Bezout環
概要
Bezout環（Bézout ring）とは、有限生成イデアルがすべて単項イデアルである単位的可換環であり、整域のときは Bezout 整域という。この条件は二元生成イデアル $(a,b)$ が単項であることに帰着し、Bezout 整域では任意の二元の最大公約数がその線形結合 $ax+by$ で表せるので GCD 整域になる。ネーター的な Bezout 整域はちょうど主イデアル整域で、付値環は常に Bezout 整域であり、代数的整数全体の環 $\overline{\mathbb Z}$ はネーター的でない Bezout 整域である。一方、一意分解整域 $\mathbb Z[x]$ や $k[x,y]$ は Bezout 環でなく、体の直積のように零因子を許す Bezout 環もある。
$\mathbb Z$ や体上の一変数多項式環 $k[x]$ では、任意のイデアルは一つの元で生成される（主イデアル整域、PID）。全てのイデアルが単項なら有限生成でもあるため、環はネーター的になる。ただし、単項性を有限生成イデアルに限れば、非ネーター的な環にも成り立ちうる。PIDの条件から、互除法の存在までが従うわけではない。
Bezout環は、この「単項生成性」を有限生成イデアルだけに絞って要求することで、ネーター性を仮定せずに定式化した概念である。PIDはBezout整域のうちネーター的なものにちょうど一致する（後述の性質）。逆に言えば、Bezout環はPIDより真に広いクラスであり、付値環や代数的整数全体の環のように、ネーター性を持たない自然な例を多数含む。
定義
可換環 $R$（単位元 $1$ をもつ）が Bezout環（Bezout ring）であるとは、$R$ の任意の有限生成イデアルが単項イデアルであること、すなわち任意の整数 $n\ge1$ と $a_1,\ldots,a_n\in R$ に対し、ある $d\in R$ が存在して
$$
(a_1,\ldots,a_n)=(d)
$$
となることをいう。$R$ がさらに整域であるとき、Bezout整域（Bezout domain）という。
定義は任意個の生成元について述べているが、実は二元生成イデアル $(a,b)$ がすべて単項的であることを確かめれば十分である。これは後述の性質1（帰納法による還元）で証明する。したがって以下では専ら $(a,b)=(d)$ の形を調べる。
「Bezout環」を整域の場合に限定する流儀と、零因子を許す可換環に対して用いる流儀がある。ここでは一般の可換環について定義し、整域の場合は「Bezout整域」と呼ぶ。一般のBezout環にネーター性を加えると全イデアルが単項な環になり、さらに整域性を加えて初めてPIDになる。整域は $1\neq0$ を満たすものとし、零環は一般の環側にだけ含める。
直感
Bezout整域の条件は「どの二元 $a,b$ を持ってきても、$a,b$ の最大公約数が存在し、しかもそれが $ax+by$ という線形結合の形で書ける」という主張とほぼ同じことを述べている（性質2で正確に証明する）。$\mathbb Z$ における Bezout の等式 $\gcd(a,b)=ax+by$（Bézoutの等式参照）を、整域に対するイデアルの性質として抜き出したのがBezout整域である。一般の可換環の場合は、最大公約数という言葉よりも、生成イデアルの単項性を直接用いる。
ネーター性（イデアルが有限生成であること自体）と単項生成性は独立の条件である。PIDはこの両方を仮定する。Bezout環はネーター性を仮定しない分だけ条件が弱く、そのぶん適用範囲が広い。実際、後述するように非ネーター的な付値環や代数的整数全体の環はBezout整域であり、PIDの枠には収まらない。付値環にはネーター的なものも含まれる。
例
$R$ が主イデアル整域（PID）であるとは、$R$ が整域であり、かつ任意のイデアルが単項イデアルであることをいう（主イデアル整域参照）。特に任意の有限生成イデアルも単項イデアルであるから、$R$ は定義よりただちにBezout環（Bezout整域）である。$\mathbb Z$、体 $k$ 上の一変数多項式環 $k[x]$、体 $k$ 自身はいずれもPIDであり、したがってBezout整域の最も基本的な例を与える。
整域 $R$（分数体を $K$ とする）が付値環であるとは、任意の $x\in K^{\times}$ に対し $x\in R$ または $x^{-1}\in R$ が成り立つことをいう。イデアル全体が包含関係で全順序をなすこととの同値は、付値環の命題「割り切る関係の全順序性」による。付値環は常にBezout整域である（prop-bezout-ring-valuation-is-bezout）。
ネーター的な付値環は、体または離散付値環（DVR）である。体でないという仮定を付けた特徴づけは、付値環の定理「離散付値環の特徴づけ」と Stacks Tag 00PD による。DVRでは極大イデアルが $\mathfrak m=(\pi)$ と書け、イデアルは $(0)$ または $(\pi^n)$（$n\ge0$）である。真の非零イデアルに限れば $n\ge1$ である。一方、同記事の例「値群が2段の付値環」は非ネーター的な付値環を与える。値群が自明な体と、値群が $\mathbb Z$ と同型なDVRとを区別する必要がある。
$A:=\overline{\mathbb Z}$ を、複素数のうち首項係数 $1$ の整数係数多項式の根になる数の全体とする。整拡大の命題「整な元の和と積」により、$A$ は $\mathbb C$ の部分環であり、したがって整域である。有限個の元 $a_1,\ldots,a_n\in A$ は、一つの数体 $K=\mathbb Q(a_1,\ldots,a_n)$ の整数環 $\mathcal O_K$ に含まれる。数体とは $\mathbb Q$ の有限次拡大体のことであり、有限個の代数的な元から得られるこの $K$ は確かに数体である。
$A$ がBezout整域であることを示す。全ての $a_i$ が零なら生成イデアルは $(0)$ である。以下 $I=(a_1,\ldots,a_n)\mathcal O_K\neq0$ とする。数体の整数環がDedekind整域であること、およびそのイデアル類群が有限であることは、Neu99 Chapter I, Theorems (3.1), (6.3) を用いる。非零分数イデアルの素イデアル分解の一意性は同章 Corollary (3.9) による。
類数を $h$ とすると、イデアル類群で $[I]^h=1$ となるため、ある $a\in K^{\times}$ により $I^h=(a)$ と書ける。$I^h\subset\mathcal O_K$ だから $a\in\mathcal O_K$ でもある。複素数 $b$ を $b^h=a$ となるように選び、$L=K(b)$ とおく。$b$ は首項係数 $1$ の多項式 $X^h-a$ の根であり、$\mathcal O_K$ 上整である。$\mathcal O_K$ は $\mathbb Z$ 上整なので、整拡大の命題「整拡大の推移性」により $b$ は代数的整数であり、$b\in\mathcal O_L\subset A$ となる。また $L/K$ は有限次で、$L$ も数体である。
$J=I\mathcal O_L$ とおくと、イデアルの拡大は積を保つので
$$J^h=I^h\mathcal O_L=(a)\mathcal O_L=(b)^h\mathcal O_L.$$
$\mathcal O_L$ もDedekind整域であり、$J$ と $(b)$ はともに非零イデアルである。各非零素イデアルの分解指数を $h$ 倍したものが等しいので、元の指数も等しく、$J=(b)\mathcal O_L$ となる。単位イデアルの場合も全ての指数が零という同じ議論が成り立つ。さらに $A$ へ拡大して
$$(a_1,\ldots,a_n)A=JA=bA$$
を得る。よって $A$ の有限生成イデアルは全て単項である。任意のDedekind整域の類群が有限であると仮定しているのではなく、数体の整数環であることを使っている。
次に $A$ がネーター的でないことを示す。正の実数 $\alpha_n=2^{1/2^n}$（$n\ge0$）を選ぶ。$\alpha_n^{2^n}=2$ なので各 $\alpha_n$ は代数的整数で、$\alpha_n=\alpha_{n+1}^2$ より
$$(\alpha_0)A\subset(\alpha_1)A\subset(\alpha_2)A\subset\cdots$$
である。もし隣接するイデアルが等しければ、$\alpha_{n+1}=c\alpha_n$（$c\in A$）と書け、非零元を約分して $c=1/\alpha_{n+1}$ となる。$A$ は環なので $c^{2^{n+1}}=1/2\in A$ が従う。
しかし、有理数で代数的整数であるものは整数に限る。これは 整拡大の例「反例：代数的だが整でない元」で示されるように、$\mathbb Z$ がその商体 $\mathbb Q$ の中で整閉であることによる。従って $1/2\notin A$ であり、上のイデアルの包含は全て真である。この昇鎖が止まらないので、Noether環の命題「Noether環の同値条件」により $A$ はネーター環でない。従って $A$ はPIDでないBezout整域である。
整数係数多項式環 $\mathbb Z[x]$ は整域だが、有限生成イデアル $(2,x)$ が単項でないため、Bezout環ではない。この非単項性の証明は、多項式環の例「反例：単項イデアル整域でない多項式環」の第1項による。
この例は「整域なら有限生成イデアルが単項」と「一意分解整域ならBezout整域」という二つの含意を破る。実際 $\mathbb Z[x]$ は一意分解整域であり（一意分解整域の定理「Gaussの補題と多項式環の一意分解性」）、$2$ と $x$ の最大公約数は $1$ である。しかし $(2,x)$ は真のイデアルなので、その最大公約数をこの二元の線形結合として表せない。
対比すると、$\mathbb Z$ 自身と、体 $k$ 上の一変数多項式環 $k[x]$ はPIDなのでBezout整域である。係数環が体であれば非零の定数は全て単元だが、整数係数では $2$ は単元でない。次数のある元 $x$ と定数 $2$ が作るイデアルを、互除法で一つの生成元にまとめられると考えることはできない。
性質
可換環 $R$ において、任意の $a,b\in R$ に対し $(a,b)$ が単項イデアルであるならば、任意の有限個の元 $a_1,\ldots,a_n\in R$（$n\ge1$）に対し $(a_1,\ldots,a_n)$ も単項イデアルである。
$n$ に関する数学的帰納法で示す。$n=1$ のときは $(a_1)$ 自身が単項イデアルであり自明。
$n-1$ 個の元に対して主張が成り立つと仮定し、$a_1,\ldots,a_n$ を考える。帰納法の仮定より $(a_1,\ldots,a_{n-1})=(c)$ となる $c\in R$ が存在する。仮定（二元生成の場合の単項性）を $c,a_n$ に適用すると、$(c,a_n)=(d)$ となる $d\in R$ が存在する。
このとき
$$
(a_1,\ldots,a_n)=(a_1,\ldots,a_{n-1})+(a_n)=(c)+(a_n)=(c,a_n)=(d)
$$
である（イデアルの和に関する結合律と、$(a_1,\ldots,a_{n-1})=(c)$、$(c,a_n)=(d)$ による）。したがって $(a_1,\ldots,a_n)$ も単項イデアルであり、帰納法が完了する。
次の命題では整域性を仮定する。零因子を許す一般のBezout環がGCD整域になるという主張ではない。
$R$ をBezout整域とする。任意の $a,b\in R$ に対し、$(a,b)=(d)$ を満たす $d\in R$ が存在し、この $d$ は次の意味で $a,b$ の最大公約数（gcd）である。
- $d\mid a$ かつ $d\mid b$（$d$ は公約数）。
- $c\mid a$ かつ $c\mid b$ を満たす任意の $c\in R$ に対し $c\mid d$（$d$ は公約数の中で最大）。
さらに $d=ax+by$ を満たす $x,y\in R$ が存在する（Bezoutの等式）。特に $R$ はGCD整域（任意の二元が最大公約数を持つ整域）である。
$R$ はBezout整域だから、イデアル $(a,b)$ は単項であり、$(a,b)=(d)$ を満たす $d\in R$ が取れる。
$d\in(a,b)$ であることから Bezout の等式が従う。 $d\in(d)=(a,b)$ より、ある $x,y\in R$ が存在して $d=ax+by$ と書ける。
$d$ が公約数であること（主張1）。 $a,b\in(a,b)=(d)$ だから、$a=de_1$、$b=de_2$ を満たす $e_1,e_2\in R$ が存在する。すなわち $d\mid a$ かつ $d\mid b$ である。
$d$ が最大であること（主張2）。 $c\mid a$、$c\mid b$ とする。このとき $a,b\in(c)$ であるから、$(a,b)\subset(c)$ である。一方 $(a,b)=(d)$ だから $d\in(c)$、すなわち $c\mid d$ である。
以上より $d$ は $a,b$ の最大公約数であり、しかもBezoutの等式 $d=ax+by$ を満たす。$a,b\in R$ は任意だったから、$R$ の任意の二元は最大公約数を持ち、$R$ はGCD整域である。
$R$ をネーター的なBezout整域とする。このとき $R$ は主イデアル整域（PID）である。
$R$ がネーターであることは、$R$ の任意のイデアルが有限生成であることと同値である（ネーター環の標準的な特徴づけ。イデアルの昇鎖が有限生成でないイデアルの存在から作れることによる。詳細はNoether環に譲る）。
$I\subset R$ を任意のイデアルとする。$R$ はネーターだから、$I$ は有限生成である。すなわちある $n\ge1$ と $a_1,\ldots,a_n\in R$ が存在して $I=(a_1,\ldots,a_n)$ と書ける。
$R$ はBezout整域だから、定義より有限生成イデアル $I=(a_1,\ldots,a_n)$ は単項イデアルである。すなわちある $d\in R$ が存在して $I=(d)$ となる。
$I$ は任意のイデアルであったから、$R$ の任意のイデアルは単項イデアルである。$R$ は整域でもあるから、$R$ はPIDである。
整域 $R$ について、$R$ がPIDであることと、$R$ がネーター的なBezout整域であることは同値である。
（系の証明）PID $\Rightarrow$ ネーター的なBezout整域は、PIDでは任意のイデアルが単項であり有限生成でもあるから、$R$ はネーターかつBezout整域である。逆は性質3（ネーター的なBezout整域はPID）そのものである。
$R$ を（分数体 $K$ をもつ）付値環とする。すなわち任意の $x\in K^{\times}$ に対し $x\in R$ または $x^{-1}\in R$ が成り立つとする。このとき $R$ はBezout整域である。
付値環の系「有限生成イデアルは単項」の証明による。有限個の生成元が生成する単項イデアルのうち、包含関係について最大のものが、元のイデアル全体に等しい。
$r\ge1$ とし、任意の体 $F_1,\ldots,F_r$ の直積 $R=F_1\times\cdots\times F_r$ を考える。各体は有限体である必要はない。$i$ 成分だけが $1$ で他が $0$ の元を $e_i$ と書く。
$I$ を $R$ のイデアルとし、$S$ を $I$ のある元の $i$ 成分が非零となる添字 $i$ の集合とする。$i\in S$ なら、その元に $i$ 成分が逆数で他が零の元を掛けて $e_i\in I$ を得る。従って $e=\sum_{i\in S}e_i\in I$ であり、$(e)\subset I$ となる。一方、$I$ の元は $S$ 外の成分が全て零なので、任意の $x\in I$ について $x=ex\in(e)$ である。よって $I=(e)$ である。$S$ が空なら $e=0$ として同じ結論が成り立つ。
このように全イデアルが単項であるため、$R$ はネーター的なBezout環である。$r\ge2$ では $e_1,e_2$ は非零だが $e_1e_2=0$ であり、整域でないのでPIDではない。ネーター性を導くのは各体の要素数の有限性ではなく、全イデアルを一つの元で生成できることである。
階層の整理（PID・Bezout整域・GCD整域・付値環）
以上の性質を、整域の圏における包含関係として整理する。矢印 $A\subsetneq B$ は「$A$ に属する整域は必ず $B$ にも属するが、逆は成り立たない」ことを表す。
$$
\text{PID}\ \subsetneq\ \text{Bezout整域}\ \subsetneq\ \text{GCD整域}
$$
第一の包含は cor-bezout-ring-pid-characterization によるものであり、真に狭いことは代数的整数全体の環 $\overline{\mathbb Z}$（例3、ネーター的でないためPIDでない）が示す。第二の包含は性質2（整域の場合の「Bezout環はGCD整域である」）である。体 $k$ 上の $k[x,y]$ は、一意分解整域の定理「Gaussの補題と多項式環の一意分解性」によりUFDであり、同記事の命題「一意分解整域における最大公約元」によりGCD整域である。一方、$(x,y)$ は単項でないので、$k[x,y]$ はBezout整域でなく、この包含は真である。$(x,y)$ の非単項性の証明は、多項式環の例「反例：単項イデアル整域でない多項式環」を参照する。
付値環はこの鎖の中に単純には収まらない。付値環は常にBezout整域だが（性質4）、ネーター的とは限らないためPIDとは限らない。逆にBezout整域が付値環とは限らない（例えば $\mathbb Z$ はBezout整域＝PIDだが、$2,3\in\mathbb Z$ はどちらも他方を割らないため、$\mathbb Z$ のイデアル全体は全順序をなさず付値環ではない）。
| 概念 | 定義条件 | ネーター的な場合 | 代表例 |
|---|---|---|---|
| 主イデアル整域（PID） | 任意のイデアルが単項 | （常にネーター的） | $\mathbb Z$、$k[x]$ |
| Bezout整域 | 有限生成イデアルが単項 | PIDに一致（系1） | $\mathbb Z$、$\overline{\mathbb Z}$、付値環 |
| GCD整域 | 任意の二元が最大公約数をもつ | PIDとは限らない | $k[x,y]$、任意のUFD |
| 付値環 | イデアル全体が包含で全順序 | 体または離散付値環（DVR） | $p$ 進整数環 $\mathbb Z_p$、体上の形式的Laurent級数の付値環 |
（この表の「ネーター的な場合」列は、その条件を課したときに何と一致するかを示す。「GCD整域＋ネーター的」は必ずしもPIDやBezout整域に一致しない点に注意する。例えば $k[x,y]$ はネーター的なGCD整域だがBezout整域ではない。）
条件を外したときの反例
一般の可換環に対する単項性と、整域の算術的な性質を分けて考えるため、上で述べた含意の仮定を整理する。最初の行は「ネーター的なBezout整域はPID」、次の行は同じ含意からネーター性だけを除いた場合である。最後の行は「体でないネーター的付値環はDVR」の非体条件を除いた場合である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| ネーター的なBezout環がPIDであるための整域性 | $F\times F$（$F$ は任意の体） | 全イデアルが単項でネーター的だが、非零零因子をもつためPIDでない |
| Bezout整域がPIDであるためのネーター性 | $\overline{\mathbb Z}$ | 整域かつ有限生成イデアルは全て単項だが、真の無限昇鎖がありPIDでない |
| ネーター的な付値環がDVRであるための「体でない」という条件 | 任意の体 $F$ | 付値環かつネーター的だが、非零極大イデアルも一意化元もなくDVRでない |
最初の反例では、整域性以外の仮定であるネーター性とBezout性を、上の直積のイデアルの計算で確認できる。第二の反例では、有限生成イデアルを一つずつ単項化できることと、イデアル全体の昇鎖が止まることとの違いが現れる。主単項化に使う有限拡大 $L$ は生成元ごとに選んでよく、全てのイデアルに共通する有限次の数体を取っているわけではない。無限昇鎖の各項は単項であっても、その昇鎖が止まらなければPIDではない。
第三の反例では体のイデアルは $(0)$ と $(1)$ だけなので、ネーター性や付値環の条件を破っていない。体の極大イデアルは $(0)$ であり、DVRの極大イデアルを生成する非零非単元 $\pi$ は存在しない。体を許す局所PIDと、非自明な離散付値をもつDVRを同一視することはできない。
なお、GCDが存在するだけではBezout性は従わない。例えば $k[x,y]$ の $x,y$ のGCDは単元だが、その単元を $xf+yg$（$f,g\in k[x,y]$）として表せない。もし表せれば $1\in(x,y)$ となるが、原点で評価すると $0=1$ になるからである。GCD整域の条件は割り切り関係についての条件であり、Bezout整域の条件はそれに加えて生成イデアルにGCDが属することを要求する。この差は、二つの概念を比較するときに欠かせない。
関連項目
参考文献
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