特殊直交群

直交行列 の定理「直交行列の標準形」により、$P\in\mathrm{O}(n)$ で $P^{\top}AP=\operatorname{diag}(R(\theta_1),\dots,R(\theta_k),I_p,-I_q)$ となるものがある。$1=\det A=(-1)^q$ なので $q$ は偶数であり、$-I_2=R(\pi)$ なので、$-I_q$ を $q/2$ 個の $R(\pi)$ に置き換えると、$P^{\top}AP=D$ は $m:=k+q/2$ 個の $2\times2$ ブロック $R(\varphi_j)$ と $1$ の対角成分からなるブロック対角行列になる。$j$ 番目のブロックが第 $s_j,s_j+1$ 行・列を占めるとし、$D_j$ を「$D$ の $j$ 番目のブロック以外を単位行列に替えた行列」とすると、$D=D_1D_2\cdots D_m$ で、$D_j$ どうしは可換である（占める位置が重ならない）。$P$ の第 $s$ 列を $p_s$ と書くと、$PD_jP^{\top}p_{s_j}=PD_je_{s_j}=\cos\varphi_j\,p_{s_j}+\sin\varphi_j\,p_{s_j+1}$、同様に $PD_jP^{\top}p_{s_j+1}=-\sin\varphi_j\,p_{s_j}+\cos\varphi_j\,p_{s_j+1}$ で、ほかの $p_s$ は動かないので、$PD_jP^{\top}=R_{p_{s_j},p_{s_j+1}}(\varphi_j)$ である。よって $A=PDP^{\top}=\prod_j PD_jP^{\top}$ が求める分解である。$\square$

1：$H_vu=u$、$H_vv=-v$ であり、$w\cdot u=-\sin\frac\theta2$、$w\cdot v=\cos\frac\theta2$ なので、倍角の公式により
$$ H_wH_vu=u+2\sin\tfrac\theta2\,w=\cos\theta\,u+\sin\theta\,v,\qquad H_wH_vv=-v+2\cos\tfrac\theta2\,w=-\sin\theta\,u+\cos\theta\,v $$
である。$u,v$ に直交する $x$ は $v,w$ にも直交するので $H_wH_vx=x$ である。よって $H_wH_v=R_{u,v}(\theta)$ である。
2：$W:=\operatorname{span}\{a,b\}$ とおく。$W^{\perp}$ の元は $H_a,H_b$ で動かないので、$Q:=H_aH_b$ は $W^\perp$ を各点固定し、$W$ を $W$ に移す。$W$ の正規直交基底 $u,v$ をとり、$Q$ の $W$ への制限をこの基底で表した $2\times2$ 行列を $Q_W$ とすると、$Q_W$ は直交行列で、$\det Q_W=\det Q=(-1)^2=1$ である。2 次の直交行列で行列式が $1$ のものは $R(\theta)$ の形なので（回転・鏡映と行列の群 の定理「2 次の直交行列の分類」）、$Q=R_{u,v}(\theta)$ である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では $\mathrm{SO}(1)=\{1\}$ で、空の積（$0$ 個）である。$n\ge2$ とし、$x:=Ae_n$ とおく。$x$ は長さ $1$ である。
段 1：$(a,b)\in\mathbb{R}^2$ を $r(\cos\psi,\sin\psi)$（$r=\sqrt{a^2+b^2}$）と書き、$\theta:=\frac\pi2-\psi$ とおくと、$R(\theta)\binom ab=r\binom{\cos(\psi+\theta)}{\sin(\psi+\theta)}=\binom0r$ である。これを使って、$G_1=R_{12}(\theta_1)$ で第 1 座標を $0$、第 2 座標を $r_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ にし、次に $G_2=R_{23}(\theta_2)$ で第 2 座標を $0$、第 3 座標を $\sqrt{r_2^2+x_3^2}$ にする。これを続けると、$G:=G_{n-1}\cdots G_2G_1$ について、$Gx$ の第 $1,\dots,n-1$ 座標は $0$、第 $n$ 座標は $\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}=1$ となる。すなわち $GAe_n=e_n$ である。
段 2：$GA\in\mathrm{SO}(n)$ は $e_n$ を動かさないので、直交群 の定理「球面への推移的な作用」の 2 により $GA=\operatorname{diag}(B,1)$、$B\in\mathrm{SO}(n-1)$ と書ける。帰納法の仮定により $B$ は $(n-1)$ 次の $R_{i,i+1}(\theta)$ の $\frac{(n-1)(n-2)}2$ 個の積であり、$\operatorname{diag}(R_{i,i+1}(\theta),1)$ は $n$ 次の $R_{i,i+1}(\theta)$ である。$G_i^{-1}=R_{i,i+1}(-\theta_i)$ なので、$A=G_1^{-1}G_2^{-1}\cdots G_{n-1}^{-1}\operatorname{diag}(B,1)$ は $(n-1)+\frac{(n-1)(n-2)}2=\frac{n(n-1)}2$ 個の積である。$\square$

prf-so-givens で $n=3$ とすると $A=G_1^{-1}G_2^{-1}\operatorname{diag}(B,1)$、$G_1^{-1}=R_{12}(-\theta_1)$、$G_2^{-1}=R_{23}(-\theta_2)$、$B\in\mathrm{SO}(2)$ である。ex-so-2 により $B=R(\gamma)$ と書けて、$\operatorname{diag}(B,1)=R_{12}(\gamma)$ である。$\alpha=-\theta_1$、$\beta=-\theta_2$ とおけばよい。$\square$

$X\in\mathfrak{so}(n)$ なら、行列の指数関数 の命題「相似・転置・固有ベクトル」の (R2) により $(e^X)^{\top}=e^{X^{\top}}=e^{-X}$ であり、$X$ と $-X$ は可換なので同じ記事の定理「可換な行列の指数法則」により $e^{-X}e^X=e^0=I$ である。また定理「指数関数の固有値と行列式」の (R2) により $\det e^X=e^{\operatorname{tr}X}=e^0=1$ である。よって $e^X\in\mathrm{SO}(n)$ である。
逆に $A\in\mathrm{SO}(n)$ とし、prf-so-planes のように $A=PDP^{\top}$（$P\in\mathrm{O}(n)$、$D$ は $2\times2$ ブロック $R(\varphi_j)$ と $1$ からなるブロック対角行列）と書く。$J:=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ について $e^{\varphi J}=R(\varphi)$ である（行列の指数関数 の例「回転と Euler の公式」）。$Y$ を、$D$ の各ブロック $R(\varphi_j)$ の位置に $\varphi_jJ$ を置き、ほかを $0$ にした行列とする。ブロック対角行列の冪はブロックごとの冪なので、指数関数の級数もブロックごとに計算でき、$e^Y=D$ である。$Y$ は交代行列で、$X:=PYP^{\top}$ も $X^{\top}=PY^{\top}P^{\top}=-X$ を満たす。行列の指数関数 の命題「相似・転置・固有ベクトル」の (R1) により $e^X=Pe^YP^{-1}=PDP^{\top}=A$ である。$\square$

1：直交行列 の定理「直交行列の標準形」で $n=3$ とすると、$2k+p+q=3$ で、$\det A=(-1)^q=1$ から $q$ は偶数なので、$(k,p,q)$ は $(1,1,0)$、$(0,3,0)$、$(0,1,2)$ のどれかである。最後の場合の $\operatorname{diag}(1,-1,-1)$ は、座標を並べ替える置換行列で $\operatorname{diag}(-1,-1,1)=R_z(\pi)$ と共役である。$(0,3,0)$ は $I=R_z(0)$ である。並べ替えの行列を $P$ に繰り込めば、$P\in\mathrm{O}(3)$ と $\theta\in[0,\pi]$ で $A=PR_z(\theta)P^{\top}$ と書ける。$\det P=-1$ なら、$S:=\operatorname{diag}(1,1,-1)$ は $R_z(\theta)$ と可換なので、$P$ を $PS\in\mathrm{SO}(3)$ に替えても $A=(PS)R_z(\theta)(PS)^{\top}$ である。跡は共役で変わらないので $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}R_z(\theta)=1+2\cos\theta$ であり、$\cos$ は $[0,\pi]$ で単射なので $\theta$ はただ 1 つに決まる。
2：共役な行列の跡は等しい。逆に $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B$ なら 1 により回転角 $\theta$ が等しく、$A=PR_z(\theta)P^{\top}$、$B=QR_z(\theta)Q^{\top}$（$P,Q\in\mathrm{SO}(3)$）なので、$B=(QP^{\top})A(QP^{\top})^{\top}$ で $QP^{\top}\in\mathrm{SO}(3)$ である。$\square$

$N$ を $\{I\}$ でない正規部分群とする。
段 1（小さな角の回転は $N$ に入る）：$g\in N$、$g\neq I$ をとり、回転角を $\alpha\in(0,\pi]$ とする。thm-so3-conjugacy により $g$ は $R_z(\alpha)$ と共役で、$N$ は正規なので、$R_z(\alpha)\in N$ である。改めて $g:=R_z(\alpha)$ とし、$x$ 軸のまわりの回転 $k_t:=R_{23}(t)$ を使って
$$ c(t):=g\,k_t\,g^{-1}k_t^{-1}\qquad(t\in[0,\tfrac\pi2]) $$
とおく。$g\in N$ と、正規性による $k_tg^{-1}k_t^{-1}\in N$ から、$c(t)\in N$ である。$c(t)$ の成分は $t$ の連続関数なので、$f(t):=\operatorname{tr}c(t)$ は連続で、$f(0)=\operatorname{tr}I=3$ である。$t=\frac\pi2$ で計算すると $f(\frac\pi2)=\cos^2\alpha+2\cos\alpha$ であり、$3-f(\frac\pi2)=(3+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)>0$ である（$\alpha\in(0,\pi]$ なので $\cos\alpha<1$）。