メタコンパクト空間

$X$ をコンパクト空間、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。コンパクト性により、$\mathcal{U}$ は有限部分被覆 $\mathcal{V}\subset\mathcal{U}$ をもつ。$\mathcal{V}$ は元の被覆の成員からなるので開細分であり、有限族なので各点を含む成員も有限個である。したがって $\mathcal{V}$ は点有限な開細分であり、$X$ はメタコンパクトである。$\square$

$X$ をパラコンパクト空間、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。パラコンパクト性により、$\mathcal{U}$ は局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ をもつ。任意の $x\in X$ に対し、局所有限性から $x$ のある近傍 $W$ は $\mathcal{V}$ の有限個の成員としか交わらない。$x$ を含む各 $V\in\mathcal{V}$ は $W$ と点 $x$ で交わるので、そのような $V$ も有限個しかない。よって $\mathcal{V}$ は点有限であり、$X$ はメタコンパクトである。$\square$

強パラコンパクト性は、任意の開被覆が星状有限な開細分 $\mathcal{V}$ をもつことをいう。ここで星状有限とは、各 $V\in\mathcal{V}$ と交わる $\mathcal{V}$ の成員が有限個しかないことである。
$x\in X$ を取り、$x\in V$ となる $V\in\mathcal{V}$ を一つ選ぶ。$V$ 自身が $x$ の開近傍であり、$V$ と交わる成員は有限個しかない。よって $\mathcal{V}$ は局所有限である。したがって $X$ はパラコンパクトであり、前の命題からメタコンパクトでもある。$\square$

$F$ の開被覆 $\{W_s\}_{s\in S}$ をとる。各 $W_s$ は $X$ のある開集合 $U_s$ によって $W_s=U_s\cap F$ と書ける。$\{U_s\}_{s\in S}\cup\{X\setminus F\}$ は $X$ の開被覆なので、点有限な開細分 $\mathcal V$ をもつ。$\mathcal V':=\{V\cap F\mid V\in\mathcal V,\ V\cap F\neq\emptyset\}$ は $F$ の開集合からなり $F$ を覆う。$V\cap F\neq\emptyset$ なら $V\not\subset X\setminus F$ なので $V\subset U_s$ となる $s$ があり、$V\cap F\subset W_s$ である。点有限性は $\mathcal V$ から受け継がれる。よって $\mathcal V'$ は $\{W_s\}$ の点有限な開細分である。$\square$

$\mathcal U$ を $X\times K$ の開被覆とする。$x\in X$ を固定すると、$\{x\}\times K$ はコンパクトなので、$\mathcal U$ の成員に含まれる基本開集合 $A_{x,1}\times B_{x,1},\ldots,A_{x,m_x}\times B_{x,m_x}$（$A_{x,i}\ni x$ は $X$ の開集合、$B_{x,i}$ は $K$ の開集合）で $\{x\}\times K$ を覆うものがとれる。$A_x:=A_{x,1}\cap\cdots\cap A_{x,m_x}$ は $x$ の開近傍で、$A_x\times K\subset\bigcup_iA_{x,i}\times B_{x,i}$ である（$K$ の各点は $B_{x,i}$ のどれかに入る）。
$\{A_x\}_{x\in X}$ は $X$ の開被覆なので、点有限な開細分 $\mathcal W$ がある。各 $W\in\mathcal W$ に対し $W\subset A_{x(W)}$ となる点 $x(W)$ を一つ選び、
$$ \mathcal V:=\{W\times B_{x(W),i}\mid W\in\mathcal W,\ 1\leq i\leq m_{x(W)}\} $$
とおく。各成員は開集合で、$W\times B_{x(W),i}\subset A_{x(W),i}\times B_{x(W),i}$ はある $\mathcal U$ の成員に含まれる。$(y,k)\in X\times K$ をとると、$y\in W$ となる $W\in\mathcal W$ があり、$k$ は $B_{x(W),1},\ldots,B_{x(W),m_{x(W)}}$ のどれかに入るので $\mathcal V$ は被覆である。$(y,k)$ を含む成員 $W\times B_{x(W),i}$ は、$y$ を含む有限個の $W$ と、それぞれ有限個の $i$ からなるので有限個である。よって $\mathcal V$ は $\mathcal U$ の点有限な開細分である。$\square$

$\mathcal P$ を、$\{A_s\}_{s\in T}$ が $X$ を覆うような部分集合 $T\subset S$ 全体とし、包含の逆で順序づける（$T\preceq T'$ を $T\supseteq T'$ で定める）。$S\in\mathcal P$ なので $\mathcal P$ は空でない。$\mathcal C\subset\mathcal P$ を空でない全順序部分集合とし、$T_0:=\bigcap\mathcal C$ とおく。$T_0\in\mathcal P$ を示せば、$T_0$ は $\mathcal C$ の上界になる。
$x\in X$ をとり、$S_x:=\{s\in S\mid x\in A_s\}$ とおく。点有限性から $S_x$ は有限集合である。各 $T\in\mathcal C$ は被覆を与えるので $S_x\cap T\neq\emptyset$ である。有限集合 $S_x$ の部分集合 $S_x\cap T$（$T\in\mathcal C$）は包含について全順序なので、そのうち最小のもの $S_x\cap T_1$ があり、これはすべての $S_x\cap T$ に含まれる。よって $S_x\cap T_0=S_x\cap T_1\neq\emptyset$、すなわち $x$ は $\{A_s\}_{s\in T_0}$ のある成員に属する。したがって $T_0\in\mathcal P$ である。
Zornの補題 により $\mathcal P$ には $\preceq$ に関する極大元 $T^{*}$、すなわち包含について極小な $T^{*}$ がある。その真部分集合はどれも被覆を与えないので、$\{A_s\}_{s\in T^{*}}$ は既約な部分被覆である。$\square$

$\mathcal U$ を $X$ の開被覆とする。メタコンパクト性から点有限な開細分があり、lem-metacompact-irreducible によりその既約な部分被覆 $\{V_t\}_{t\in T}$ がとれる。これも $\mathcal U$ の点有限な開細分である。既約性から、各 $t\in T$ について $V_t$ にだけ属し、ほかの $V_{t'}$（$t'\neq t$）には属さない点 $x_t$ がある。$A:=\{x_t\mid t\in T\}$ とおくと、$t\mapsto x_t$ は単射である。
任意の点 $y\in X$ はある $V_{t_0}$ に属し、$y$ の開近傍 $V_{t_0}$ が含む $A$ の点は $x_{t_0}$ だけである。$T$ が無限なら、相異なる $t_1,t_2,\ldots\in T$ をとり点列 $(x_{t_n})_{n\geq1}$ を考える。可算コンパクト空間の点列は集積点 $y$ をもつ（可算コンパクト空間 の定理「閉集合と点列による特徴づけ」）。すなわち $y$ のどの近傍も無限個の $n$ について $x_{t_n}$ を含む。ところが近傍 $V_{t_0}$ が含む項は高々一つ（$x_{t_n}$ は相異なり、$A$ の点で $V_{t_0}$ に入るのは $x_{t_0}$ だけ）なので矛盾である。よって $T$ は有限であり、$\{V_t\}_{t\in T}$ は $\mathcal U$ の有限な開細分である。各 $V_t$ を含む $\mathcal U$ の成員を一つずつ選べば、有限部分被覆が得られる。$\square$

$D$ を可算な稠密部分集合、$\mathcal V$ を空でない開集合からなる点有限な族とする。各 $V\in\mathcal V$ は空でない開集合なので $D$ の点を含む。$d\in D$ ごとに $\mathcal V_d:=\{V\in\mathcal V\mid d\in V\}$ は点有限性から有限集合であり、$\mathcal V=\bigcup_{d\in D}\mathcal V_d$ は可算個の有限集合の和として可算である。$\square$