Kähler多様体

前提知識: 複素多様体, リーマン多様体, 微分形式, 正則写像

複素構造と距離を一緒に扱う

Kähler多様体（Kähler manifold、ケーラー多様体）とは、複素多様体に入れた Hermitian 計量の基本2形式が閉じているものである。複素構造は接ベクトルを「虚数倍」する作用を与え、計量は長さと角度を与える。両者から交代的な2形式が作られるが、それが閉じるという追加条件が Kähler 条件である。この一条件は微分幾何、複素解析、代数幾何を結びつける。複素射影空間とその滑らかな複素部分多様体、複素トーラス、複素次元1の複素多様体は基本例である。Huy05
Hermitian 計量を持つだけでは Kähler とは限らない。また、複素構造を持たないリーマン多様体を、計量があるという理由だけで Kähler と呼ぶこともできない。本記事は定義に必要な三つのデータを分け、局所座標と具体例で閉性を検査する。複素多様体の一般論やリーマン計量の作り方はそれぞれの専門記事に譲り、ここでは Kähler 条件そのものと、複素射影幾何へ向かう接点を扱う。

定義と符号の約束

$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体とする。その実接束には複素構造 $J$ があり、各接空間で $J^2=-\operatorname{id}$ が成り立つ。実リーマン計量 $g$ が $g(Ju,Jv)=g(u,v)$ を満たすとき、$g$ を $J$ と両立する Hermitian 計量という。実ベクトル $u,v$ に対して
$$ \omega(u,v)=g(Ju,v) $$
と置く。これを基本2形式、または Kähler 形式と呼ぶ。本記事ではこの符号を使うので、標準座標 $z=x+iy$ では $\omega=dx\wedge dy$ となる。文献によって $\omega(u,v)=g(u,Jv)$ の符号を採ることがあり、その場合は正値性の向きも合わせて読む必要がある。

まず $\omega$ が本当に2形式であることを確かめる。計量の対称性と $J$ の直交性から $g(Ju,v)=-g(u,Jv)$ なので、$\omega(v,u)=-\omega(u,v)$ である。また、零でない $v$ に対して $\omega(v,Jv)=g(Jv,Jv)=g(v,v)>0$ となる。従って $\omega$ は退化しない。Kähler 条件は、この正値な非退化2形式がさらに閉形式であることを要求する。閉性を外した Hermitian 多様体と、正値性を外した一般の閉2形式を同一視しない。

局所正則座標 $z^1,\ldots,z^n$ では、Hermitian 行列 $(h_{j\bar k})$ を使い、標準的な規格化の一つで
$$ \omega=\frac{i}{2}\sum_{j,k=1}^{n}h_{j\bar k}\,dz^j\wedge d\bar z^k $$
と書ける。$h_{j\bar k}$ は正定値で、$h_{j\bar k}=\overline{h_{k\bar j}}$ を満たす。$d\omega=0$ はこの係数に関する微分方程式である。座標式は計算に便利だが、閉性そのものは座標を替えても同じである。閉形式かどうかは2形式に外微分を施すだけで判断できるため、接続係数を直接計算する必要はない。

複素次元1と平坦な例

複素次元1の $X$ は実次元2である。任意の実2形式の外微分は3形式になるが、実次元2では3形式は零である。よって、複素曲線の任意の Hermitian 計量は Kähler 計量である。これは曲線に特有の次元上の理由であって、複素次元2以上の Hermitian 計量すべてに一般化されない。非コンパクトな複素曲線でも同じ議論が働く。

$\mathbb C^n$ の標準 Euclid 計量では、$z^j=x^j+iy^j$ として
$$ \omega_0=\sum_{j=1}^{n}dx^j\wedge dy^j =\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}dz^j\wedge d\bar z^j $$
である。係数が一定なので $d\omega_0=0$ であり、$\mathbb C^n$ は Kähler 多様体となる。複素線形座標変換で標準形が変わっても、引き戻した形式が閉じるという事実は変わらない。正定値 Hermitian 行列を一定に取れば、標準形以外の平坦な Kähler 計量も得られる。
格子 $\Lambda\subset\mathbb C^n$ を実階数 $2n$ の離散加法部分群とすると、複素トーラス $T=\mathbb C^n/\Lambda$ ができる。$\omega_0$ は平行移動で不変だから商に降り、その商上でも閉じている。格子による商はコンパクトである。従って複素トーラスはコンパクト Kähler 多様体の例である。ただし、任意の複素トーラスが代数多様体になるわけではない。ここは「コンパクト Kähler」と「射影代数的」の大切な境界であり、後者には整数性や正値な線束に関係する追加条件が要る。Huy05

積と複素部分多様体

Kähler 性は幾つかの自然な構成で保たれる。二つの Kähler 多様体の積には、それぞれの形式を引き戻して足した形式が入る。また、複素部分多様体には形式を制限できる。この二つの操作は、複素代数幾何で多くの例を作る基礎になる。ただし、任意の滑らかな実部分多様体への制限で正値性が Kähler の意味で保たれるという主張ではない。部分多様体は複素構造で閉じた接空間を持つ必要がある。

この命題を使う際には、特異点を持つ解析的部分集合をそのまま滑らかな複素部分多様体とみなさない。特異空間の滑らかな部分には誘導計量を考えられるが、全体で滑らかな接束を使う定義はそのまま適用できない。複素代数多様体でも、射影的な滑らかなものへの適用と特異なものへの拡張は別の問題である。

射影空間とFubini–Study形式

複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ は、同一直線上の零でないベクトルを同一視した空間である。局所座標 $z=(z^1,\ldots,z^n)$ のチャートで
$$ \omega_{\mathrm{FS}}=\frac{i}{2}\partial\bar\partial \log\!\left(1+\sum_{j=1}^{n}|z^j|^2\right) $$
と置くと、これは Fubini–Study 形式を与える。正の係数の付け方には複数の規格化があり、本記事では $\mathbb C^n$ の標準形式を上で書いた $\frac{i}{2}\sum dz^j\wedge d\bar z^j$ と一致させる規格化を用いる。$\partial\bar\partial$ は複素微分形式の型を一段ずつ上げる操作であり、$\partial^2=\bar\partial^2=0$ を満たす。Huy05
閉性は局所式から直接分かる。$d=\partial+\bar\partial$ と二つの演算の反可換性により、$d(\partial\bar\partial f)=0$ である。正値性は、$\rho=1+|z|^2$ として Hermitian 行列
$$ \left(\frac{\partial^2\log\rho}{\partial z^j\partial\bar z^k}\right)_{j,k} =\left(\frac{\rho\delta_{jk}-\bar z^jz^k}{\rho^2}\right)_{j,k} $$
を調べればよい。非零 $v\in\mathbb C^n$ に対し分子の二次形式は $\rho|v|^2-|\sum_j\bar z^jv^j|^2$ である。Cauchy–Schwarz により第二項は $|z|^2|v|^2$ 以下なので、分子は $|v|^2$ 以上である。従って正定値である。
異なる射影チャートでは、ポテンシャル $\log(1+|z|^2)$ は同じ関数として一致しない。しかし重なりで二つのポテンシャルの差は零でない正則関数の絶対値の対数の形になり、その $\partial\bar\partial$ は零である。このため局所的な2形式は貼り合わさる。座標ポテンシャルが大域的な一つの関数にならなくても、形式は大域的に定まる。もしコンパクトな正の次元の Kähler 多様体で $\omega=\frac{i}{2}\partial\bar\partial f$ が大域的な滑らかな関数 $f$ から作れたなら、$\omega$ は完全形式となり、体積に対応する $\omega^n$ の積分が Stokes の定理で零になるが正値性に反する。局所ポテンシャルと大域ポテンシャルは区別が必要である。

この方向は射影的な複素代数幾何から Kähler 幾何へ入る入口である。逆に、コンパクト Kähler 多様体なら必ず射影的という主張は成り立たない。複素トーラスにも非射影的なものがあり、Kähler 形式のコホモロジー類に整数性を課す Kodaira 型の射影化条件は別に必要となる。解析化によって代数多様体から複素解析空間へ移るときも、滑らかな射影多様体については上の計量が使えるが、全ての非コンパクトな複素多様体が射影空間に収まるわけではない。
複素射影直線では計量の規格化を積分で確かめられる。アフィン座標 $z=x+iy$ のチャートで、上の Fubini–Study 形式は
$$ \omega_{\mathrm{FS}}=\frac{dx\wedge dy}{(1+|z|^2)^2} $$
となる。チャートから抜ける一点は面積積分に影響しないため、極座標で計算すると
$$ \int_{\mathbb{CP}^1}\omega_{\mathrm{FS}} =2\pi\int_0^\infty\frac{r}{(1+r^2)^2}\,dr =\pi. $$
積分は置換 $u=1+r^2$ により $2\pi\cdot\frac12\int_1^\infty u^{-2}\,du=\pi$ となる。この値は本記事で選んだ $\frac{i}{2}$ の規格化に依存する。他の文献で面積や曲率の数値が違うときには、まず Fubini–Study 形式の定数倍を調べる必要がある。正の定数倍は Kähler 性を変えない。

Kählerでない複素多様体

Kähler 条件は単なる言葉の付け替えではなく、複素多様体を真に絞り込む。典型例は Hopf 曲面である。$\mathbb C^2\setminus\{0\}$ を $z\mapsto2z$ が生成する無限巡回群で割った複素曲面 $H$ はコンパクトだが Kähler でない。位相的には $S^3\times S^1$ と同相なので、第一 Betti 数 $b_1(H)$ は1である。他方、コンパクト Kähler 多様体では Hodge 分解と複素共役によって $b_1=2h^{1,0}$ となり偶数でなければならない。従って $H$ は Kähler 計量を持てない。ここで使う偶数性はコンパクト性を仮定した結果であり、非コンパクト多様体に無条件で当てはめない。Huy05
Hopf 曲面が Hermitian 計量も持たないという意味ではない。滑らかな複素多様体には Hermitian 計量を作れるので、違いは基本2形式の閉性である。また、第一 Betti 数が偶数なら必ず Kähler になるという逆も主張しない。奇数であれば非 Kähler と判定できるという必要条件の使い方である。例を調べるときは、複素構造、Hermitian 計量、Kähler 条件、大域的な位相制約の順に何を確認したかを分けると混乱しにくい。

複素代数幾何と解析への接続

Kähler 多様体では、リーマン計量から来る解析と複素構造から来る $(p,q)$ 型の分解がよく噛み合う。コンパクトな場合の Hodge 理論はコホモロジーの型分解を与え、Betti 数に制約を課す。この構造は代数多様体の周期、線束、代数サイクルを理解するための背景になる。ただし Hodge 分解の証明は楕円型作用素の理論を要するので、本記事の初等的な積・部分多様体の証明から直ちに出るわけではない。Huy05
局所ポテンシャルは複素解析での計算手段でもある。正値な関数行列から計量を考えるだけでなく、実関数の複素 Hessian $\partial\bar\partial\phi$ が正値なら局所 Kähler 形式を得る。ポテンシャルを変えても形式が同じになる場合があり、異なる局所式の差が重なりでどの形になるかが貼り合わせの鍵となる。Fubini–Study 形式はこの仕組みを具体的に示した。複素多様体、解析化、GAGA を経て射影多様体を解析的に見ると、Kähler 形式は代数的対象に計量と微分形式を持ち込む共通語になる。

条件を外したときの反例

本記事の命題の仮定を一つずつ外すと、次のように結論が崩れる。

関連項目

• 前提: 複素多様体、リーマン多様体、微分形式
• 比較: Hermitian 多様体、複素トーラス
• 直後に読む: 解析化、GAGA、射影空間
• 発展: Hodge 理論、Fubini–Study 計量、Kodaira の埋め込み定理