隆起関数

$K=\emptyset$ なら $\psi=0$ でよいので、$K\ne\emptyset$ とする。各 $p\in K$ について、thm-bump-point により、$p$ の開近傍 $W_p$ の上で $1$ となり、台がコンパクトで $U$ に含まれる $C^\infty$ 級関数 $\psi_p\colon M\to[0,1]$ をとる。$K$ はコンパクトなので、有限個の $W_{p_1},\dots,W_{p_N}$ で $K$ が覆える。
$$ \Psi:=\psi_{p_1}+\dots+\psi_{p_N} $$
とおくと、$\Psi$ は $C^\infty$ 級で $\Psi\ge0$ であり、開集合 $W:=W_{p_1}\cup\dots\cup W_{p_N}\supset K$ の上では、どれか 1 つの項が $1$ なので $\Psi\ge1$ である。また $\{\Psi\ne0\}\subset\bigcup_i\{\psi_{p_i}\ne0\}$ なので、$\operatorname{supp}\Psi\subset\bigcup_i\operatorname{supp}\psi_{p_i}$ であり、右辺は $U$ に含まれるコンパクト集合（有限個のコンパクト集合の和）である。
ex-bump-step の $g$ を使って $\psi:=g\circ\Psi$ とおく。$\psi$ は $C^\infty$ 級で $0\le\psi\le1$ であり、$W$ の上では $\Psi\ge1$ なので $\psi=1$ である。$\Psi(x)=0$ なら $\psi(x)=g(0)=0$ なので $\{\psi\ne0\}\subset\{\Psi\ne0\}$、したがって $\operatorname{supp}\psi\subset\operatorname{supp}\Psi$ である。$\operatorname{supp}\psi$ はコンパクト集合の閉部分集合なのでコンパクトであり（$M$ は Hausdorff なのでコンパクト集合は閉集合である）、$U$ に含まれる。$\square$

$A\subset U$ なので $\{U,\ M\setminus A\}$ は $M$ の開被覆である。滑らかな 1 の分割の存在により、これに従属する $C^\infty$ 級の 1 の分割 $(\rho_U,\rho_{M\setminus A})$ をとる（$\operatorname{supp}\rho_U\subset U$、$\operatorname{supp}\rho_{M\setminus A}\subset M\setminus A$、$\rho_U+\rho_{M\setminus A}=1$）。$\psi:=\rho_U$ とおくと、$\operatorname{supp}\psi\subset U$ であり、$A$ の上では $\rho_{M\setminus A}=0$ なので $\psi=1$ である。$\square$

滑らかな 1 の分割の存在（後半）を開被覆 $\{M\}$ に使い、台がコンパクトな高々可算個の関数からなる滑らかな 1 の分割 $(\sigma_k)_{k\in I}$ をとる。添字集合 $I$ は $\{1,2,3,\ldots\}$ またはその有限な始切片 $\{1,\dots,K\}$ としてよい。
$$ f:=\sum_{k\in I}k\,\sigma_k $$
とおく。台の族が局所有限なので、各点の近くでこの和は有限和であり、$f$ は $C^\infty$ 級である。$\sum_k\sigma_k=1$ と $k\ge1$ から $f\ge1$ である。
$c\in\mathbb{R}$ を任意にとり、$c\le N$ となる整数 $N\ge1$ を選ぶ。$x\notin\bigcup_{k\le N}\operatorname{supp}\sigma_k$ ならば、$k\le N$ で $\sigma_k(x)=0$ なので
$$ f(x)=\sum_{k>N}k\,\sigma_k(x)\ge(N+1)\sum_{k>N}\sigma_k(x)=(N+1)\sum_k\sigma_k(x)=N+1>c $$
である。よって $\{f\le c\}\subset\bigcup_{k\le N}\operatorname{supp}\sigma_k$ であり、右辺は有限個のコンパクト集合の和なのでコンパクトである。$\{f\le c\}$ は連続関数による閉集合 $(-\infty,c]$ の逆像なので閉集合であり、コンパクト集合の閉部分集合としてコンパクトである。$\square$

$O=\emptyset$ なら $\phi=0$ とする。$O\ne\emptyset$ なら、$O$ は、中心の座標と半径が有理数で $O$ に含まれる開球の可算個の和なので、$O=\bigcup_{i\ge1}B(c_i,r_i)$ と書ける（有限個なら同じ球を繰り返す）。ex-bump-flat の $h$ を使って
$$ \rho_i(x):=h\Bigl(1-\frac{\lvert x-c_i\rvert^2}{r_i^2}\Bigr) $$
とおくと、$\rho_i$ は $C^\infty$ 級で、$\lvert x-c_i\rvert< r_i$ でちょうど正、それ以外で $0$ である。$\rho_i$ のすべての偏導関数は台 $\overline B(c_i,r_i)$ の外で $0$ で、コンパクト集合の上で連続なので有界である。そこで
$$ M_i:=\max\Bigl\{\sup_{x}\lvert\partial^\alpha\rho_i(x)\rvert\ \Big|\ \lvert\alpha\rvert\le i\Bigr\} $$
（$\alpha$ は多重指数、$\partial^\alpha$ はその偏微分）とおくと $0< M_i<\infty$ であり、
$$ \phi:=\sum_{i=1}^\infty\frac{\rho_i}{2^iM_i} $$
と定める。各項は $0$ 以上で、$\lvert\alpha\rvert\le i$ なら $\lvert\partial^\alpha(\rho_i/(2^iM_i))\rvert\le2^{-i}$ である。したがって、どの多重指数 $\alpha$ についても、偏微分した級数 $\sum_i\partial^\alpha(\rho_i/(2^iM_i))$ は（$i\ge\lvert\alpha\rvert$ の部分が $\sum2^{-i}$ で押さえられるので）$\mathbb{R}^n$ 上で一様収束する。これから $\phi$ は $C^\infty$ 級で、偏微分は項別にとれる。

$M$ の局所座標の族 $(V_\beta,\varphi_\beta)_{\beta\in B}$ で $M$ を覆うものをとる。$O_\beta:=\varphi_\beta(V_\beta\setminus A)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合なので、lem-bump-open-positive により $\{\phi_\beta>0\}=O_\beta$ となる $C^\infty$ 級関数 $\phi_\beta\colon\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ がある。$f_\beta:=\phi_\beta\circ\varphi_\beta$ は $V_\beta$ 上の $C^\infty$ 級関数で、$V_\beta\setminus A$ の上で正、$V_\beta\cap A$ の上で $0$ である。
開被覆 $(V_\beta)$ に従属する滑らかな 1 の分割 $(\rho_\beta)$ をとり、
$$ f:=\sum_{\beta\in B}\rho_\beta f_\beta $$
とおく。ここで $\rho_\beta f_\beta$ は $V_\beta$ の外で $0$ と延ばしたものであり、thm-bump-point の後半により $M$ 上の $C^\infty$ 級関数である。台の族は局所有限なので、$f$ は各点の近くで有限和であり、$C^\infty$ 級で $f\ge0$ である。
$x\in A$ なら、各 $\beta$ について $x\in V_\beta$ ならば $f_\beta(x)=0$、$x\notin V_\beta$ ならば $\rho_\beta(x)=0$ なので、$f(x)=0$ である。$x\notin A$ なら、$\sum_\beta\rho_\beta(x)=1$ よりある $\beta$ で $\rho_\beta(x)>0$ であり、そのとき $x\in\operatorname{supp}\rho_\beta\subset V_\beta$ なので $f_\beta(x)>0$、したがって $f(x)\ge\rho_\beta(x)f_\beta(x)>0$ である。よって $f^{-1}(0)=A$ である。$\square$

thm-bump-zero-set により、$f_A^{-1}(0)=A$、$f_B^{-1}(0)=B$ となる $C^\infty$ 級関数 $f_A,f_B\ge0$ をとる。$A\cap B=\emptyset$ なので $f_A+f_B>0$ であり、$f:=f_A/(f_A+f_B)$ は $C^\infty$ 級で値は $[0,1]$ に入る。$f(x)=0$ は $f_A(x)=0$、すなわち $x\in A$ と同値であり、$f(x)=1$ は $f_B(x)=0$、すなわち $x\in B$ と同値である。$\square$