コンパクト化

$y\in Y$ で $u(y)\neq v(y)$ と仮定する。$Z$ は Hausdorff なので、$u(y)$ と $v(y)$ の交わらない開近傍 $A,B$ がある。$W:=u^{-1}(A)\cap v^{-1}(B)$ は $y$ を含む開集合なので、稠密性から点 $d\in W\cap D$ がある。すると $u(d)\in A$、$v(d)\in B$ かつ $u(d)=v(d)$ となり、$A\cap B=\emptyset$ に反する。$\square$

同値なら、同相写像 $h$ とその逆写像が二つの不等式を与える。逆に $f_1\colon Y_1\to Y_2$、$f_2\colon Y_2\to Y_1$ が $f_1\circ c_1=c_2$、$f_2\circ c_2=c_1$ を満たすとする。$f_2\circ f_1\colon Y_1\to Y_1$ は $c_1(X)$ の上で恒等写像と一致する（$f_2f_1c_1=f_2c_2=c_1$）。$c_1(X)$ は $Y_1$ で稠密で、$Y_1$ は Hausdorff だから、lem-compactification-dense-agree により $f_2\circ f_1=\mathrm{id}_{Y_1}$ である。同様に $f_1\circ f_2=\mathrm{id}_{Y_2}$ なので、$f_1$ は同相写像で $f_1\circ c_1=c_2$ を満たす。$\square$

$(Y,c)$ を $X$ のコンパクト化とする。$Y$ はHausdorffであり、その部分空間 $c(X)$ もHausdorffである。さらに $c\colon X\to c(X)$ は同相写像なので、Hausdorff性は $X$ に移る。$\square$

$f$ を主張のとおりに定めると、$f\circ c$ は包含 $X\hookrightarrow\alpha X$ に等しい。$f$ の連続性を示す。$X$ は局所コンパクトなので、$c(X)$ は $Y$ の開集合である（局所コンパクト空間 の命題「コンパクト化で開になること」）。
$\alpha X$ の開集合 $U$ で $\infty\notin U$ のものについては、$f^{-1}(U)=c(U)$ であり、$c$ は $X$ から $c(X)$ への同相写像なので $c(U)$ は $c(X)$ の開集合、したがって $Y$ の開集合である。
$\infty\in U$ のものについては、$K:=X\setminus U$ は $X$ のコンパクト集合で、$f^{-1}(U)=Y\setminus c(K)$ である。$c(K)$ はコンパクトなので Hausdorff 空間 $Y$ の閉集合であり、$f^{-1}(U)$ は開である。
よって $f$ は連続であり、$\alpha X\leq Y$ が示された。$\square$

構成：$F:=C(X,I)$ とし、評価写像 $e\colon X\to I^{F}$、$e(x)=(\varphi(x))_{\varphi\in F}$ を考える。$X$ は Tychonoff 空間なので、$e$ は位相的埋め込みである（Tychonoff空間 の定理「立方体への埋め込み」）。$I^{F}$ は Tychonoffの定理 によりコンパクトで、Hausdorff 空間の直積として Hausdorff である。$\beta X:=\overline{e(X)}$ とおき、$\eta:=e$ とすると、$\beta X$ はコンパクト空間の閉部分集合としてコンパクト Hausdorff であり、$\eta(X)$ はそこで稠密である。
$K=I$ の場合の延長：$f\in F$ なら、座標射影 $\pi_f\colon I^{F}\to I$ の $\beta X$ への制限 $\overline f$ は連続で、$\overline f(\eta(x))=f(x)$ を満たす。
一般の $K$ の場合の延長：コンパクト Hausdorff 空間 $K$ は Tychonoff 空間なので（Tychonoff空間 の命題「コンパクト Hausdorff 空間は Tychonoff 空間」）、$J:=C(K,I)$ による評価写像 $e_K\colon K\to I^{J}$ は位相的埋め込みである。各 $\psi\in J$ について $\psi\circ f\in F$ なので、前段により $\overline{\psi\circ f}\colon\beta X\to I$ がある。これらを並べた $G:=(\overline{\psi\circ f})_{\psi\in J}\colon\beta X\to I^{J}$ は連続で、$G\circ\eta=e_K\circ f$ を満たす。$e_K(K)$ はコンパクトなので閉集合であり、連続性から
$$ G(\beta X)=G\bigl(\overline{\eta(X)}\bigr)\subset\overline{G(\eta(X))}=\overline{e_K(f(X))}\subset e_K(K) $$
となる。そこで $\overline f:=e_K^{-1}\circ G\colon\beta X\to K$ とおくと、$e_K$ は $K$ から $e_K(K)$ への同相写像なので $\overline f$ は連続で、$\overline f\circ\eta=f$ である。
一意性：二つの延長は稠密な $\eta(X)$ の上で一致し、$K$ は Hausdorff なので lem-compactification-dense-agree により等しい。
コンパクト化としての一意性：$(Y,c)$ も同じ性質をもつとする。$c\colon X\to Y$ を $\beta X$ へ延長した $\overline c\colon\beta X\to Y$ と、$\eta\colon X\to\beta X$ を $Y$ へ延長した $\overline\eta\colon Y\to\beta X$ があるので、$Y\leq\beta X$ かつ $\beta X\leq Y$ であり、prop-compactification-order-equivalence により同値である。$\square$

$c\colon X\to Y$ は $X$ からコンパクト Hausdorff 空間 $Y$ への連続写像なので、thm-stone-cech-compactification により $\overline c\colon\beta X\to Y$ で $\overline c\circ\eta=c$ となるものがある。これは $Y\leq\beta X$ の定義そのものである。$\square$

$(n_k)$ が点 $p\in\beta\mathbb N$ に収束すると仮定する。$A:=\{n_{2k}\mid k\geq1\}$ の指示関数 $\chi\colon\mathbb N\to\{0,1\}\subset I$ は、$\mathbb N$ が離散なので連続であり、thm-stone-cech-compactification により連続な $\overline\chi\colon\beta\mathbb N\to I$ に延長される。連続性から $\overline\chi(p)=\lim_k\chi(n_k)$ となるはずだが、項は相異なるので $\chi(n_k)$ は $k$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$ であり、この列は収束しない。これは矛盾である。
点列コンパクトでないこと：列 $(n_k)=(k)$ のどの部分列も相異なる自然数の列なので、収束しない。$\square$