不変微分(楕円曲線)

有限な点． $P=(x_0,y_0)$ を $C$ の点とする。$P$ の局所環の極大イデアル $\mathfrak{m}_P$ は $x-x_0$、$y-y_0$ で生成され、$F$ を $P$ のまわりで展開すると、$C$ の上で
$$ F_x(P)(x-x_0)+F_y(P)(y-y_0)\in\mathfrak{m}_P^2 $$
である。$F_y(P)\ne0$ なら $y-y_0\in(x-x_0)+\mathfrak{m}_P^2$ なので $\mathfrak{m}_P=(x-x_0)+\mathfrak{m}_P^2$ であり、中山の補題 により $\mathfrak{m}_P=(x-x_0)$、すなわち $x-x_0$ は一意化元である。よって $\operatorname{ord}_P(dx)=\operatorname{ord}_P(d(x-x_0))=0$、$\operatorname{ord}_P(F_y)=0$ で、$\operatorname{ord}_P(\omega)=0$ である。$F_y(P)=0$ なら、$P$ は滑らかなので $F_x(P)\ne0$ であり、同様に $y-y_0$ が一意化元で、$\omega=-dy/F_x$ から $\operatorname{ord}_P(\omega)=0$ である。
無限遠点． $Y=1$ の座標 $w:=X/Y=x/y$、$z:=Z/Y=1/y$ で、方程式は
$$ z\,u=w^3,\qquad u:=1+a_1w+a_3z-a_2w^2-a_4wz-a_6z^2 $$
となる。$O$ は $(w,z)=(0,0)$ で、そこでの $z$ についての偏微分は $1$ なので、$w$ は $O$ での一意化元であり、$u$ は $O$ で値 $1$ をとる単元である。よって
$$ y=\frac1z=u\,w^{-3},\qquad x=w\,y=u\,w^{-2} $$
である。$u':=du/dw$ は $O$ で正則である（Sil09 Proposition II.4.3 (b)）。
標数が $2$ でないとき、
$$ dx=w^{-3}\bigl(w\,u'-2u\bigr)\,dw,\qquad F_y=w^{-3}\bigl(2u+a_1u\,w+a_3w^3\bigr) $$
で、括弧の中は $O$ でそれぞれ $-2$、$2$ という $0$ でない値をとる。よって $\operatorname{ord}_O(dx)=\operatorname{ord}_O(F_y)=-3$、$\operatorname{ord}_O(\omega)=0$ である。
標数が $3$ でないとき（特に標数 $2$ のとき）は、$\omega=-dy/F_x$ を使う。
$$ dy=w^{-4}\bigl(w\,u'-3u\bigr)\,dw,\qquad F_x=w^{-4}\bigl(a_1u\,w-3u^2-2a_2u\,w^2-a_4w^4\bigr) $$
で、括弧の中は $O$ でそれぞれ $-3$、$-3$ という $0$ でない値をとるので、$\operatorname{ord}_O(\omega)=0$ である。以上で $\operatorname{div}(\omega)=0$ が示された。$\square$

$\operatorname{div}(\omega)$ は標準因子で、その次数は $2g-2$ である（Riemann–Rochの定理）。thm-invd-divisor により次数は $0$ なので $g=1$ である。正則な微分形式 $\eta$ は $\eta=f\omega$（$f\in k(C)$）と書け、$\operatorname{div}(f)=\operatorname{div}(\eta)\ge0$ なので $f$ は極をもたず、射影曲線の上で定数である（Sil09 Proposition II.1.2、p. 18）。$\square$

$y_i:=y\circ\alpha_i$ とおくと、$P_i:=(x_i,y_i)\in E(K)$ で $P_3=P_1+P_2$ である。$x_1\ne x_2$ なので、$P_1,P_2$ を通る直線 $y=\lambda x+\nu$（$\lambda:=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$、$\nu:=y_1-\lambda x_1\in K$）がとれる。$h(X):=F(X,\lambda X+\nu)\in K[X]$ は $X^3$ の係数が $-1$ の 3 次式で、直線と $E$ の 3 つの交点の $x$ 座標を根にもつ。加法の定義により 3 番目の交点は $-P_3$ で、その $x$ 座標は $x_3$ なので
$$ h(X)=-(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3) $$
であり、仮定により根は相異なるので $h'(x_i)\ne0$ である。$\varepsilon_i:=\lambda x_i+\nu$ とおくと $\varepsilon_1=y_1$、$\varepsilon_2=y_2$ であり、$\varepsilon_3$ は $-P_3$ の $y$ 座標 $-y_3-a_1x_3-a_3$ に等しい。したがって $F_y(x_3,\varepsilon_3)=-F_y(x_3,y_3)$ である。
$K$ の微分 $d$ で $F(x_i,\varepsilon_i)=0$ を微分すると、$d\varepsilon_i=x_i\,d\lambda+\lambda\,dx_i+d\nu$ と $h'(X)=F_x(X,\lambda X+\nu)+\lambda F_y(X,\lambda X+\nu)$ から
$$ h'(x_i)\,dx_i=-F_y(x_i,\varepsilon_i)\,\bigl(x_i\,d\lambda+d\nu\bigr)\qquad(i=1,2,3) $$
を得る。$\beta_i:=-(x_i\,d\lambda+d\nu)/h'(x_i)$ とおき、$\alpha_1^*\omega=\beta_1$、$\alpha_2^*\omega=\beta_2$、$\alpha_3^*\omega=-\beta_3$ を示す。

• $\alpha_i$ が定数でないとき：$x_i$ は定数でない（$x$ のファイバーは有限なので、$x_i$ が定数なら $\alpha_i$ の像は有限集合になり、$X$ は既約なので $\alpha_i$ は定数になる）。$F_y\circ\alpha_i\ne0$ である（$F_y$ の零点は有限個）。この式を $h'(x_i)F_y(x_i,\varepsilon_i)$ で割ると $dx_i/F_y(x_i,\varepsilon_i)=\beta_i$ で、左辺は $i=1,2$ では $\alpha_i^*\omega$、$i=3$ では $-\alpha_3^*\omega$ である。
• $\alpha_i$ が定数のとき：$x_i,\varepsilon_i\in k$ なので、$\alpha_i^*\omega=0$ であり、$x_i\,d\lambda+d\nu=d(\lambda x_i+\nu)=d\varepsilon_i=0$ から $\beta_i=0$ である。
  よって $\alpha_1^*\omega+\alpha_2^*\omega-\alpha_3^*\omega=\beta_1+\beta_2+\beta_3=-d\lambda\sum_i\frac{x_i}{h'(x_i)}-d\nu\sum_i\frac1{h'(x_i)}$ である。最後に、相異なる $x_1,x_2,x_3$ と 1 次以下の多項式 $g$ について $\sum_i g(x_i)/h'(x_i)=0$ を示す。$h'(x_i)=-\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)$ であり、Lagrange補間 により $g(X)=\sum_ig(x_i)\prod_{j\ne i}\frac{X-x_j}{x_i-x_j}$ である。両辺の $X^2$ の係数を比べると $0=\sum_ig(x_i)/\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)$ を得る。$g=X$、$g=1$ に使えば和は $0$ である。$\square$

1：$Q=O$ なら $\tau_Q$ は恒等写像である。$Q\ne O$ とし、lem-invd-sum を $X=E$、$\alpha_1=\mathrm{id}$、$\alpha_2=$（$Q$ への定数写像）、$\alpha_3=\tau_Q$ に使う。$\alpha_1$ と $\alpha_3$ は同型なので定数でなく、$\alpha_2$ の値は $O$ でない。$x$ と $x\circ\tau_Q$ は定数でないので定数 $x(Q)$ と異なる。$x\circ\tau_Q=x$ なら、$E(K)$ の点として $P+Q=\pm P$（$P$ は恒等写像にあたる点）であり、$Q=O$ か、すべての点 $P$ で $2P=-Q$ となる。後者は $P=O$ で $Q=O$ を意味するので、どちらも $Q\ne O$ に反する。よって補題により $\tau_Q^*\omega=\omega+0=\omega$ である。
2：$\eta=f\omega$（$f\in K^\times$）と書くと、1 から $\tau_Q^*\eta=(f\circ\tau_Q)\,\omega$ なので、すべての $Q$ で $f\circ\tau_Q=f$ である。$f$ が正則な点 $P_0$ を 1 つとると、$f(P_0+Q)=f(P_0)$ がすべての $Q$ で成り立ち、$f$ は無限個の点で値 $f(P_0)$ をとる。$f-f(P_0)$ の零点は $f\ne f(P_0)$ なら有限個なので、$f$ は定数である。$\square$

$\varphi+\psi=0$ のとき：$\psi=[-1]\circ\varphi$ である。$[-1](x,y)=(x,-y-a_1x-a_3)$ で $F_y\circ[-1]=-F_y$ なので $[-1]^*\omega=-\omega$ であり、$\psi^*\omega=\varphi^*[-1]^*\omega=-\varphi^*\omega$（$\varphi$ が定数なら両辺 $0$）となって、両辺とも $0$ である。
$\varphi+\psi\ne0$ のとき：$2T\ne O$ となる点 $T\in E$ をとる（$2T=O$ となる点は $O$ と $F_y$ の零点だけで有限個であり、$E$ は無限個の点をもつ）。$\alpha_1:=\tau_T\circ\varphi$、$\alpha_2:=\tau_{-T}\circ\psi$ とおくと $\alpha_1+\alpha_2=\varphi+\psi=:\alpha_3$ である。lem-invd-sum の仮定を確かめる。$E'$ の関数体の点としての等式で考え、$\varphi$、$\psi$ が準同型で $O$ を $O$ に写すことを使う。

• $\alpha_1$ が $O$ への定数写像なら、$O$ での値から $T=O$ となる。$\alpha_2$ も同様。$\alpha_3\ne0$ は仮定である。
• $x\circ\alpha_1=x\circ\alpha_2$ なら $\varphi+T=\pm(\psi-T)$ である。符号が $+$ なら $\varphi-\psi$ は定数 $-2T$ で、$O$ での値から $2T=O$ となる。符号が $-$ なら $\varphi+\psi=0$ となる。
• $x\circ\alpha_1=x\circ\alpha_3$ なら $\varphi+T=\pm(\varphi+\psi)$ で、$\psi=T$ または $2\varphi+\psi=-T$（定数）となり、$O$ での値からどちらも $T=O$ となる。$x\circ\alpha_2=x\circ\alpha_3$ も同様である。
  どれも $T$ の選び方か仮定に反するので、補題が使える。thm-invd-translation により $\alpha_1^*\omega=\varphi^*\tau_T^*\omega=\varphi^*\omega$（$\varphi$ が定数なら両辺 $0$）、同様に $\alpha_2^*\omega=\psi^*\omega$ なので、$(\varphi+\psi)^*\omega=\varphi^*\omega+\psi^*\omega$ である。$\square$

$[0]^*\omega=0$、$[1]^*\omega=\omega$ である。thm-invd-additive を $\varphi=[m]$、$\psi=[1]$ と $\varphi=[m]$、$\psi=[-1]$ に使うと $[m\pm1]^*\omega=[m]^*\omega\pm\omega$ となり、上向きと下向きの帰納法で従う。$\square$

要点：定数でない $\varphi$ による $\omega$ の引き戻しは正則なので cor-invd-genus により $\omega$ の定数倍であり、和と合成は thm-invd-additive と引き戻しの関手性で保たれる。

1：cor-invd-multiplication により $[m]^*\omega=m\omega\ne0$ なので、$[m]$ は定数でなく、prop-invd-endomorphism により分離的である。2：$[p]$ は次数 $p^2$ の射で定数でなく（楕円曲線 の定理「$n$ 捩れ点の構造」の 1）、$[p]^*\omega=p\omega=0$ である。3：$a_i\in\mathbb{F}_q$ なので $F_y\circ\phi=(F_y)^q\ne0$ であり、$\phi^*\omega=d(x^q)/(F_y)^q=q\,x^{q-1}dx/(F_y)^q=0$ である。$\phi$ は $O$ を $O$ に写す射なので準同型であり（Sil09 Theorem III.4.8、p. 71）、thm-invd-additive と cor-invd-multiplication から $(m+n\phi)^*\omega=m\omega+n\phi^*\omega=m\omega$ である。これが $0$ でないことは $p\nmid m$ と同値なので、prop-invd-endomorphism から主張が従う（$m+n\phi=0$ のときは $m\omega=0$ で $p\mid m$ となり、主張と矛盾しない）。$\square$