群の表示複体

要点：各胞体から 1 点ずつ選んだ集合は、どの部分集合も閉なので、無限ならコンパクトになりえない。

段 1（胞体が 1 つのとき）：$\Lambda=\{\alpha\}$ とし、$\Phi:=\Phi_\alpha$、$\varphi:=\varphi_\alpha$、$\gamma:=\gamma_\alpha$、$c:=\Phi(0)$、$y_1:=\Phi(1/2)$ とおく。$U:=Y\setminus\{c\}$ と $V:=e_\alpha$ は $Y$ の開集合で、$Y=U\cup V$ である。
$U$ の上のホモトピー $H$ を、$X$ の上では恒等写像、$z\in D^2\setminus\{0\}$ については $H(\Phi(z),t):=\Phi\bigl((1-t)z+tz/|z|\bigr)$ と定める。$|z|=1$ では両者は一致する。$U$ は $X\sqcup(D^2\setminus\{0\})$ の飽和な開集合の像なので、商写像の制限は商写像であり、$[0,1]$ は局所コンパクトなので積をとっても商写像のままである（錐(位相) の注意「Whiteheadの補題の扱い」、Hat02 Proposition A.17, p. 532）。よって $H$ は連続で、$X$ は $U$ の変位レトラクトである（とくに $U$ は弧状連結である）。$r:=H(\cdot,1)$ について包含 $X\hookrightarrow U$ は基本群の同型を誘導し、その逆は $r_*$ である（変位レトラクト の命題「変位レトラクトはホモトピー同値」、基本群 の命題「ホモトピー不変性」）。
$V$ は開円板と同相で可縮であり、$U\cap V=\Phi(\operatorname{Int}D^2\setminus\{0\})$ は穴のあいた開円板と同相で弧状連結、$\pi_1(U\cap V,y_1)\cong\mathbb{Z}$ はループ $\sigma(t):=\Phi(\tfrac12e^{2\pi it})$ の類で生成される。Van Kampenの定理 を基点 $y_1$ で $U,V$ に当てると、$\pi_1(V,y_1)$ が自明なので、融合積の定義（Van Kampenの定理 の定義「群の融合積」で $G_2$ を自明群としたもの）から、包含が誘導する $\pi_1(U,y_1)\to\pi_1(Y,y_1)$ は全射で、核は $[\sigma]$ が生成する正規部分群である。
基点を $x_0$ に戻す。$\delta(t):=\Phi(1-t/2)$ は $\varphi(1)=\Phi(1)$ から $y_1$ への $U$ の中の道であり、$h:=\gamma\cdot\delta$ とおく。$h$ による基点の取り替えの同型（基本群 の命題「基点の取り替え」）は包含と可換なので、$\pi_1(U,x_0)\to\pi_1(Y,x_0)$ は全射で、核は $[h\cdot\sigma\cdot\bar h]$ が生成する正規部分群である。$r(\Phi(z))=\varphi(z/|z|)$ なので、$r\circ\delta$ は定値道、$r\circ\sigma=\varphi$ であり、$r_*[h\cdot\sigma\cdot\bar h]=[\gamma\cdot\varphi\cdot\bar\gamma]$ である。$i_*$ は同型 $\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(U,x_0)$ と上の全射の合成なので、全射で、核は $[\gamma\cdot\varphi\cdot\bar\gamma]$ が生成する正規部分群 $N$ である。
段 2（$\Lambda$ が有限のとき）：$|\Lambda|$ についての帰納法による。$\Lambda=\emptyset$ なら $Y=X$ である。$\Lambda=\Lambda'\sqcup\{\beta\}$ とし、$Y':=X\cup\bigcup_{\alpha\in\Lambda'}e_\alpha$ とする。lem-pc-compact の 2 により $Y'$ は $\Lambda'$ の胞体を貼った空間であり、閉集合の判定を比べると、$Y$ は $Y'$ に $e_\beta$ を $\varphi_\beta\colon S^1\to X\subset Y'$ で貼った空間と同じ位相をもつ。$i_*$ は $\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y',x_0)\to\pi_1(Y,x_0)$ と分解し、帰納法の仮定により前者は全射で核は $\Lambda'$ についての $N'$、段 1 により後者は全射で核は $[\gamma_\beta\cdot\varphi_\beta\cdot\bar\gamma_\beta]$ の像が生成する正規部分群である。前者を $f$、$x:=[\gamma_\beta\cdot\varphi_\beta\cdot\bar\gamma_\beta]$ とすると、$f$ は全射なので $x$ が生成する正規部分群の $f$ による像は $f(x)$ が生成する正規部分群であり、合成の核はその $f$ による逆像、すなわち $N'$ と $x$ が生成する正規部分群 $N$ である。
段 3（一般の場合）：有限な $F\subset\Lambda$ について $Y_F:=X\cup\bigcup_{\alpha\in F}e_\alpha$ は、lem-pc-compact の 2 により $F$ の胞体を貼った空間である。
全射：$x_0$ を基点とする $Y$ のループ $f$ の像はコンパクトなので、lem-pc-compact の 1 により有限な $F$ について $Y_F$ に含まれる。段 2 により $f$ は $Y_F$ の中で、したがって $Y$ の中で $X$ のループにホモトピックである。
$N\subset\ker i_*$：$\psi(t,s):=\Phi_\alpha\bigl((1-s)e^{2\pi it}+s\bigr)$ は、基点 $\varphi_\alpha(1)$ を動かさずにループ $\varphi_\alpha$ を定値ループへ縮めるホモトピーなので、$[\gamma_\alpha\cdot\varphi_\alpha\cdot\bar\gamma_\alpha]$ は $\pi_1(Y,x_0)$ で自明である。
$\ker i_*\subset N$：$X$ のループ $g$ が $Y$ の中でホモトピー $G\colon[0,1]^2\to Y$ により定値ループにホモトピックなら、$G$ の像はコンパクトなので有限な $F$ について $Y_F$ に含まれる。段 2 により $[g]$ は $F$ についての $N_F$ に属し、$N_F\subset N$ である。
最後に、別の道 $\eta_\alpha$ を選んでも $[\eta_\alpha\cdot\varphi_\alpha\cdot\bar\eta_\alpha]=[\eta_\alpha\cdot\bar\gamma_\alpha][\gamma_\alpha\cdot\varphi_\alpha\cdot\bar\gamma_\alpha][\eta_\alpha\cdot\bar\gamma_\alpha]^{-1}$ は共役なので、生成される正規部分群は変わらない（核として一意に決まることからも分かる）。$\square$

要点：有限個の円周なら Van Kampen の定理、無限個ならコンパクト性で有限個に帰着する。

thm-pc-attach を $X=B_S$（弧状連結）、$x_0=v$、接着写像 $\varphi_r$（$r\in R$）に当てる。$\varphi_r(1)=v$ なので $\gamma_r$ を定値道にとれ、$N$ は $[\varphi_r]$（$r\in R$）が生成する正規部分群である。$[\varphi_r]=\theta_S(r)$ であり、$\theta_S$ は同型（lem-pc-rose）なので $N=\theta_S(N(R))$ である。よって
$$ \pi_1(X_P,v)\cong\pi_1(B_S,v)/\theta_S(N(R))\cong F(S)/N(R) $$
であり、この同型は $s$ を包含 $B_S\hookrightarrow X_P$ による $a_s$ の像 $[\chi_s]$ に写す。$\square$

$G$ は表示をもつ（群の表示 の命題「すべての群は表示を持つ」）ので、その表示複体に thm-pc-main を当てる。有限表示なら胞体は有限個である。$\square$

要点：1 骨格の基本群は有限個の生成元の自由群で、2 胞体ごとに関係子が 1 つ増え、3 次元以上の胞体は基本群を変えない。

$X_P$ は有限 CW 複体で、$i$ 胞体の個数は $1,|S|,|R|$（$i=0,1,2$）である。$b_i:=\operatorname{rank}H_i(X_P)$ とおくと、胞体ホモロジー の系「胞体の個数から従うこと」の 4 により $1-|S|+|R|=b_0-b_1+b_2$ である。$X_P$ は弧状連結なので $b_0=1$ である。Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」と thm-pc-main により $H_1(X_P)\cong\pi_1(X_P)^{\mathrm{ab}}\cong G^{\mathrm{ab}}$ なので $b_1=\operatorname{rank}G^{\mathrm{ab}}$ である。よって $|S|-|R|=b_1-b_2\le b_1$ である。$G$ が有限なら $G^{\mathrm{ab}}$ も有限で $\operatorname{rank}G^{\mathrm{ab}}=0$ である。$\square$

要点：prf-thm-pc-attach の $D^2$ を $D^n$ に替えて同じ議論をする。