反対豊穣圏

前提知識: 豊穣圏, モノイダル圏, 反対圏

通常の圏 $\mathcal C$ の反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は、射の向きを逆にし、合成の順序を入れ替えて作る。豊穣圏でも同じことをしたいが、Hom が集合ではなく基礎圏 $\mathcal V$ の対象なので、「合成の順序を入れ替える」ためには $\mathcal V$ のテンソル積 $X\otimes Y$ の因子を入れ替える射 $X\otimes Y\to Y\otimes X$ が要る。そこで基礎圏を対称モノイダル圏とし、その対称を使って合成を定めたものが反対豊穣圏である。
この記事では、反対豊穣圏の定義を述べ、それが実際に豊穣圏になること（結合律と単位律）を証明する。結合律の証明には、対称の整合条件から出る「組みひもの関係式」を使う。さらに、台の圏が通常の反対圏になること、豊穣関手と豊穣自然変換が反対豊穣圏へどう移るかを証明し、環・前順序・Lawvere 距離空間・2圏・次数付き代数の例と、対称の仮定を弱めると何が起きるかを反例で確かめる。反対豊穣圏は、豊穣前層 $\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$（前層(豊穣圏)）や Hom 関手を書くための基本の構成である。

定義

$(\mathcal V,\otimes,I)$ をモノイダル圏とし、左右の単位同型を $\lambda_X\colon I\otimes X\to X$、$\rho_X\colon X\otimes I\to X$ と書く。結合同型による括弧の付け替えは、モノイダル圏の整合性定理（Kel82 §1.1、p. 7）により省略して書く。この定理から特に $\lambda_I=\rho_I\colon I\otimes I\to I$ である。

1 と 2 から、もう一つの六角形の等式
$$ \tau_{X\otimes Y,Z}=(\tau_{X,Z}\otimes1_Y)\circ(1_X\otimes\tau_{Y,Z}) $$
が出る。実際、右辺は 2 を $\tau_{Z,X\otimes Y}=(1_X\otimes\tau_{Z,Y})(\tau_{Z,X}\otimes1_Y)$ に当てて逆を取り、1 で $\tau_{Z,X}^{-1}=\tau_{X,Z}$ と書き直したものである。同様に 1 と 3 から $\lambda_X\circ\tau_{X,I}=\rho_X$ が出る。以下、この 2 つの等式も 2'・3' として使う。
$\mathcal A$ を $\mathcal V$-豊穣圏とし、合成を $m_{x,y,z}\colon\mathcal A(y,z)\otimes\mathcal A(x,y)\to\mathcal A(x,z)$、単位を $j_x\colon I\to\mathcal A(x,x)$ と書く。結合律は $m(m\otimes1)=m(1\otimes m)$、単位律は $m(j_y\otimes1)=\lambda$、$m(1\otimes j_x)=\rho$ である。

$\mathcal A^{\mathrm{op}}(y,z)\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}(x,y)=\mathcal A(z,y)\otimes\mathcal A(y,x)$ の 2 つの因子は、$\mathcal A$ の中では「$z\to y$ の後に $y\to x$」の順に並ぶべきものである。$\mathcal A$ の合成 $m$ は「後の射」を左の因子に取るので、そのままでは合成できず、$\tau$ で入れ替えてから $m$ を当てる。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ では $\tau(g,f)=(f,g)$ なので、$m^{\mathrm{op}}(g,f)=f\circ g$ となり、通常の反対圏の合成そのものである。この定義は Kel82 §1.4、式 (1.19)（p. 12）による。Kelly はこれを双対（dual）の $\mathcal V$-圏とも呼ぶ。

主定理：反対豊穣圏は豊穣圏である

結合律の証明の核心は、対称の 3 つの入れ替えについての次の関係式である。

関係式の両辺は、3 つの因子の並びを $X,Y,Z$ から $Z,Y,X$ へ、隣り合う入れ替えを 3 回使って逆順にする 2 通りの方法である。対称群 $S_3$ で $s_1s_2s_1=s_2s_1s_2$（$s_1,s_2$ は隣り合う互換）にあたる。

結合律の証明で使ったのは、2 つの六角形の等式 2・2' と自然性だけである。2' は条件 1（$\tau^2=1$）を使って 2 から導いたが、2' を最初から仮定するなら条件 1 がなくても結合律の議論はそのまま通る。条件 1 が本当に効くのは、次節で見る「2 回反対にすると元に戻る」ことである。

台の圏と、関手・自然変換の移り方

豊穣圏 $\mathcal A$ の台の圏 $\mathcal A_0$ は、同じ対象をもち、射の集合を $\mathcal A_0(x,y)=\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,\mathcal A(x,y))$ とし、$f\colon I\to\mathcal A(x,y)$ と $g\colon I\to\mathcal A(y,z)$ の合成を $g\circ f=m\circ(g\otimes f)\circ\lambda_I^{-1}$ とする圏である（豊穣圏 の命題「台となる通常の圏」）。

2 から、$(-)^{\mathrm{op}}$ は豊穣圏・豊穣関手・豊穣自然変換のなす 2圏の上の操作として、1射（豊穣関手）の向きは保ち、2射（豊穣自然変換）の向きを逆にする。Kel82 §1.4（p. 12）はこれを、$(-)^{\mathrm{op}}$ が 2射を逆にし 1射は逆にしない対合であるとまとめ、テンソル積 $\mathcal A\otimes\mathcal B$ と $(\mathcal A\otimes\mathcal B)^{\mathrm{op}}=\mathcal A^{\mathrm{op}}\otimes\mathcal B^{\mathrm{op}}$ のように両立することも述べている（この記事では証明しない）。
豊穣関手 $\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal B$ を $\mathcal A$ から $\mathcal B$ への反変豊穣関手という。$\mathcal V$ が閉なら、$\mathcal A$ の各対象 $a$ は表現可能な反変関手 $\mathcal A(-,a)\colon\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ を定め、これらと共変な $\mathcal A(a,-)$ を合わせて 2 変数の Hom 関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}\colon\mathcal A^{\mathrm{op}}\otimes\mathcal A\to\mathcal V$ ができる（Kel82 §1.6、p. 15。この記事では証明しない）。豊穣前層はこの意味の反変関手 $\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ であり、$\mathcal A(-,a)$ が前層の公理を満たすことの直接の確かめは 前層(豊穣圏) の命題「表現可能前層」にある。

例

例えば $\mathbb R$ 上の $d(x,y)=\max(y-x,0)$ は Lawvere 距離であるが対称でない（豊穣圏 の例「対称でないLawvere距離」）。$d^{\mathrm{op}}(x,y)=\max(x-y,0)$ であり、恒等写像 $\mathcal A\to\mathcal A^{\mathrm{op}}$ は $d^{\mathrm{op}}(1,0)=1>0=d(1,0)$ なので距離を増やし、豊穣関手にならない。逆向きの恒等写像も、対 $(0,1)$ で同じく距離を増やす。

対称の仮定を弱めたとき

対称も組みひももない一般のモノイダル圏では、因子を入れ替える射がないので、反対豊穣圏を同じ形では定義できない。例えば非可換環 $R$ 上の両側加群の圏（テンソル積 $\otimes_R$）は対称をもたないモノイダル圏の典型である（Kel82 §1.1、p. 8）。

反例の表

関連項目

• 前提: 豊穣圏, モノイダル圏, 反対圏
• 使う場面: 前層(豊穣圏), 関手圏(豊穣圏), 米田の補題(豊穣圏)
• 比較: 2圏, 関手(豊穣圏), 自然変換(豊穣圏)
• 同じ便: laxコンマ圏, プロ関手