正規座標

$v\in T_pM$ について、曲線 $t\mapsto tv$ の $t=0$ での速度は $v$ であり、$\exp_p(tv)=\gamma_v(t)$ の $t=0$ での速度は $\gamma_v'(0)=v$ である。よって $d(\exp_p)_0(v)=v$ である。後半は逆関数定理による。$\square$

1．$\varphi(p)=B^{-1}(0)=0$ である。$d\varphi_p^{-1}=d(\exp_p)_0\circ B=B$（prop-nc-dexp）なので $\partial_i|_p=d\varphi_p^{-1}(e_i)=B(e_i)=b_i$ で、$g_{ij}(p)=g_p(b_i,b_j)=\varepsilon_i\delta_{ij}$ である。
2．$V$ は星形なので $B(tv)=tv^ib_i\in V$ である範囲で $\exp_p(tv^ib_i)=\gamma_v(t)$ であり、$\varphi(\gamma_v(t))=B^{-1}(tv^ib_i)=tv$ である。
3．2 の直線 $x^k(t)=tv^k$ は測地線の方程式 $\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j=0$ を満たすので、$\Gamma^k_{ij}(tv)v^iv^j=0$ である。$t=0$ とおくと、すべての $v\in\mathbb R^n$ について $\Gamma^k_{ij}(p)v^iv^j=0$ である。$\Gamma^k_{ij}$ は $i,j$ について対称なので、$v=e_a+e_b$ と $v=e_a-e_b$ の式を引いて $4\Gamma^k_{ab}(p)=0$ を得る。
4．接続が計量を保つことから $\partial_kg_{ij}=g(\nabla_{\partial_k}\partial_i,\partial_j)+g(\partial_i,\nabla_{\partial_k}\partial_j)=\Gamma^l_{ki}g_{lj}+\Gamma^l_{kj}g_{il}$ であり、3 から $p$ で $0$ である。$\square$

正規座標は基底 $(b_i)$ から $\varphi=B^{-1}\circ(\exp_p|_V)^{-1}$ で決まり、prop-nc-basic の 1 から $\partial_i|_p=b_i$ なので基底も座標から決まる。2 つの正規座標について $\tilde\varphi\circ\varphi^{-1}=\tilde B^{-1}\circ B$ は線形で、$x\mapsto x^ib_i\mapsto$（$\tilde b_j$ に関する成分）は 2 つの正規直交基底の間の基底変換である。$A=\tilde B^{-1}B$ とおくと $\tilde BAx=Bx$ なので、$\langle Ax,Ay\rangle_{\tilde\varepsilon}=g_p(\tilde BAx,\tilde BAy)=g_p(Bx,By)=\langle x,y\rangle_\varepsilon$ を満たす。$\square$

$x\in\varphi(U)$、$w\in\mathbb R^n$ を固定する。$\varphi(U)$ は開集合なので、$\delta>0$ を $|s|<\delta$ なら $x+sw\in\varphi(U)$ となるようにとれる。$\varphi(U)$ は星形なので、$|s|<\delta$、$0\le t\le1$ について $t(x+sw)\in\varphi(U)$ であり、
$$ \alpha(s,t):=\varphi^{-1}\bigl(t(x+sw)\bigr) $$
は滑らかな写像 $(-\delta,\delta)\times[0,1]\to U$ である。座標では $\alpha^k(s,t)=t(x^k+sw^k)$ なので、$T:=\partial_t\alpha$、$S:=\partial_s\alpha$ は
$$ T=(x^k+sw^k)\,\partial_k,\qquad S=t\,w^k\,\partial_k $$
である。$D_s$、$D_t$ で $s$ 方向・$t$ 方向に沿う共変微分を表す。
段 1（測地線の族）． prop-nc-basic の 2 により、各 $s$ について $t\mapsto\alpha(s,t)$ は $p$ から初速度 $(x^k+sw^k)b_k$ で出る測地線である。よって $D_tT=0$ で、計量両立性から $\partial_tg(T,T)=2g(D_tT,T)=0$ なので（測地線 の命題「測地線の速さは一定」と同じ計算で、正定値性は使わない）、$g(T,T)(s,t)=g(T,T)(s,0)=\langle x+sw,x+sw\rangle_\varepsilon$ である（$t=0$ では $\alpha=p$ で $g_{ij}(p)=\varepsilon_i\delta_{ij}$）。
段 2（対称性）． 座標で
$$ D_sT-D_tS=\Bigl(\partial_s\partial_t\alpha^k-\partial_t\partial_s\alpha^k+(\Gamma^k_{ij}-\Gamma^k_{ji})\,\partial_s\alpha^i\,\partial_t\alpha^j\Bigr)\partial_k=0 $$
である（偏微分は交換し、リーマン接続は捩れがなく $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$）。
段 3（内積の微分）． 接続が計量を保つことと段 1・2 から
$$ \partial_t\,g(S,T)=g(D_tS,T)+g(S,D_tT)=g(D_sT,T)=\frac12\,\partial_s\,g(T,T)=\langle x+sw,w\rangle_\varepsilon $$
であり、右辺は $t$ によらない。$t=0$ では $S=0$ なので $g(S,T)(s,t)=t\,\langle x+sw,w\rangle_\varepsilon$ である。$s=0$、$t=1$ では $\alpha(0,1)=x$、$T=x^i\partial_i$、$S=w^j\partial_j$ なので、$g_{ij}(x)x^iw^j=\langle x,w\rangle_\varepsilon$ を得る。$\square$

$U\setminus\{p\}$ の点 $x$ と $W=w^j\partial_j\in T_xM$ について、$dr(W)=\sum_jx^jw^j/r$ である。thm-nc-gauss から
$$ g(\partial_r,W)=\frac1r\,g_{ij}(x)x^iw^j=\frac1r\sum_jx^jw^j=dr(W) $$
なので $\operatorname{grad}r=\partial_r$ である。$W=\partial_r$ とおくと $g(\partial_r,\partial_r)=dr(\partial_r)=\sum_j(x^j)^2/r^2=1$ である。測地球面は座標では $\{r=\delta\}$ なので、それに接する $W$ は $dr(W)=0$、したがって $g(\partial_r,W)=0$ を満たす。$\square$

段 1（$U$ の中の曲線）． $c\colon[a,b]\to U$ が区分的に滑らかで、$(a,b]$ の上で $c(t)\neq p$ ならば $r(c(b))-r(c(a))\le L(c)$ であることを示す。$a< a'< b$ とすると、$r$ は $U\setminus\{p\}$ で滑らかなので $r\circ c$ は $[a',b]$ で区分的に $C^1$ であり、cor-nc-grad と Cauchy–Schwarz の不等式から
$$ \frac{d}{dt}\,r(c(t))=dr(\dot c)=g(\operatorname{grad}r,\dot c)\le|\operatorname{grad}r|\,|\dot c|=|\dot c| $$
である。$[a',b]$ で積分して $r(c(b))-r(c(a'))\le L(c|_{[a',b]})\le L(c)$ を得る。$r$ は $U$ で連続なので、$a'\to a$ として主張を得る。
段 2（1 の証明）． $c\colon[0,1]\to M$ を $p$ から $q$ への区分的に滑らかな曲線とし、$a:=\max\{t\mid c(t)=p\}$（$c^{-1}(p)$ は空でない閉集合）とおく。$r(q)<\rho<\varepsilon$ をとり、$U_\rho:=\varphi^{-1}(\{|x|<\rho\})$、$K_\rho:=\varphi^{-1}(\{|x|\le\rho\})$ とおく。$K_\rho$ はコンパクトなので $M$ の閉集合である。
$c([a,1])\subset U_\rho$ なら、段 1 から $r(q)-r(p)=r(q)\le L(c)$ である。そうでないとき $b:=\inf\{t\in[a,1]\mid c(t)\notin U_\rho\}$ とおく。$U_\rho$ は $c(a)=p$ の開近傍なので $b>a$ であり、$c([a,b))\subset U_\rho\subset K_\rho$ から $c(b)\in K_\rho$ である。$c(b)\in U_\rho$ とすると、$U_\rho$ が開集合であることから $b<1$ のときは $b$ のすぐ後まで $c$ が $U_\rho$ にとどまり、$b=1$ のときは $c([a,1])\subset U_\rho$ となって、どちらも $b$ の定め方に反する。よって $r(c(b))=\rho$ である。$c([a,b])\subset K_\rho\subset U$ なので段 1 から $\rho\le L(c|_{[a,b]})\le L(c)$ である。いずれの場合も $L(c)\ge r(q)$ である。
段 3（2 の証明）． prop-nc-basic の 2 により $\gamma$ は測地線で、初速度は $\varphi(q)^ib_i$、その長さは $|\varphi(q)|=r(q)$ である。測地線の速さは一定なので $L(\gamma)=r(q)$ である。$\square$

$q\in U$ なら thm-nc-minimizing から $d_g(p,q)=r(q)<\varepsilon$ である。逆に $d_g(p,q')<\varepsilon$ なら、$p$ から $q'$ への曲線 $c$ で $L(c)<\varepsilon$ となるものがある。$L(c)<\rho<\varepsilon$ となる $\rho$ をとると、thm-nc-minimizing の証明の段 2 の議論により、$c([a,1])$ が $U_\rho$ に含まれなければ $L(c)\ge\rho$ となって矛盾する。よって $q'=c(1)\in U_\rho\subset U$ である。$\square$