Hopf曲面

同義語：ホップ曲面Hopf surface

概要

前提知識: 複素多様体, 被覆空間, 基本群, Kähler多様体, Hartogsの拡張定理

Hopf 曲面（Hopf surface）とは、普遍被覆が $W:=\mathbb{C}^2\setminus\{0\}$ に双正則なコンパクト複素曲面である。最も簡単な例は、$W$ を $z\mapsto2z$ で生成される無限巡回群で割った商で、H. Hopf が 1948 年に導入した（BHPV04 V.18、p. 225）。この曲面は $S^1\times S^3$ に微分同相で、$b_2=0$ であるため Kähler 計量をもたない。Kähler 計量をもたないコンパクト複素曲面の最初の例であり（同所）、Hodge 理論の結論（$b_1$ が偶数であること、Hodge 対称性、$\partial\bar\partial$ 補題）が Kähler 条件なしでは崩れることを示す標準的な例として使われる。
Hopf 曲面の一部は楕円曲線をファイバーとする $\mathbb{P}^1$ 上の楕円ファイブレーションをもち、代数的でない楕円曲面の例にもなる。曲面の分類では、小平次元が $-\infty$ で $b_1=1$ の曲面（類 VII）に属する。小平邦彦（Kunihiko Kodaira）は Hopf 曲面を詳しく調べ、位相や不変量による特徴づけを与えた。
この記事では、対角的な縮小写像による商 $H_\alpha$ を作り、それが $S^1\times S^3$ に微分同相なコンパクト複素曲面であることを証明する。そこから Kähler でないこと、正則 1 形式と多重標準形式をもたないこと（小平次元が $-\infty$）を示し、$\alpha_1=\alpha_2$ のとき楕円ファイブレーションをもつことを証明する。

定義

Hopf 曲面

コンパクト連結な $2$ 次元複素多様体 $X$ が Hopf 曲面であるとは、その普遍被覆が $W:=\mathbb{C}^2\setminus\{0\}$ に双正則であることをいう。Hopf 曲面 $X$ の基本群が無限巡回群 $\mathbb{Z}$ に同型であるとき、$X$ を一次 Hopf 曲面（primary Hopf surface）という。そうでない Hopf 曲面を二次 Hopf 曲面という。

$W$ は $\mathbb{R}\times S^3$ に微分同相で単連結なので（下の thm-hopf-diffeo の証明）、Hopf 曲面 $X$ は $W$ をその被覆変換群 $\pi_1(X)$ で割った商 $W/\pi_1(X)$ である。ここで $\pi_1(X)$ は $W$ に自由かつ固有不連続に双正則変換として作用する。

対角的な Hopf 曲面 $H_\alpha$

複素数 $\alpha_1,\alpha_2$ が $0<|\alpha_1|\le|\alpha_2|<1$ をみたすとし、$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2)$、
$$ g_\alpha\colon W\to W,\qquad g_\alpha(z_1,z_2):=(\alpha_1z_1,\ \alpha_2z_2) $$
とおく。$g_\alpha$ が生成する無限巡回群を $G_\alpha=\langle g_\alpha\rangle$ とし、$H_\alpha:=W/G_\alpha$ とおく。$\alpha_1=\alpha_2=\frac12$ のときの $H_{(1/2,1/2)}$ が Hopf の原論文の曲面である。

直感

$W$ の点は、原点からの「距離」と、原点を中心とする単位球面 $S^3$ の上の「方向」で決まる。$g_\alpha$ は方向をほぼ保ちながら距離を一定の割合で縮めるので、$W$ を $g_\alpha$ で割ると、距離の方向 $\mathbb{R}_{>0}$ が円周 $\mathbb{R}_{>0}/(\text{縮小})\cong S^1$ に巻き取られ、$S^1\times S^3$ ができる。$S^3$ にも $S^1$ にも $2$ 次元の穴がないので、$H^2$ が $0$ になる。Kähler 形式は $H^2$ の $0$ でない類を与えるはずなので、この曲面は Kähler でありえない。

位相と複素構造

$H_\alpha$ は $S^1\times S^3$ に微分同相

$G_\alpha$ は $W$ に自由かつ固有不連続に作用し、$H_\alpha$ はコンパクト連結な複素曲面である。$W\to H_\alpha$ は普遍被覆で、$\pi_1(H_\alpha)\cong\mathbb{Z}$ である。さらに $H_\alpha$ は $S^1\times S^3$ に微分同相である。とくに $H_\alpha$ は一次 Hopf 曲面である。

$e^{a_j}=\alpha_j$ となる複素数 $a_j$ を選ぶ。$|\alpha_j|<1$ なので $\operatorname{Re}a_j<0$ である。実数 $t$ について
$$ \phi_t(z_1,z_2):=(e^{ta_1}z_1,\ e^{ta_2}z_2) $$
とおくと、$\phi_t$ は $W$ の微分同相（双正則写像）で、$\phi_s\circ\phi_t=\phi_{s+t}$、$\phi_1=g_\alpha$ である。
動径の座標．$z\in W$ を止めて $N(t,z):=|\phi_t(z)|^2=e^{2t\operatorname{Re}a_1}|z_1|^2+e^{2t\operatorname{Re}a_2}|z_2|^2$ とおく。$\partial N/\partial t=2\operatorname{Re}a_1e^{2t\operatorname{Re}a_1}|z_1|^2+2\operatorname{Re}a_2e^{2t\operatorname{Re}a_2}|z_2|^2<0$（$z\ne0$）であり、$t\to-\infty$ で $N\to\infty$、$t\to\infty$ で $N\to0$ である。よって $N(t,z)=1$ となる $t$ がただ 1 つあり、それを $\tau(z)$ と書く。陰関数定理により $\tau\colon W\to\mathbb{R}$ は $C^\infty$ 級である。
積への分解．$\Phi\colon W\to\mathbb{R}\times S^3$、$\Phi(z):=(-\tau(z),\ \phi_{\tau(z)}(z))$、$\Psi\colon\mathbb{R}\times S^3\to W$、$\Psi(s,w):=\phi_s(w)$ とおく。どちらも $C^\infty$ 級である。$w\in S^3$ なら $\phi_{-s}(\phi_s(w))=w$ のノルムは $1$ なので $\tau(\phi_s(w))=-s$ で、$\Phi\circ\Psi(s,w)=(s,\phi_{-s}\phi_s(w))=(s,w)$ である。また $\Psi\circ\Phi(z)=\phi_{-\tau(z)}\phi_{\tau(z)}(z)=z$ である。よって $\Phi$ は微分同相である。
作用の書き換え．$\phi_{\tau(z)-1}(g_\alpha z)=\phi_{\tau(z)-1}\phi_1(z)=\phi_{\tau(z)}(z)$ のノルムは $1$ なので $\tau(g_\alpha z)=\tau(z)-1$ で、
$$ \Phi(g_\alpha z)=\bigl(-\tau(z)+1,\ \phi_{\tau(z)}(z)\bigr) $$
である。すなわち $\Phi$ で移すと $g_\alpha$ は $(s,w)\mapsto(s+1,w)$ になる。$\mathbb{Z}$ の $\mathbb{R}$ への平行移動による作用は自由かつ固有不連続なので、$G_\alpha$ の $W$ への作用も自由かつ固有不連続であり、$H_\alpha=W/G_\alpha$ は $(\mathbb{R}/\mathbb{Z})\times S^3\cong S^1\times S^3$ に微分同相である。とくに $H_\alpha$ はコンパクト連結である。
複素構造．$g_\alpha$ は双正則なので、自由かつ固有不連続な作用による商 $H_\alpha$ には、射影 $W\to H_\alpha$ が局所双正則になる複素構造がただ 1 つ入る。$W\cong\mathbb{R}\times S^3$ は単連結（$S^3$ が単連結）なので、射影 $W\to H_\alpha$ は普遍被覆で、被覆変換群 $G_\alpha\cong\mathbb{Z}$ が基本群に同型である（被覆空間）。$\square$

$\alpha_1=\alpha_2=e^{-1}$ のとき、この構成は $W\cong S^3\times\mathbb{R}$ の動径方向の平行移動として Wel08 Ch. V §5（pp. 200–201）にあり、商が複素多様体になることは同書 Proposition 5.3 による。Künneth の公式（Künnethの公式）により $H_\alpha$ の Betti 数は $b_0=b_1=b_3=b_4=1$、$b_2=0$ で、Euler 数は $0$ である。

$H_\alpha$ は Kähler 計量をもたない

$H_\alpha$ はどんな Kähler 計量ももたない。

$H_\alpha$ が Kähler 形式 $\omega$ をもつとする。$\omega$ は $d$ 閉な実 $2$ 形式で、$\omega\wedge\omega$ は複素多様体の自然な向きについて正の体積形式である（各点で $\omega=\frac i2\sum_j\lambda_j\theta_j\wedge\bar\theta_j$、$\lambda_j>0$ と対角化すると $\omega^2$ は $\lambda_1\lambda_2$ の正の倍の体積形式）。よって $\int_{H_\alpha}\omega\wedge\omega>0$ である。一方 $b_2(H_\alpha)=0$ なので $H^2_{dR}(H_\alpha)=0$ で、$\omega=d\eta$ と書ける。すると $\omega\wedge\omega=d(\eta\wedge\omega)$ で、Stokes の定理から $\int_{H_\alpha}\omega\wedge\omega=0$ となり矛盾する。$\square$

$b_1(H_\alpha)=1$ が奇数であることからも、Hodge 分解（Hodge分解の命題「Hodge 数の関係」）によって Kähler でないことが分かる。上の証明は $b_2=0$ だけを使い、$b_1$ の偶奇を使わない。すべての Hopf 曲面は一次 Hopf 曲面による有限不分岐被覆をもち（BHPV04 V.18、p. 227。この記事では証明しない）、一次 Hopf 曲面は $S^1\times S^3$ に同相である（同 V.18.4。この記事では証明しない）。Kähler 計量は有限不分岐被覆に引き戻せるので、この 2 つの事実と同じ議論から、どの Hopf 曲面も Kähler 計量をもたない。

正則形式と小平次元

正則 1 形式と多重標準形式

$H_\alpha$ について次が成り立つ。

正則関数は定数だけである。
$H^0(H_\alpha,\Omega^1)=0$ である。
すべての $n\ge1$ について $P_n(H_\alpha):=\dim H^0(H_\alpha,K^{\otimes n})=0$ である。とくに $p_g=P_1=0$ で、小平次元は $-\infty$ である。

$H_\alpha$ 上の正則なテンソルは、$W$ 上の $g_\alpha$ 不変な正則なテンソルと 1 対 1 に対応する。$W$ 上の正則関数は Hartogs の拡張定理（Hartogsの拡張定理）により $\mathbb{C}^2$ 上の正則関数に延び、$\mathbb{C}^2$ 全体で収束する冪級数 $f=\sum_{a,b\ge0}c_{ab}z_1^az_2^b$ で表される。
1．$f$ が $g_\alpha$ 不変なら $f(\alpha_1z_1,\alpha_2z_2)=f(z)$ で、係数を比べると $c_{ab}\alpha_1^a\alpha_2^b=c_{ab}$ である。$(a,b)\ne(0,0)$ なら $|\alpha_1^a\alpha_2^b|<1$ なので $c_{ab}=0$ で、$f$ は定数である。
2．正則 1 形式 $\theta=f\,dz_1+h\,dz_2$ について $g_\alpha^*\theta=\alpha_1f(g_\alpha z)\,dz_1+\alpha_2h(g_\alpha z)\,dz_2$ なので、不変性は $\alpha_1f(g_\alpha z)=f(z)$、$\alpha_2h(g_\alpha z)=h(z)$ である。$f$ の係数について $c_{ab}\alpha_1^{a+1}\alpha_2^b=c_{ab}$ で、$|\alpha_1^{a+1}\alpha_2^b|<1$ だからすべて $0$ である。$h$ も同様で、$\theta=0$ である。
3．$K^{\otimes n}$ の切断は $W$ 上で $f\,(dz_1\wedge dz_2)^{\otimes n}$ と書け、$g_\alpha^*(dz_1\wedge dz_2)=\alpha_1\alpha_2\,dz_1\wedge dz_2$ なので、不変性は $(\alpha_1\alpha_2)^nf(g_\alpha z)=f(z)$ である。係数について $c_{ab}\alpha_1^{a+n}\alpha_2^{b+n}=c_{ab}$ で、$n\ge1$ なら $|\alpha_1^{a+n}\alpha_2^{b+n}|<1$ だからすべて $0$ である。$P_n$ がすべて $0$ なので小平次元は $-\infty$ である（BHPV04 I.7.2、p. 29）。$\square$

一方、$h^{0,1}=\dim H^1(H_\alpha,\mathcal{O})=1$ であり、Hodge 数は
$$ h^{0,0}=1,\quad h^{1,0}=0,\quad h^{0,1}=1,\quad h^{2,0}=h^{0,2}=h^{1,1}=0 $$
である（BHPV04 V.18.1、p. 226。この記事では証明しない）。$h^{1,0}=0\ne1=h^{0,1}$ なので Hodge 対称性が破れ、$b_1=1=h^{1,0}+h^{0,1}$ である（Hodge対称性・Dolbeaultコホモロジーの例「反例：Hopf 曲面」）。Picard 群は $\mathbb{C}^*$ に同型である（同 V.18.1 (iii)）。Bott–Chern コホモロジーの計算は Bott–Chernコホモロジーの定理「Hopf 曲面の Bott–Chern コホモロジー」にある。

楕円ファイブレーション

$H_{(\lambda,\lambda)}$ の楕円ファイブレーション

$0<|\lambda|<1$ とし、$H_\lambda:=H_{(\lambda,\lambda)}$ とおく。$W\to\mathbb{P}^1$、$(z_1,z_2)\mapsto[z_1:z_2]$ は正則写像 $f\colon H_\lambda\to\mathbb{P}^1$ を誘導する。$f$ のどのファイバーも、楕円曲線
$$ E_\lambda:=\mathbb{C}/(2\pi i\,\mathbb{Z}+\log\lambda\,\mathbb{Z}) $$
（$\log\lambda$ は $\lambda$ の対数の 1 つ）に双正則である。とくに $H_\lambda$ は代数的でない楕円曲面である。

$[\lambda z_1:\lambda z_2]=[z_1:z_2]$ なので、射影 $p\colon W\to\mathbb{P}^1$ は $g_\lambda$ 不変で、正則写像 $f\colon H_\lambda\to\mathbb{P}^1$ を誘導する。$[a:b]\in\mathbb{P}^1$ の上の $p$ のファイバーは $\{(ua,ub):u\in\mathbb{C}^*\}\cong\mathbb{C}^*$ で、$g_\lambda$ はその上で $u\mapsto\lambda u$ として働く。よって $f$ のファイバーは $\mathbb{C}^*/\lambda^{\mathbb{Z}}$ に双正則である。指数写像 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}^*$、$w\mapsto e^w$ は $2\pi i\,\mathbb{Z}$ を核とする全射準同型で、$\lambda^{\mathbb{Z}}$ の逆像は $2\pi i\,\mathbb{Z}+\log\lambda\,\mathbb{Z}$ である。$\operatorname{Re}\log\lambda=\log|\lambda|<0$ なので $\log\lambda$ と $2\pi i$ は $\mathbb{R}$ 上 1 次独立で、これは $\mathbb{C}$ の格子である。よって $\mathbb{C}^*/\lambda^{\mathbb{Z}}\cong E_\lambda$ は楕円曲線（複素トーラス）である。$f$ はコンパクト多様体の間の正則写像なので固有で、ファイバーは連結、すべて滑らかな楕円曲線なので、$f$ は楕円ファイブレーションである。$H_\lambda$ は Kähler でない（thm-hopf-not-kahler）ので射影代数的でない。$\square$

$f$ のファイバーはすべて同じ楕円曲線 $E_\lambda$ で、$f$ は $\mathbb{P}^1$ 上の楕円曲線束（ファイバー束）である。楕円曲面の Euler 数の式 $e(X)=\sum_se(X_s)$ は $e(H_\lambda)=0$ と整合する。より一般に、$H_\alpha$ が $\mathbb{P}^1$ 上の楕円ファイブレーションをもつのは、整数 $k,l\ge1$ で $\alpha_1^k=\alpha_2^l$ となるときに限り、そうでなければ $H_\alpha$ は $z_2=0$ と $z_1=0$ の像の 2 本の楕円曲線しか既約曲線をもたない（BHPV04 V.18.2、pp. 226–227。この記事では証明しない）。

二次 Hopf 曲面

$0<|\lambda|<1$、$n\ge2$、$\zeta$ を $1$ の原始 $n$ 乗根とし、$W$ の自己同型 $g(z)=\lambda z$、$h(z)=\zeta z$ が生成する群 $G=\langle g,h\rangle$ を考える。$g,h$ は可換で、$G\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。$g^mh^k(z)=z$（$z\ne0$）なら $\lambda^m\zeta^k=1$ で、絶対値から $m=0$、さらに $\zeta^k=1$ なので $G$ の作用は自由である。$W/G$ は $H_\lambda$ を位数 $n$ の巡回群 $\langle h\rangle$ で自由に割った商なので、コンパクトな複素曲面で、その普遍被覆は $W$、基本群は $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。基本群が $\mathbb{Z}$ でないので、これは二次 Hopf 曲面である。$h$ は prop-hopf-elliptic のファイブレーションを保つので、$W/G$ も $\mathbb{P}^1$ 上の楕円曲面である。

小平の結果

Hopf 曲面は位相と不変量によって特徴づけられる。以下はこの記事では証明しない（BHPV04 V.18、p. 227。同書は小平邦彦の論文に帰している）。

一次 Hopf 曲面の特徴づけ

コンパクト複素曲面 $X$ について、次は同値である。

$X$ は一次 Hopf 曲面である。
$X$ は $S^1\times S^3$ に同相である。
$b_2(X)=0$ かつ $\pi_1(X)\cong\mathbb{Z}$ である。

その他の特徴づけ

thm-hopf-kodaira は BHPV04 V.18.4 である。同じ節に、次の結果も小平によるものとして述べられている（この記事では証明しない）。代数次元（有理型関数体の超越次数）が $1$ の極小なコンパクト曲面で $P_{12}=0$ のものは Hopf 曲面である（V.18.5）。代数次元が $0$ のコンパクト曲面は、$b_1=1$、$b_2=0$ で曲線を含むとき、かつそのときに限り Hopf 曲面である（V.18.7）。どの Hopf 曲面も小平次元は $-\infty$ である（p. 227）。

Enriques–小平の分類では、小平次元が $-\infty$ で $b_1=1$ の曲面を類 VII といい、その極小曲面が分類表の 1 つの類をなす（BHPV04 VI 章 Table 10、p. 244）。Hopf 曲面はその代表的な例である。

反例：仮定を外すと崩れること

外す条件	反例	成り立たなくなること
def-hopf-diagonal の「$\lvert\alpha_2\rvert<1$」	$\alpha=(\frac12,2)$、$g(z_1,z_2)=(\frac12z_1,2z_2)$	作用は固有不連続でなく、商 $W/\langle g\rangle$ は Hausdorff でない
def-hopf-diagonal の「原点を除く」	$g_\alpha$ を $\mathbb{C}^2$ 全体に作用させる	原点が固定点で作用は自由でなく、どの軌道も原点に近づくので商は Hausdorff でない
Kähler 多様体の「$b_2\ge1$、$b_1$ は偶数」の「Kähler」	$H_\alpha$（コンパクト複素曲面）	$b_2=0$、$b_1=1$

表の確かめ

1 行目：$z_n:=(1,2^{-n})$、$w_n:=g^n(z_n)=(2^{-n},1)$ とおくと $z_n\to(1,0)$、$w_n\to(0,1)$ である。$(1,0)$ と $(0,1)$ のコンパクトな近傍 $K$ をとると、十分大きいすべての $n$ で $g^n(K)\cap K\ne\emptyset$ となり、固有不連続性が破れる。商で $(1,0)$ と $(0,1)$ の像は相異なる（同じ軌道にない：$g^n(1,0)=(2^{-n},0)$）が、近傍で分離できない。

2 行目：$g_\alpha(0)=0$。また任意の $z$ について $g_\alpha^n(z)\to0$（$n\to\infty$）なので、原点の像の任意の近傍はすべての点の像を含み、商は Hausdorff でない。

3 行目：$H_\alpha$ の Betti 数は thm-hopf-diffeo と Künneth の公式による。コンパクト Kähler 多様体で $b_2\ge1$ となることは thm-hopf-not-kahler の証明の前半、$b_1$ が偶数であることは Hodge分解の命題「Hodge 数の関係」による。