定義可能な三角形分割

$\sigma\in L$ なら、$Y$ は閉集合で $\sigma^\circ$ を含むので、その閉包 $\sigma$ を含む。$\sigma$ はその面 $\tau$ の開単体 $\tau^\circ$ の和なので、$\sigma$ の各面 $\tau$ について $\tau^\circ\subset Y$、すなわち $\tau\in L$ である。よって $L$ は面で閉じていて部分複体である。$Y$ は $\sigma^\circ$（$\sigma\in L$）の和なので $Y\subset\lvert L\rvert$ であり、上で見たとおり $\sigma\in L$ なら $\sigma\subset Y$ なので $\lvert L\rvert\subset Y$ である。$\square$

rem-dt-noncompact を $A=X$、$A_i=X_i$ に当てはめて $K$ と $\Phi\colon X\to\mathbb{R}^n$ をとる。$X$ はコンパクトなので $Y:=\Phi(X)$ もコンパクトで、特に閉集合であり、開単体の和である。lem-dt-subcomplex により $Y=\lvert L\rvert$ となる部分複体 $L$ がある。$\Psi:=\Phi^{-1}\colon\lvert L\rvert\to X$ は定義可能な同相写像であり（逆写像のグラフは $\Phi$ のグラフの成分を入れ替えたもの）、$\Phi(X_i)$ は開単体 $\sigma^\circ\subset Y$（したがって $\sigma\in L$）の和なので、$X_i=\Psi(\Phi(X_i))$ は $\Psi(\sigma^\circ)$ の和である。$(L,\Psi)$ が求める三角形分割である。$\square$

段 1：関数の延長。$U_s$ 上の $X$ の関数 $f$ は、グラフが有界な $X$ に含まれるので有界な連続関数である。胞体分解定理(o-極小) の系「片側極限の存在」により端点での片側極限が $\mathbb{R}$ の中に存在し、$f$ は閉区間 $[a_s,a_{s+1}]$ 上の連続関数 $\bar f$ に延びる。$X$ の関数 $f_1< \cdots< f_m$ について $\bar f_1\le\cdots\le\bar f_m$ で、等号は端点でだけ起こりうる。$X$ は閉集合なので $(a_s,\bar f(a_s))\in X$ であり、帯 $(f,g)_{U_s}\subset X$ なら、縦の線分 $\{a_s\}\times[\bar f(a_s),\bar g(a_s)]$ も $X$ に含まれる（$(x,(1-\lambda)f(x)+\lambda g(x))$ の $x\to a_s$ の極限）。
段 2：頂点。$U_s$ の中点 $c_s:=(a_s+a_{s+1})/2$ を加え、$p_1< p_2< \cdots$ を $a_s$ と $c_s$ をすべて並べたものとする。各 $p$ について、縦の線 $\{p\}\times\mathbb{R}$ 上の頂点の高さの集合 $V_p$ を次で定める。$p=a_s$ なら、両側の区間の $X$ の関数の延長の値 $\bar f(a_s)$ と、$a_s$ の上の $\mathcal{D}$ の胞体で $X$ に含まれるもののうち、点の高さと、縦の開区間の両端の高さ。$p=c_s$ なら、$U_s$ の $X$ の関数の値 $f(c_s)$。どれも $X_p$ の点である。
段 3：単体。$K$ を次の単体とその面からなるものとする。

• 各 $p$ と $v\in V_p$ について頂点 $(p,v)$。$V_p$ の隣り合う $v< v'$ で $\{p\}\times[v,v']\subset X$ となるものについて、縦の辺。
• 隣り合う $p< q$（一方が $a_s$、他方が $c_s$）と $U_s$ の $X$ の関数 $f$ について、$(p,\bar f(p))$ と $(q,\bar f(q))$ を結ぶ辺 $e_f$。これは 1 次関数 $\ell_f$ のグラフ $\{(x,\ell_f(x))\mid p\le x\le q\}$ で、$\ell_f(p)=\bar f(p)$、$\ell_f(q)=\bar f(q)$ である。
• 帯 $(f,g)_{U_s}\subset X$ ごとに、$e_f$、$e_g$ と 2 本の縦の線分で囲まれた凸多角形 $P$。$p,q$ の一方は中点で、そこでは $f< g$ なので、$P$ は三角形か四角形で内点をもつ。$P$ の境界は、$e_f$、$e_g$ と、$V_p$・$V_q$ の点で区切られた縦の辺からなる。$P$ の角の点の平均 $b_P$（$P$ の内点）を頂点に加え、境界の各辺 $[u,u']$ について 2 単体 $[b_P,u,u']$ をとる。
  $f< g$ なら $(p,q)$ の上で $\ell_f< \ell_g$ である（$\ell_g-\ell_f$ は 1 次関数で、両端で $0$ 以上、中点側で正）。よって同じ区間 $[p,q]$ の上の辺 $e_f$ は交わらず（端点を除く）、多角形 $P$ の内部は互いに交わらない。異なる区間の上の単体は縦の線 $\{p\}\times\mathbb{R}$ の上でだけ交わり、そこでの共通部分は $V_p$ で区切った縦の辺と頂点の和である。したがって $K$ は有限単体複体である。

段 4：写像。$\Phi\colon\lvert K\rvert\to\mathbb{R}^2$ を次で定める。縦の線 $\{p\}\times\mathbb{R}$ 上では恒等写像、$e_f$ 上では $(x,\ell_f(x))\mapsto(x,\bar f(x))$、多角形 $P$ 上では
$$ \Phi\bigl(x,\ (1-\lambda)\ell_f(x)+\lambda\ell_g(x)\bigr):=\bigl(x,\ (1-\lambda)\bar f(x)+\lambda\bar g(x)\bigr)\qquad(0\le\lambda\le1) $$
とする（$\ell_f(x)=\ell_g(x)$ となる端点 $x$ では 1 点 $(x,\bar f(x))$ に写す）。$\ell_f(p)=\bar f(p)$ なので、これらは重なる所で一致する。各部分の上で $\Phi$ は連続であり（$\bar f(p)=\bar g(p)$ となる頂点の近くでは $\lvert\Phi(x,y)-(p,\bar f(p))\rvert\le\lvert x-p\rvert+\lvert\bar f(x)-\bar f(p)\rvert+\lvert\bar g(x)-\bar f(x)\rvert\to0$）、有限個の閉集合で $\lvert K\rvert$ を覆うので、$\Phi$ は連続である。$\Phi$ は定義可能な関数 $\bar f$ で式が書けるので定義可能である。
段 5：同相であること。縦の線 $x=a_s$ の上：$\Phi$ は恒等写像で、$\lvert K\rvert$ のこの線上の部分は $X_{a_s}$ に一致する（$X_{a_s}$ は $a_s$ の上の $X$ の胞体の和で、その端点はすべて $V_{a_s}$ にあり、胞体の閉包は $X$ に含まれるので、$V_{a_s}$ で区切った縦の辺はすべて $K$ に入っている）。$x\in(a_s,a_{s+1})$ の上：$\lvert K\rvert$ のファイバーは、$X$ の関数 $f$ の点 $\ell_f(x)$ と、帯 $(f,g)\subset X$ の区間 $[\ell_f(x),\ell_g(x)]$ の和であり、$\Phi$ はこれを高さについて狭義増加に、$X_x$（$f(x)$ と $[f(x),g(x)]$ の和）の上へ写す。よって $\Phi\colon\lvert K\rvert\to X$ は連続な全単射で、$\lvert K\rvert$ はコンパクト、$X$ は Hausdorff 空間なので同相写像である。
段 6：胞体との両立。$a_s$ の上の $X$ の胞体は、頂点と、$V_{a_s}$ で区切った開いた縦の辺の和である。$U_s$ 上のグラフ $\Gamma(f)\subset X$ は、2 本の開いた辺 $e_f^\circ$ の像と頂点 $(c_s,f(c_s))$ の和である。帯 $(f,g)_{U_s}\subset X$ は、2 つの多角形の内部（点 $b_P$、開いた錐の辺、開いた 2 単体の和）の像と、中点の上の開いた縦の辺 $\{c_s\}\times(f(c_s),g(c_s))$ の和である。$\square$

thm-dt-plane の $(K,\Phi)$ をとる。$\lvert K\rvert$ と $X$ は同相なので、$\chi(X)=\chi(\lvert K\rvert)=\sum_{\sigma\in K}(-1)^{\dim\sigma}$ である（単体複体 の系「多面体の基本性質」の (R3)）。開単体の像は $X$ に含まれる胞体を分割するので、各胞体 $C$ の中の開単体についての和 $\sum_{\Phi(\sigma^\circ)\subset C}(-1)^{\dim\sigma}$ が $(-1)^{\dim C}$ に等しいことを示せばよい。段 6 の記述から数える。点の胞体は頂点 1 つで $1$。$a_s$ の上の縦の開区間は、内部に $j$ 個の頂点があれば $j+1$ 本の開いた辺と $j$ 個の頂点で $-(j+1)+j=-1$。グラフの胞体は開いた辺 2 本と頂点 1 つで $-1$。帯の胞体は、境界の辺が $r$ 本の多角形の内部が頂点 $b_P$ の 1・錐の辺 $r$・2 単体 $r$ で $1-r+r=1$ なので、2 つの多角形と中点の上の開いた辺 1 本で $1+1-1=1$。どれも $(-1)^{\dim C}$ である。$\square$

$\lvert K\rvert$ は開単体を胞体とする有限 CW 複体である（単体複体 の定理「多面体の CW 構造」）。$\Phi$ は同相写像なので $X$ も有限 CW 複体と同相である。各閉単体は弧状連結なので、$\lvert K\rvert$ の弧状連結成分は単体の個数以下で、有限個の閉集合なので開集合でもあり、連結成分と一致する。ホモロジーについては、有限胞体複体の特異ホモロジーが有限生成で次元より上で消えること（Euler標数 の系「2 つの Euler 標数は一致する」）による。$\square$

$\lvert K\rvert$ は $X$ と同相なので、単体複体 の系「多面体の基本性質」の (R3) により、$\sum_k(-1)^kc_k(K)$ は $\lvert K\rvert$、したがって $X$ の Euler 標数（Betti 数の交代和）であり、$K$ の選び方によらない。
加法性：$X:=A\cup B$ はコンパクトな定義可能集合である。thm-dt-main により、$A,B$ と両立する三角形分割 $\Phi\colon\lvert K\rvert\to X$ をとる。$\Phi^{-1}(A)$ は開単体の和で、コンパクトなので閉集合であり、lem-dt-subcomplex により部分複体 $L_A$ の多面体である。同様に $L_B$ をとる。$A\cap B$ は $\sigma^\circ\subset\Phi^{-1}(A)\cap\Phi^{-1}(B)$ となる開単体の和なので、$\Phi^{-1}(A\cap B)=\lvert L_A\cap L_B\rvert$ である。$K=L_A\cup L_B$ なので、単体の個数について
$$ c_k(K)=c_k(L_A)+c_k(L_B)-c_k(L_A\cap L_B) $$
が成り立ち、$(-1)^k$ を掛けて足すと主張を得る（$\Phi$ を $\lvert L_A\rvert$ などに制限したものは $A$ などの三角形分割である）。$\square$

成分の有限性は cor-dt-homotopy-type の証明のとおりである。局所連結性：$x$ を含まない単体は有限個の閉集合なので、$x$ からの距離が正の最小値 $\delta$ をもつ。$\varepsilon< \delta$ を $x$ 中心の半径 $\varepsilon$ の開球 $B_\varepsilon$ が $W$ に含まれるようにとると、$V:=B_\varepsilon\cap\lvert K\rvert$ は $x$ を含む単体 $\sigma$ についての $B_\varepsilon\cap\sigma$ の和である。各 $B_\varepsilon\cap\sigma$ は凸集合なので連結で $x$ を含み、その和 $V$ は連結で、$\lvert K\rvert$ の開集合である。$\square$