,\dots,x^{n-1}v$ は基底で、$yv=p(x)v$ となる多項式 $p$ がとれ、$yx^kv=x^kyv=p(x)x^kv$ なので $y=p(x)$ である。よって $x$ の中心化環は $n$ 次元で、$G$ の作用の固定部分群は $n$ 次元、$\dim\mathcal O_{(n)}=n^2-n$ である。一方 2 と $\dim\mathcal B=n(n-1)/2$（旗多様体 の系「次元・非特異性・既約性」）から $\widetilde{\mathcal N}$ は既約で $\dim\widetilde{\mathcal N}=n^2-n$（$\widetilde{\mathcal N}$ は $\mathcal B$ 上の線形空間の族で、$G$ が $\mathcal B$ に推移的に作用することから局所自明である）。3 より $\mathcal N=\mu(\widetilde{\mathcal N})$ は既約で次元 $n^2-n$ 以下である。$\mathcal O_{(n)}\subset\mathcal N$ の次元が $n^2-n$ なので、その閉包は $\mathcal N$ に一致する。$\square$
4 と 5 から、$\mu$ は稠密な開集合 $\mathcal O_{(n)}$ の上で一対一であり、$\widetilde{\mathcal N}$ は滑らかで（$\mathcal B$ 上の線形空間の族）、$\mu$ は $\mathcal N$ の特異点の解消を与える（dCM09 4.2.2、p. 59）。$\mathcal N$ は正規な代数多様体である（Spr82 3.2 (i)、p. 257）。一般の連結な簡約群 $G$ でも、Lie 環の冪零元全体 $\mathcal N$、Borel 部分環の全体 $\mathcal B$ について同じ形で $\mu\colon\widetilde{\mathcal N}=\{(x,\mathfrak b)\mid x\in\mathfrak b\}\to\mathcal N$ が定義され、$\widetilde{\mathcal N}$ は $\mathcal B$ の余接束と同型である（dCM09 4.2.2、p. 59）。$\mathrm{SL}_n$ は $\mathrm{GL}_n$ と同じ $\mathcal N$、$\mathcal B$、$W=S_n$ をもつ。
Springer ファイバーの例
$x=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}$ と書くと、$2\times2$ の冪零行列は $\operatorname{tr}x=0$、$\det x=-a^2-bc=0$ で特徴づけられるので、$\mathcal N=\{a^2+bc=0\}$ は $\mathbb C^3$ の二次錐で、$\dim\mathcal N=2$ である。$\mathcal B=\mathbb P^1$（直線 $V_1$ の全体）で、$\widetilde{\mathcal N}=\{(x,V_1)\mid xV\subset V_1,\ xV_1=0\}$ である。$x\ne0$ なら $\ker x=\operatorname{im}x$ が直線で $\mathcal B_x=\{\ker x\}$ は一点、$x=0$ なら $\mathcal B_0=\mathbb P^1$ である。
$n=3$、$x\in\mathcal O_{(2,1)}$（$x^2=0$、$\operatorname{rank}x=1$）とし、$K:=\ker x$（$2$ 次元）、$I:=\operatorname{im}x$（$1$ 次元、$I\subset K$）とおく。$\mathcal B_x$ は二本の射影直線
$$
C_1=\{(I\subset V_2)\mid V_2\supset I\},\qquad C_2=\{(V_1\subset K)\mid V_1\subset K\}
$$
の和で、$C_1\cap C_2$ は一点 $(I\subset K)$ である。
prop-springer-basic の 1 から、$(V_1\subset V_2)\in\mathcal B_x$ は $xV_1=0$、$xV_2\subset V_1$、$xV\subset V_2$、すなわち $V_1\subset K$、$xV_2\subset V_1$、$I\subset V_2$ と同値である。$V_1=I$ なら $xV_2\subset\operatorname{im}x=I$ は自動的に成り立ち、条件は $V_2\supset I$ だけで、$C_1$ を得る。$V_1\ne I$ なら $V_2\supset V_1+I$ で、$V_1,I\subset K$ が異なる直線なので $V_1+I=K$、$V_2=K$ であり、$xK=0\subset V_1$ も成り立つ。これは $C_2$ の $V_1\ne I$ の部分である。$C_1$ は $V/I$ の直線の全体、$C_2$ は $K$ の直線の全体なので、ともに $\mathbb P^1$ で、両方に属するのは $V_1=I$、$V_2=K$ の旗だけである。$\square$
$\dim\mathcal N=6$、$\dim\mathcal O_{(2,1)}=9-5=4$（$x$ と可換な行列は $5$ 次元）で、$\dim\mathcal B_x=1=\frac12(\dim\mathcal N-\dim\mathcal O_{(2,1)})$ である。既約成分の個数 $2$ は、$S_3$ の $2$ 次元の既約表現の次元に一致する。これは下の Springer 対応で $\mathcal O_{(2,1)}$ に $2$ 次元の表現が対応することの現れである。
半小射と偏屈層
$X$ を滑らかな連結な複素代数多様体、$f\colon X\to Y$ を固有な全射とし、$Y$ を有限個の滑らかな局所閉集合 $S$（層）に分けて、各 $S$ の上で $f$ が位相的に局所自明なファイブレーションになっているとする。$y\in S$ のファイバーの次元を $d_S$ と書く。すべての層 $S$ で
$$
\dim S+2d_S\le\dim X
$$
が成り立つとき、$f$ を半小射（semismall map）という。等号が成り立つ層を関係する層（relevant stratum）という。
$f\colon X\to Y$ が半小射なら、$Rf_*\mathbb Q_X[\dim X]$ は $Y$ 上の偏屈層である。さらに分解定理により、それは関係する層 $S$ の閉包の上の交叉コホモロジー複体 $IC(\overline S,\mathcal L)$（$\mathcal L$ は $S$ 上の既約局所系）の直和に同型であり、$IC(\overline S,\mathcal L)$ の重複度は、$S$ の上の局所系 $y\mapsto H^{2d_S}(f^{-1}(y);\mathbb Q)$ における $\mathcal L$ の重複度に等しい。
この記事では一般の場合を証明しない。前半は dCM09 Proposition 4.2.1（p. 56）、後半は同 Theorem 4.2.7 と (24)（p. 57）である。前半の筋は次のとおりである。固有基底変換（六演算 の定理「射影公式と固有基底変換」）により $y\in S$ での $\mathcal H^{-k}$ の茎は $H^{\dim X-k}(f^{-1}(y))$ で、これが $0$ でないのは $\dim X-k\le2d_S$ のとき（ファイバーの複素次元は $d_S$）に限る。半小の条件からこのとき $k\ge\dim S$ となり、支持条件が成り立つ。余支持条件は、$f$ が固有なので $Rf_*=Rf_!$ が Verdier 双対と可換であること（Verdier双対 の命題「双対は $Rf_!$ と $Rf_*$ を入れ替える」）と、$X$ が滑らかなので $\mathbb Q_X[\dim X]$ が自己双対であることから、支持条件に帰着する（偏屈層 の注意「支持条件・余支持条件の言い換え」）。
一般の連結な簡約群 $G$ について、冪零元 $x$ の Springer ファイバー $\mathcal B_x$ の既約成分はすべて次元
$$
\dim\mathcal B_x=\tfrac12\bigl(\dim Z_G(x)-\operatorname{rank}G\bigr)=\tfrac12\bigl(\dim\mathcal N-\dim\mathcal O_x\bigr)
$$
をもつ。とくに冪零軌道を層とすると Springer 分解 $\mu$ は半小で、すべての冪零軌道が関係する層である。
この記事では証明しない。次元の式は Spr82 Proposition 4.3（p. 265）で、そこでは冪零軌道の分類に基づく。半小性は $\widetilde{\mathcal N}$ が余接束としてシンプレクティック構造をもつことからも従い（dCM09 4.2.2・Theorem 4.2.6、pp. 56・59）、すべての軌道が関係することは dCM09 4.2.2 の Example 4.2.15 の後の段落（p. 62）にある。二つ目の等号は $\dim\mathcal O_x=\dim G-\dim Z_G(x)$ と $\dim\mathcal N=\dim G-\operatorname{rank}G$（$\mathrm{GL}_n$ では prop-springer-basic の 5）による。冪零軌道は有限個である（$\mathrm{GL}_n$ では Jordan 標準形による）。
$n=2$ のとき、$i\colon\{0\}\hookrightarrow\mathcal N$ を包含として
$$
R\mu_*\mathbb Q_{\widetilde{\mathcal N}}[2]\cong IC_{\mathcal N}\oplus i_*\mathbb Q,\qquad IC_{\mathcal N}\cong\mathbb Q_{\mathcal N}[2]
$$
である。$i_*\mathbb Q$ の茎 $\mathbb Q$ は $H^2(\mathcal B_0)=H^2(\mathbb P^1)$ である。
要点：$\mathcal N\setminus\{0\}$ は $(\mathbb C^2\setminus0)/\{\pm1\}$ と同型で $\mathbb{RP}^3$ とホモトピー同値なので、孤立特異点の公式から $IC_{\mathcal N}\cong\mathbb Q_{\mathcal N}[2]$ である。分解定理で $R\mu_*\mathbb Q[2]$ を単純偏屈層に分け、原点での茎 $H^\bullet(\mathbb P^1)[2]$ と比べる。
詳しい証明を開く
$U:=\mathcal N\setminus\{0\}=\mathcal O_{(2)}$ は滑らかで、$(a,b)\mapsto\begin{pmatrix}ab&-a^2\\b^2&-ab\end{pmatrix}$ は $(\mathbb C^2\setminus0)/\{\pm1\}\cong U$ を与える（像の行列は階数 $1$ で $2$ 乗が $0$、逆に階数 $1$ の冪零行列は $u\,w^{\mathsf T}$、$w\perp u$ の形に書ける）。よって $U$ は $S^3/\{\pm1\}=\mathbb{RP}^3$ とホモトピー同値で、$H^0(U)=\mathbb Q$、$H^1(U)=H^2(U)=0$ である。$\mathcal N$ は原点だけに特異点をもつ $2$ 次元の多様体なので、交叉コホモロジー の命題「孤立特異点での交叉コホモロジー複体」から $IC_{\mathcal N}\cong\tau_{\le-1}Rj_*(\mathbb Q_U[2])=(\tau_{\le1}Rj_*\mathbb Q_U)[2]$（$j\colon U\hookrightarrow\mathcal N$）である。$\mathcal N$ は原点を中心とする錐なので、原点の小さな近傍と $U$ の交わりは $U$ とホモトピー同値で、$Rj_*\mathbb Q_U$ の原点での茎は $H^\bullet(U)$ である。したがって自然な射 $\mathbb Q_{\mathcal N}\to\tau_{\le1}Rj_*\mathbb Q_U$ は茎ごとに同型で、$IC_{\mathcal N}\cong\mathbb Q_{\mathcal N}[2]$ である。
分解定理 の定理「分解定理（BBD）」と thm-springer-semismall-perverse から、$R\mu_*\mathbb Q[2]$ は単純偏屈層の直和である。$\mu^{-1}(U)\to U$ は全単射な固有写像なので同相であり、$U$ への制限は $\mathbb Q_U[2]$ である。よって直和は $IC_{\mathcal N}$ をちょうど一つ含み、残りは原点に台をもつ偏屈層、すなわち $i_*E$（$E$ は次数 $0$ のベクトル空間）である。原点での茎を比べると、左辺は $H^\bullet(\mathbb P^1)[2]$、すなわち次数 $-2$ と $0$ に $\mathbb Q$ で、$IC_{\mathcal N}$ の茎は次数 $-2$ の $\mathbb Q$ なので、$E=H^2(\mathbb P^1)\cong\mathbb Q$ である。$\square$
Springer 対応
この節では $G$ を $\mathbb C$ 上の連結な半単純群、係数を $\mathbb C$ とする。$x\in\mathcal N$ について $A(x):=Z_G(x)/Z_G(x)^\circ$（中心化群の連結成分の群）は有限群で、その既約表現 $\phi$ は軌道 $\mathcal O_x$ 上の $G$ 同変な既約局所系 $\mathcal L_\phi$ を定める。
$\mathcal C:=R\mu_*\mathbb C_{\widetilde{\mathcal N}}[\dim\mathcal N]$ とおく。
- $W$ は $\mathcal C$ に作用し、これから得られる $\mathbb C[W]\to\operatorname{End}(\mathcal C)$ は代数の同型である。
- 冪零軌道の代表 $x$ と $A(x)$ の既約表現 $\phi$ の組を $(x,\phi)$ とすると
$$ \mathcal C\cong\bigoplus_{(x,\phi)}IC\bigl(\overline{\mathcal O_x},\mathcal L_\phi\bigr)\otimes V_{x,\phi} $$
であり、$V_{x,\phi}$ は $H^{2\dim\mathcal B_x}(\mathcal B_x)$ における $\phi$ の重複度を次元とする空間である。この分解は $W$ の作用で保たれ、$W$ は $V_{x,\phi}$ に作用する。 - 零軌道の原点での $\mathcal C$ の茎は $H^\bullet(\mathcal B)[\dim\mathcal N]$ で、その上の $W$ の作用は、$G/T\to\mathcal B$ を通して $W=N_G(T)/T$ の $G/T$ への右作用から得られる古典的な作用と一致する。
この記事では証明しない。1 と 2 は Borho と MacPherson の結果で、Spr82 Théorème 4.8・Théorème 4.9 (i)(ii)（p. 268）、dCM09 Theorem 4.2.7・(24)（p. 57）と Theorem 4.2.14（p. 62）にある。$W$ の作用は、Grothendieck の同時特異点解消 $\{(y,\mathfrak b)\mid y\in\mathfrak b\}\to\mathfrak g$ が正則半単純元の上で $W$ を Galois 群とする被覆になることを使って作られる（Lusztig の構成。Spr82 4.4・4.6、pp. 266–267、dCM09 pp. 60–61）。3 は Spr82 4.7（p. 267）である。Spr82 は $\mathbb Q$ 係数でも述べており、そのためには $G$ を随伴型とする（同 p. 269）。$W$ の表現を $\ell$ 進コホモロジーで最初に構成したのは Springer（1976 年）である（Spr82 4.6）。
$V_{x,\phi}\ne0$ となる $V_{x,\phi}$ は $W$ の既約表現で、互いに同型でなく、$W$ のすべての既約表現はちょうど一つの $V_{x,\phi}$ に同型である。したがって $\rho\mapsto(x,\phi)$（$V_{x,\phi}\cong\rho$）は $\operatorname{Irr}(W)$ から組 $(x,\phi)$ の集合への単射を定める。これを Springer 対応という。
$IC(\overline{\mathcal O_x},\mathcal L_\phi)$ は互いに同型でない単純偏屈層で（偏屈層 の注意「IC層と分解定理」）、異なるもの同士の $\operatorname{Hom}$ は $0$、自分自身の $\operatorname{End}$ は既約局所系 $\mathcal L_\phi$ の自己準同型 $\mathbb C$ である。よって thm-springer-main の 2 から $\operatorname{End}(\mathcal C)\cong\bigoplus_{V_{x,\phi}\ne0}\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_{x,\phi})$ であり、1 と合わせて、$W$ の作用と両立する代数の同型 $\mathbb C[W]\cong\bigoplus\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_{x,\phi})$ を得る。右辺の単純加群は各 $V_{x,\phi}$ で互いに同型でなく、それで尽くされるので、$\mathbb C[W]$ の単純加群、すなわち $W$ の既約表現についても同じことが成り立つ。$\square$
$G=\mathrm{PGL}_n(\mathbb C)$ とする（$\mathcal N$、$\mathcal B$、$W=S_n$ は $\mathrm{GL}_n$ と同じ）。すべての $x\in\mathcal N$ で $A(x)=1$ であり、Springer 対応は $S_n$ の既約表現と $n$ の分割 $\lambda$（軌道 $\mathcal O_\lambda$）の全単射である。$\mathcal O_\lambda$ に対応する既約表現は $H^{2\dim\mathcal B_x}(\mathcal B_x)$（$x\in\mathcal O_\lambda$）で、その次元は $\mathcal B_x$ の $\dim\mathcal B_x$ 次元の既約成分の個数に等しい。
$\mathrm{GL}_n$ での $x$ の中心化群は、$x$ と可換な行列のなす線形空間 $\mathfrak z(x)$ の中の開集合 $\{\det\ne0\}$ で、既約多様体の空でない開集合なので連結である。$\mathrm{PGL}_n$ での中心化群はその像（スカラーで割ったもの）なので連結で、$A(x)=1$ である。したがって組 $(x,\phi)$ は冪零軌道と一対一で、その個数は分割の個数である。$S_n$ の共役類は巡回置換の型、すなわち分割と一対一で、既約表現の個数は共役類の個数に等しい（指標(表現論)）。cor-springer-irreps の単射は個数の等しい有限集合の間の写像なので全単射である。$A(x)=1$ なので $V_{x,1}=H^{2\dim\mathcal B_x}(\mathcal B_x)$ であり、その次元が最高次元の既約成分の個数に等しいことは dCM09 4.2.1 の冒頭（p. 58）による。$\square$
$n=2$ では、prop-springer-n2-decomposition の $IC_{\mathcal N}$ が正則軌道に、$i_*\mathbb Q$ が零軌道に対応する。原点での茎の次数 $-2$ の部分 $H^0(\mathbb P^1)$ は $IC_{\mathcal N}\otimes V_{(2)}$ から来るので、thm-springer-main の 3 により $V_{(2)}\cong H^0(\mathcal B)$ である。連結な空間の $H^0$ への連続写像の作用は自明なので $V_{(2)}$ は自明な表現であり、cor-springer-irreps により $V_{(1,1)}=H^2(\mathbb P^1)$ は残りの既約表現、すなわち符号表現である。
$n=3$ では、正則軌道 $\mathcal O_{(3)}$ のファイバーは一点、部分正則軌道 $\mathcal O_{(2,1)}$ のファイバーは prop-springer-n3 の二本の $\mathbb P^1$、零軌道のファイバーは $\mathcal B$ 自身（既約）なので、対応する表現の次元は $1,2,1$ で、$1^2+2^2+1^2=6=|S_3|$ である。
Spr82 4.13（p. 269）によれば、分割 $\lambda$ と $S_n$ の既約表現の対応は、分割による既約表現の標準的な番号付けと比べると、恒等写像か転置（共役な分割への写像）であり、どちらになるかは規約による。上の計算では、正則軌道 $(n)$ に自明な表現が対応する（$n=2$ で確かめた）。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 半小であること | $\mathbb C^3$ の原点の爆発 $f\colon\widetilde{\mathbb C^3}\to\mathbb C^3$ | $Rf_*\mathbb Q[3]$ が偏屈層であること |
| $f$ の固有性 | $j\colon\mathbb C^\times\hookrightarrow\mathbb C$ | 順像 $Rj_*\mathbb Q[1]$ の半単純性 |
| 中心化群の連結性 | $G=\mathrm{SL}_2$、正則冪零元 $x$ | 組 $(x,\phi)$ と $\operatorname{Irr}(W)$ の全単射 |
1 行目。原点の上のファイバーは $\mathbb P^2$ で、$0+2\cdot2=4>3$ なので半小でない。原点での茎は $H^\bullet(\mathbb P^2)[3]$ で、$\mathcal H^1$ の茎 $H^4(\mathbb P^2)=\mathbb Q$ が $0$ でない。一点の層については支持条件が「$\mathcal H^k=0$（$k>0$）」なので、偏屈層でない。2 行目は 分解定理 の命題「反例：固有でない開埋め込みの順像」である。3 行目。$x=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ と可換な $\mathrm{SL}_2$ の元は $\pm\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}$ で、$Z_G(x)$ は二つの連結成分をもち $A(x)\cong\mathbb Z/2$ である。組 $(x,\phi)$ は零軌道の $1$ 個と正則軌道の $2$ 個の計 $3$ 個あるが、$|\operatorname{Irr}(S_2)|=2$ なので、cor-springer-irreps の単射は全射でない。
補足
Weyl 群と偏屈層。旗多様体の Schubert 多様体の交叉コホモロジーが Hecke環 の Kazhdan–Lusztig 基底を与えることと並んで、Springer 対応は Weyl 群の表現論を偏屈層で読み取る代表例である。柏原正樹（Masaki Kashiwara）は、$W$ の作用を作るのに使う Lie 環 $\mathfrak g$ 上の複体を、Harish-Chandra の微分方程式系の解の複体として解釈し、Borho–MacPherson の定理の別証明を与えた（Spr82 4.12 の後、p. 269）。解の複体と偏屈層を結ぶのが Riemann–Hilbert対応 である。
Green 関数。有限体の上でも同じ構成ができ、Springer ファイバーの $\ell$ 進コホモロジーの $W$ の作用から、Deligne–Lusztig理論 の仮想指標の冪単元での値（Green 関数）が計算される。$\mathrm{GL}_n$ では Green 多項式と Kostka–Foulkes 多項式が、Springer ファイバーと軌道閉包の交叉コホモロジーで表される（Spr82 4.13、pp. 269–270）。
関連項目
参考文献
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