写像空間の指数法則(位相空間)

定義域は $k$-空間なので、すべての試験写像 $t\colon K\to\mathrm{Map}(X,Y)\times_kX$ について $\operatorname{ev}\circ t$ が連続であることを示せばよい（コンパクト生成空間 の命題「連続性はコンパクト Hausdorff 空間で決まる」）。$t$ は直積位相への試験写像でもあるので（同じ記事の命題「$k$ 化」の 1）、成分 $g\colon K\to\mathrm{Map}(X,Y)$、$x\colon K\to X$ は連続である。恒等写像 $\mathrm{Map}(X,Y)\to C_{\mathrm t}(X,Y)$ は連続なので、$g\colon K\to C_{\mathrm t}(X,Y)$ も連続である。
制限 $x^*\colon C_{\mathrm t}(X,Y)\to C_{\mathrm{co}}(K,Y)$、$f\mapsto f\circ x$ は連続である。実際、コンパクト集合 $L\subset K$ は Hausdorff 空間 $K$ の閉集合なのでコンパクト Hausdorff であり、$x|_L$ は試験写像で、$(x^*)^{-1}(W(L,U))=W(x|_L,U)$ は開集合である。$K$ はコンパクト Hausdorff、とくに局所コンパクト Hausdorff なので、評価写像 $\operatorname{ev}_K\colon C_{\mathrm{co}}(K,Y)\times K\to Y$ は連続である（コンパクト開位相 の命題「評価写像の連続性」）。よって
$$ (\operatorname{ev}\circ t)(a)=g(a)(x(a))=\operatorname{ev}_K\bigl(x^*(g(a)),a\bigr) $$
は連続写像 $a\mapsto(x^*(g(a)),a)$ と $\operatorname{ev}_K$ の合成であり、連続である。$\square$

1：まず各 $\widehat F(z)$ は連続である。写像 $X\to Z\times_kX$、$x\mapsto(z,x)$ は定値写像と恒等写像の組なので、$k$-空間の圏の直積の普遍性により連続であり、$\widehat F(z)$ はこれと $F$ の合成である。
$\widehat F$ の連続性を示す。$Z$ は $k$-空間なので、試験写像 $t\colon K\to Z$ について $\widehat F\circ t\colon K\to C_{\mathrm t}(X,Y)$ が連続であることを示せば、$\widehat F\colon Z\to C_{\mathrm t}(X,Y)$ が連続になり（コンパクト生成空間 の命題「連続性はコンパクト Hausdorff 空間で決まる」。値域は任意の空間でよい）、さらに $\widehat F\colon Z\to k\,C_{\mathrm t}(X,Y)$ も連続になる（同じ記事の命題「$k$ 化」の 4）。
$K$ は局所コンパクト Hausdorff なので、直積空間 $K\times X$ は $k$-空間であり（同じ記事の定理「局所コンパクト空間との直積」）、$K\times X=K\times_kX$ である。$t\times\mathrm{id}_X\colon K\times_kX\to Z\times_kX$ は直積の普遍性により連続なので、$F':=F\circ(t\times\mathrm{id}_X)$ は直積空間 $K\times X$ 上の連続写像である。準開基の元 $W(u,U)$（$u\colon L\to X$ は試験写像）と、$\widehat F(t(a_0))\in W(u,U)$ となる $a_0\in K$ をとる。各 $l\in L$ について $F'(a_0,u(l))\in U$ なので、開集合 $P_l\ni a_0$、$Q_l\ni u(l)$ で $P_l\times Q_l\subset F'^{-1}(U)$ となるものがある。$L$ はコンパクトなので、開被覆 $\{u^{-1}(Q_l)\}$ から有限個 $u^{-1}(Q_{l_1}),\dots,u^{-1}(Q_{l_r})$ で $L$ が覆える。$P:=P_{l_1}\cap\dots\cap P_{l_r}$ は $a_0$ の開近傍で、$P\times u(L)\subset F'^{-1}(U)$、すなわち $P\subset(\widehat F\circ t)^{-1}(W(u,U))$ を満たす。よって $\widehat F\circ t$ は連続である（$L=\emptyset$ なら逆像は $K$ 全体）。
2：$G\times\mathrm{id}_X\colon Z\times_kX\to\mathrm{Map}(X,Y)\times_kX$ は直積の普遍性により連続であり、$\check G=\operatorname{ev}\circ(G\times\mathrm{id}_X)$ なので、lem-exp-evaluation により連続である。
3：$\widehat F$ と $\check G$ が互いに逆であることは、値を $(z,x)$ で評価すれば分かる。自然性、すなわち連続写像 $a\colon X'\to X$、$b\colon Y\to Y'$、$c\colon Z'\to Z$ に対し $\widehat{b\circ F\circ(c\times a)}(z')=b\circ\widehat F(c(z'))\circ a$ となることも、両辺を $x'\in X'$ で評価すれば分かる。$\square$

写像 $e\colon C_{\mathrm t}(X,Y)\to Y^X=\prod_{x\in X}Y$、$f\mapsto(f(x))_{x}$ は単射で連続である（1 点からの写像は試験写像で、第 $x$ 成分の開集合 $U$ の逆像は $W(\{x\}\to X,\,U)$ である）。$Y^X$ は弱 Hausdorff 空間の直積なので弱 Hausdorff である（弱Hausdorff空間 の命題「弱 Hausdorff 空間の基本性質」の 4）。試験写像 $v\colon K\to C_{\mathrm t}(X,Y)$ について $e\circ v$ は試験写像なので $e(v(K))$ は閉集合であり、$e$ が単射なので $v(K)=e^{-1}(e(v(K)))$ も閉集合である。$k$ 化は弱 Hausdorff 性を保つ（同じ命題の 5）。$\square$

$k$-空間 $W,Z,X$ に対し、$(W\times_kZ)\times_kX$ と $W\times_k(Z\times_kX)$ はどちらも $k$-空間の圏での 3 つの積の普遍性をもつので、台集合の恒等写像で同相である。thm-exp-main を 2 回ずつ使うと、全単射の列
$$ C\bigl(W,\mathrm{Map}(Z\times_kX,Y)\bigr)\cong C\bigl((W\times_kZ)\times_kX,\,Y\bigr)\cong C\bigl(W\times_kZ,\mathrm{Map}(X,Y)\bigr)\cong C\bigl(W,\mathrm{Map}(Z,\mathrm{Map}(X,Y))\bigr) $$
が得られ、合成は $g\mapsto\Phi\circ g$ である（両辺を $(w,z,x)$ で評価すれば分かる）。$W=\mathrm{Map}(Z\times_kX,Y)$、$g=\mathrm{id}$ とおくと $\Phi$ は連続である。逆向きに $W=\mathrm{Map}(Z,\mathrm{Map}(X,Y))$ として恒等写像に逆の全単射を当てると、得られる連続写像は $\Phi^{-1}$（$h\mapsto((z,x)\mapsto h(z)(x))$）である。よって $\Phi$ は同相写像である。prop-exp-separation により、両辺はコンパクト生成空間である。$\square$

$M:=\mathrm{Map}(Y,Z)\times_k\mathrm{Map}(X,Y)$ とおく。写像 $M\times_kX\to Z$、$((g,f),x)\mapsto g(f(x))$ は、$\mathrm{id}\times\operatorname{ev}\colon\mathrm{Map}(Y,Z)\times_k(\mathrm{Map}(X,Y)\times_kX)\to\mathrm{Map}(Y,Z)\times_kY$ と評価写像の合成（積の結合の同相を挟む）なので、lem-exp-evaluation により連続である。$M$ は $k$-空間なので、thm-exp-main の 1 によりそのカリー化である合成写像は連続である。$\square$

$X'$ が $k$-空間であることは 弱Hausdorff空間 の定理「商空間が弱 Hausdorff になる条件」の証明の冒頭と同じである。$q\times\mathrm{id}_Z$ は連続な全射なので、$A\subset X'\times Z$ について、$(q\times\mathrm{id}_Z)^{-1}(A)$ が $X\times_kZ$ の閉集合なら $A$ が $X'\times_kZ$ の閉集合であることを示せばよい。開集合が $\emptyset,\{1\},\{0,1\}$ の Sierpinski空間 $S$ をとり、$\chi(p)=0$（$p\in A$）、$\chi(p)=1$（$p\notin A$）で $\chi\colon X'\times Z\to S$ を定める。$\chi$ の連続性は $A$ が閉集合であることと同値である。
仮定より $\chi\circ(q\times\mathrm{id}_Z)\colon X\times_kZ\to S$ は連続なので、thm-exp-main の 1（パラメータを $X$、定義域を $Z$ とする）によりカリー化 $X\to\mathrm{Map}(Z,S)$ は連続である。これは $c(x')(z):=\chi(x',z)$ で定まる写像 $c\colon X'\to\mathrm{Map}(Z,S)$ と $q$ の合成であり（各 $c(x')$ は $q(x)=x'$ となる $x$ でのカリー化の値なので連続）、$q$ は商写像なので $c$ は連続である。thm-exp-main の 2 により $\check c=\chi\colon X'\times_kZ\to S$ は連続であり、$A$ は閉集合である。$\square$