Bombieri–Vinogradovの定理
概要
Bombieri–Vinogradovの定理（Bombieri–Vinogradov theorem）とは、任意の $A>0$ について $B$ があり、$Q=x^{1/2}(\log x)^{-B}$ 以下の法 $q$ にわたって、算術級数の素数の個数の誤差の最大値 $\max_{y\le x}\max_{(a,q)=1}\lvert\psi(y;q,a)-y/\varphi(q)\rvert$ を足すと $O_A(x(\log x)^{-A})$ になるという定理である。一般化 Riemann 予想が個々の法に与える評価を法について平均した形で無条件に与えるので、平均的な一般化 Riemann 予想とよばれる。証明は大篩の不等式と Vaughan の恒等式による。Titchmarsh の約数問題や素数の差の研究に使われる。
前提知識: Siegel–Walfiszの定理, Dirichlet指標, Gauss和, von Mangoldt関数
Bombieri–Vinogradovの定理 は、算術級数の中の素数の個数の誤差を、法 $q$ について $\sqrt x$ の近くまで平均すると、一般化Riemann予想 から個々の法について出る評価と同じ大きさ（対数の冪を除いて）に収まることを、予想を仮定せずに述べる定理である。このため「平均的な一般化 Riemann 予想」とよばれる。名前は E. Bombieri と A. I. Vinogradov に由来し（Bom87 p. 57）、Bombieri の論文は 1965 年に出た（Mon78 p. 547 と文献表 p. 564）。
証明の中心は 大篩の不等式 である。これは三角多項式の値の 2 乗和を、よく離れた点の集合の上で評価する不等式で、指標の和に書き直すと、法と指標の全体にわたる平均を押さえる。この記事では、大篩の不等式とその乗法的な形を証明し、主定理については Vaughan の恒等式を使う証明の筋を述べる（長い部分は引用する）。応用として Titchmarsh の約数問題を証明し、素数の差への応用を述べる。
主張
$\psi(y;q,a)$、$\psi(y,\chi)$、$\theta(y;q,a)$ は Siegel–Walfiszの定理 と同じ記号とし、
$$
E(y;q,a):=\psi(y;q,a)-\frac{y}{\varphi(q)},\qquad E^*(x;q):=\max_{2\le y\le x}\ \max_{\gcd(a,q)=1}\lvert E(y;q,a)\rvert
$$
とおく。
任意の $A>0$ について $B=B(A)>0$ があって、$x\ge2$、$Q=x^{1/2}(\log x)^{-B}$ のとき
$$
\sum_{q\le Q}E^*(x;q)=O_A\bigl(x(\log x)^{-A}\bigr)
$$
である。$O$ の定数は計算できない（Bom87 Théorème 17、p. 57）。
この記事では証明の筋（節「証明の筋」）だけを述べ、完全な証明は Bom87 §7（pp. 57–64）による。$B$ はたとえば $24A+46$ にとれる（同 p. 57）。$\theta$ についての形では $B=2A+5$ にとれることが知られている（Gra15 p. 184）。$O$ の定数が計算できないのは、小さい法を Siegel–Walfiszの定理 で扱うからである。
平均的な一般化 Riemann 予想． 1 つの法についての自明な評価は $E^*(x;q)\ll x(\log x)/q$ 程度で、$q\le Q$ で足すと $x(\log x)^2$ になる（Gra15 p. 184）。一般化 Riemann 予想は、個々の法について次の評価を与える。
法 $q$ のすべての指標について 一般化Riemann予想 の主張が成り立つと仮定する。このとき $2\le q\le x$ について $E^*(x;q)=O\bigl(x^{1/2}(\log x)^2\bigr)$ である（$O$ の定数は絶対定数）。
要点：明示公式の零点がすべて $\operatorname{Re}\rho=\frac12$ にあるので、零点の和が $y^{1/2}(\log y)^2$ で押さえられる。
証明を開く
$q\le y\le x$ のとき、Siegel–Walfiszの定理 の命題「算術級数の明示公式」を $T=y$ で使う。仮定から零点はすべて $\beta=\frac12$ で、例外的な零点はない。同じ記事の補題「単位区間の中の零点の個数」と同じ数え方で $\sum_{\lvert\gamma\rvert\le y}\lvert y^\rho/\rho\rvert\ll y^{1/2}(\log y)^2$ なので、$\lvert\theta(y;q,a)-y/\varphi(q)\rvert\ll y^{1/2}(\log y)^2$ である。$y< q$ なら $\lvert\theta(y;q,a)\rvert\le\log y$ と $y/\varphi(q)\le q/\varphi(q)\ll\log q$ で足りる（$q/\varphi(q)=\sum_{d\mid q}\mu(d)^2/\varphi(d)\le\sum_{d\le q}1/\varphi(d)$ と lem-bv-phi）。$\psi$ と $\theta$ の差は von Mangoldt関数 の命題「$\psi$ と $\theta$ の差」で $\sqrt x(\log x)^2$ 以下である。$\square$
この評価を $q\le Q$ で足すと $\sum_{q\le Q}E^*(x;q)\ll Qx^{1/2}(\log x)^2$ で、$Q=x^{1/2}(\log x)^{-B}$ なら $x(\log x)^{2-B}$ になる。thm-bv-main は、同じ大きさの評価を、予想を使わずに法についての平均として与える。個々の法については、予想なしには Siegel–Walfiszの定理 の $q\le(\log x)^A$ の範囲しか知られていない。
任意の $A>0$ について $B'=B'(A)$ があって、$Q=x^{1/2}(\log x)^{-B'}$ のとき
$$
\sum_{q\le Q}\max_{\gcd(a,q)=1}\Bigl\lvert\pi(x;q,a)-\frac{\operatorname{li}(x)}{\varphi(q)}\Bigr\rvert=O_A\bigl(x(\log x)^{-A}\bigr)
$$
である。ここで $\pi(x;q,a)$ は $x$ 以下の素数 $p\equiv a\pmod q$ の個数、$\operatorname{li}$ は 対数積分 である。
要点：$\theta$ と $\psi$ の差は小さく、$\pi$ と $\operatorname{li}$ の差は $\theta$ の誤差の重み付きの積分で書ける。
証明を開く
$B'=\max\{B(A),A+2\}$ とする。$\theta$ と $\psi$ の差は $\sqrt x(\log x)^2$ 以下なので、$\theta$ についての誤差の最大値 $E_\theta^*(x;q)$ の和は $\sum_{q\le Q}E^*(x;q)+Q\sqrt x(\log x)^2=O(x(\log x)^{-A})$ である。部分和分 の定理「総和関数による積分公式」から
$$\pi(x;q,a)-\frac{\operatorname{li}(x)}{\varphi(q)}=\frac{\theta(x;q,a)-x/\varphi(q)}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t;q,a)-t/\varphi(q)}{t(\log t)^2}\,dt+\frac{\kappa}{\varphi(q)}$$
（$\kappa=2/\log2-\operatorname{li}(2)$）で、絶対値は $3E_\theta^*(x;q)+\lvert\kappa\rvert/\varphi(q)$ 以下である（$\int_2^\infty dt/(t\log^2t)=1/\log2$）。$\sum_{q\le Q}1/\varphi(q)=O(\log x)$（lem-bv-phi）を合わせればよい。$\square$
大篩の不等式
$e(\alpha):=e^{2\pi i\alpha}$、$\|\alpha\|$ を実数 $\alpha$ から最も近い整数までの距離とする。整数 $M$、正の整数 $N$、複素数 $a_n$（$M< n\le M+N$）について
$$
S(\alpha):=\sum_{M< n\le M+N}a_n\,e(n\alpha),\qquad \| a\|^2:=\sum_{M< n\le M+N}\lvert a_n\rvert^2
$$
とおく。$\int_0^1e((n-m)\alpha)\,d\alpha$ は $n=m$ で $1$、それ以外で $0$ なので $\int_0^1\lvert S(\alpha)\rvert^2d\alpha=\| a\|^2$ である。大篩の不等式は、この積分を、よく離れた点での値の和に替えても同じ程度の上界が成り立つことを述べる。
$\delta>0$、$f$ を区間 $I=[\alpha-\frac\delta2,\alpha+\frac\delta2]$ の上の複素数値の $C^1$ 級関数とすると
$$
\lvert f(\alpha)\rvert\le\frac1\delta\int_I\lvert f(t)\rvert\,dt+\frac12\int_I\lvert f'(t)\rvert\,dt
$$
である。
$u:=\alpha-\frac\delta2$、$v:=\alpha+\frac\delta2$ とおく。部分積分により
$$
\int_u^\alpha\frac{t-u}{\delta}f'(t)\,dt=\frac12f(\alpha)-\frac1\delta\int_u^\alpha f,\qquad \int_\alpha^v\frac{t-v}{\delta}f'(t)\,dt=\frac12f(\alpha)-\frac1\delta\int_\alpha^vf
$$
で、足すと $f(\alpha)=\frac1\delta\int_If+\int_Ik(t)f'(t)\,dt$、$\lvert k(t)\rvert\le\frac12$ である。$\square$
$0<\delta\le1$ とし、実数 $\alpha_1,\dots,\alpha_R$ は $r\ne s$ について $\|\alpha_r-\alpha_s\|\ge\delta$ をみたすとする。このとき
$$
\sum_{r=1}^R\lvert S(\alpha_r)\rvert^2\le(\pi N+\delta^{-1})\,\| a\|^2
$$
である。
$h:=M+\frac{N+1}2$、$S_0(\alpha):=e(-h\alpha)S(\alpha)=\sum_na_ne((n-h)\alpha)$ とおくと $\lvert S_0\rvert=\lvert S\rvert$ で、$\lvert S_0\rvert$ と $\lvert S_0'\rvert$ は周期 $1$ をもつ。lem-bv-gallagher を $f=S_0^2$、$\alpha=\alpha_r$ に当てる。$\lvert f'\rvert=2\lvert S_0\rvert\lvert S_0'\rvert$ である。区間 $I_r=[\alpha_r-\frac\delta2,\alpha_r+\frac\delta2]$ は、間隔の仮定から法 $1$ で互いに内部が交わらないので、$r$ について足すと、周期性と Cauchy–Schwarzの不等式 により
$$
\sum_r\lvert S(\alpha_r)\rvert^2\le\frac1\delta\int_0^1\lvert S_0\rvert^2+\int_0^1\lvert S_0\rvert\lvert S_0'\rvert\le\frac1\delta\| a\|^2+\| a\|\Bigl(\int_0^1\lvert S_0'\rvert^2\Bigr)^{1/2}
$$
となる。$S_0'(\alpha)=\sum_n2\pi i(n-h)a_ne((n-h)\alpha)$ で、$\lvert S_0'\rvert=\lvert\sum_n2\pi i(n-h)a_ne(n\alpha)\rvert$ だから $\int_0^1\lvert S_0'\rvert^2=4\pi^2\sum_n(n-h)^2\lvert a_n\rvert^2\le\pi^2(N-1)^2\| a\|^2$ である（$\lvert n-h\rvert\le\frac{N-1}2$）。よって右辺は $(\delta^{-1}+\pi(N-1))\| a\|^2$ 以下である。$\square$
定数は改良でき、Selberg は $\pi N+\delta^{-1}$ を $N-1+\delta^{-1}$ に替えた不等式を示した（Mon78 Theorem 3、p. 559）。この定数は等号が起こる例があり、それ以上は改良できない（同 p. 559）。数論への応用は、点を分母が $Q$ 以下の既約分数にとることから始まる。
$Q\ge1$ について
$$
\sum_{q\le Q}\ \sum_{a\in(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times}\lvert S(a/q)\rvert^2\le(\pi N+Q^2)\,\| a\|^2
$$
である。$a\in(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times$ は $0\le a< q$、$\gcd(a,q)=1$ をみたす $a$ を表す。
$a/q\ne a'/q'$（$q,q'\le Q$、既約、$0\le a< q$、$0\le a'< q'$）なら、整数 $m$ について $\frac aq-\frac{a'}{q'}-m=\frac{aq'-a'q-mqq'}{qq'}$ の分子は $0$ でない整数なので、$\|\frac aq-\frac{a'}{q'}\|\ge\frac1{qq'}\ge Q^{-2}$ である。thm-bv-large-sieve を $\delta=Q^{-2}$ で使えばよい。$\square$
$Q\ge1$ について
$$
\sum_{q\le Q}\frac{q}{\varphi(q)}\sum_{\chi\in\mathcal X^*(q)}\Bigl\lvert\sum_{M< n\le M+N}a_n\chi(n)\Bigr\rvert^2\le(\pi N+Q^2)\,\| a\|^2
$$
である。ここで $\mathcal X^*(q)$ は法 $q$ の原始指標の集合である（法 $1$ の指標も原始的とする）。
$\chi$ を法 $q$ の原始指標とする。$\overline\chi$ も原始的なので、Gauss和 の定理「原始指標のGauss和」により、すべての整数 $n$ で $\sum_{b\bmod q}\overline\chi(b)e(nb/q)=\chi(n)\tau(\overline\chi)$、$\lvert\tau(\overline\chi)\rvert^2=q$ である。$n$ について $a_n$ を掛けて足すと
$$
\tau(\overline\chi)\sum_na_n\chi(n)=\sum_{b\in(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times}\overline\chi(b)S(b/q)
$$
（$\gcd(b,q)>1$ なら $\overline\chi(b)=0$）である。法 $q$ のすべての指標にわたって足すと、Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」により $\sum_\chi\overline\chi(b)\chi(b')$ は $b\equiv b'$ で $\varphi(q)$、それ以外で $0$ なので
$$
q\sum_{\chi\in\mathcal X^*(q)}\Bigl\lvert\sum_na_n\chi(n)\Bigr\rvert^2\le\sum_{\chi\bmod q}\Bigl\lvert\sum_{b\in(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times}\overline\chi(b)S(b/q)\Bigr\rvert^2=\varphi(q)\sum_{b\in(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times}\lvert S(b/q)\rvert^2
$$
である。両辺を $\varphi(q)$ で割って $q\le Q$ で足し、cor-bv-farey を使う。$\square$
指標が完全乗法的なので、乗法的な大篩は 2 つの数列の Dirichlet 畳み込みの形の和（双線形形式）にそのまま使える。
複素数 $\xi_m$（$m$ は $M$ 個の連続する整数を動く）と $\eta_n$（$n$ は $N$ 個の連続する整数を動く）について
$$
\sum_{q\le Q}\frac{q}{\varphi(q)}\sum_{\chi\in\mathcal X^*(q)}\Bigl\lvert\sum_m\sum_n\xi_m\eta_n\chi(mn)\Bigr\rvert\le(\pi M+Q^2)^{1/2}(\pi N+Q^2)^{1/2}\|\xi\|\,\|\eta\|
$$
である。
$\chi(mn)=\chi(m)\chi(n)$ なので、内側の和は $\bigl(\sum_m\xi_m\chi(m)\bigr)\bigl(\sum_n\eta_n\chi(n)\bigr)$ である。$(q,\chi)$ にわたる和に重み $q/\varphi(q)$ 付きの Cauchy–Schwarzの不等式 を当て、2 つの因子それぞれに thm-bv-multiplicative を使う。$\square$
証明の筋
$\Lambda$ を双線形形式に分解するのが Vaughan の恒等式である。数論的関数 $f$ と $W\ge1$ について、$n\le W$ で $f(n)$、$n>W$ で $0$ をとる関数を $f_{\le W}$、$f_{>W}:=f-f_{\le W}$ とし、$*$ を Dirichlet積、$\mathbf 1$ を定数関数 $1$、$L(n):=\log n$ とする。
$U,V\ge1$ について
$$
\Lambda_{>V}=\mu_{\le U}*L-\mu_{\le U}*\Lambda_{\le V}*\mathbf 1+\mu_{>U}*\Lambda_{>V}*\mathbf 1
$$
である。とくに $n>V$ で $\Lambda(n)$ は右辺の 3 項の和である（Gra15 (7.1)、p. 204）。
$\Lambda*\mathbf 1=L$（von Mangoldt関数 の節「約数にわたる和と Möbius 関数による表示」）と $\mu*\mathbf 1=\delta$（$\delta(1)=1$、それ以外で $0$。Möbius関数 の定理「約数にわたる和」）を使う。$\Lambda_{>V}=\Lambda_{>V}*\mu*\mathbf 1=\mu_{\le U}*(\Lambda_{>V}*\mathbf 1)+\mu_{>U}*\Lambda_{>V}*\mathbf 1$ で、$\Lambda_{>V}*\mathbf 1=L-\Lambda_{\le V}*\mathbf 1$ を最初の項に代入すればよい（Dirichlet 積は結合的で可換である）。$\square$
主定理の証明は次の 4 段からなる。段 1・段 2 はこの記事で示し、段 3 は引用する。
段 1（原始指標への帰着）． 指標の直交関係から $E(y;q,a)$ は指標の和 $\frac1{\varphi(q)}\sum_\chi\overline\chi(a)\psi(y,\chi)$ から主項を引いたものになり、各指標を原始指標に取り替える誤差は小さい。
$2\le Q\le x$ のとき、絶対定数を除いて
$$
\sum_{q\le Q}E^*(x;q)\ll(\log x)\sum_{1< r\le Q}\frac1{\varphi(r)}\sum_{\chi\in\mathcal X^*(r)}\max_{2\le y\le x}\lvert\psi(y,\chi)\rvert+(\log x)\max_{2\le y\le x}\lvert\psi(y)-y\rvert+Q(\log x)^2
$$
である。
要点：法 $q$ の主指標でない指標は、$q$ の約数 $r>1$ を法とする原始指標からただ 1 つ誘導され、1 つの原始指標が現れる $q$ の和は $\log x/\varphi(r)$ 程度である。
証明を開く
$\gcd(a,q)=1$ なら Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」から $\psi(y;q,a)=\frac1{\varphi(q)}\sum_{\chi\bmod q}\overline\chi(a)\psi(y,\chi)$ である。$\chi$ が $\chi^*$ から誘導されるとき、$\psi(y,\chi)$ と $\psi(y,\chi^*)$ の差は $\gcd(n,q)>1$ の $n\le y$ の項だけで、絶対値は $\sum_{p\mid q}\sum_{p^k\le y}\log p\le\frac{\log q}{\log2}\log y$ 以下である。主指標では $\chi^*$ は法 $1$ で $\psi(y,\chi^*)=\psi(y)$ である。よって
$$E^*(x;q)\le\frac1{\varphi(q)}\Bigl(\max_y\lvert\psi(y)-y\rvert+\sum_{\chi\ne\chi_0}\max_y\lvert\psi(y,\chi^*)\rvert\Bigr)+\frac{2(\log x)^2}{\log2}.$$
$\chi\ne\chi_0$ の $\chi^*$ の法 $r$ は $1$ より大きく $q$ を割り切る。$q$ について足して、原始指標 $\chi^*$（法 $r$）ごとにまとめると、その係数は $\sum_{q\le Q,\ r\mid q}1/\varphi(q)\le\frac1{\varphi(r)}\sum_{k\le Q}\frac1{\varphi(k)}$ 以下である（$\varphi(rk)\ge\varphi(r)\varphi(k)$）。lem-bv-phi によりこれは $\log x/\varphi(r)$ の定数倍以下で、$\sum_{q\le Q}1/\varphi(q)$ も同じである。$\square$
段 2（小さい法）． $D>0$ を固定する。$1< r\le(\log x)^D$ の原始指標 $\chi$ について、$\sqrt x\le y\le x$ なら $r\le(\log y)^{D+1}$（$x$ が大きいとき）なので、Siegel–Walfiszの定理 の系「対数の冪の誤差と指標の和」の 2 から $\psi(y,\chi)\ll_Dx\exp(-c'\sqrt{\log x})$、$y<\sqrt x$ なら $\lvert\psi(y,\chi)\rvert\le\psi(y)\ll\sqrt x$ である。原始指標は法 $r$ に $\varphi(r)$ 個以下なので、lem-bv-reduction の和の $r\le(\log x)^D$ の部分は $(\log x)^{D+1}x\exp(-c'\sqrt{\log x})=O_{D,A}(x(\log x)^{-A})$ である。$\psi(y)-y$ の項も同じ定理（$q=1$）で押さえられ、最後の項は $Q(\log x)^2=x(\log x)^{2-B}$ である。
段 3（大きい法、引用）． 残るのは $(\log x)^D< r\le Q$ の部分で、$R< r\le2R$ の範囲ごとに $1/\varphi(r)\le(r/\varphi(r))/R$ として、乗法的な大篩を当てる。Vaughan の恒等式を $U=V$ で使うと、$\psi(y,\chi)$ は、短い和の上の係数で長い指標の和を重ねた 第 I 型の和 と、2 つとも長い数列の双線形形式である 第 II 型の和 に分かれる。それぞれの大きさは次のように見積もられる（$R\le Q$、対数の冪を除く）。
| 項 | 評価の道具 | $\frac1R\sum_{R< r\le2R}\frac r{\varphi(r)}\sum_{\chi\in\mathcal X^*(r)}$ をとった大きさ |
|---|---|---|
| 第 I 型 $\mu_{\le U}*L$、$\mu_{\le U}*\Lambda_{\le V}*\mathbf 1$ | $\bigl\lvert\sum_{m\le X}\chi(m)\bigr\rvert\le r$ | $R^2UV$ |
| 第 II 型 $\mu_{>U}*\Lambda_{>V}*\mathbf 1$ | prop-bv-bilinear（$m>U$、$n>V$、$mn\le y$） | $\dfrac xR+\dfrac x{\sqrt U}+Rx^{1/2}$ |
第 II 型では、条件 $mn\le y$ を外して prop-bv-bilinear の形にする処理（Perron の公式などによる）と $y$ についての最大値が必要で、ここで対数の冪が増える。$U=V$ を $\log x$ の十分大きい冪にとると、$R>(\log x)^D$ と $R\le x^{1/2}(\log x)^{-B}$ のもとで表のどの項も $x(\log x)^{-A}$ の程度に収まる。$x/R$ の項が小さい $R$ では大きすぎることが、段 2 で Siegel–Walfiszの定理 が要る理由であり、$Rx^{1/2}$ の項が $Q$ を $\sqrt x$ の手前で止める。この部分の完全な証明は長いので引用する。Bom87 §7 n°2（pp. 59–63）は、$\psi$ を重み $(\log(y/n))^k/k!$ 付きの和に替え、Dirichlet 級数の恒等式 $-\frac{L'}{L}=G_z(1-LM_z)+F_z(1-LM_z)-L'M_z$（$F_z$ と $G_z$ は $-L'/L$ の級数の $n\le z$ の部分と $n>z$ の部分、$M_z$ は $1/L$ の級数を $z$ で切ったもの）を、§5 の大篩の積分形で評価して、この段に当たる評価を示している。双線形形式の評価と Vaughan の恒等式から主定理を導く筋は Gra15 p. 206 に述べられており、同じ分解で各項を評価する手順は同 pp. 207–208 に（$U=V=x^{1/3}$ として、別の定理に使う形で）書かれている。
段 4（まとめ）． 段 2・段 3 を lem-bv-reduction に代入すれば thm-bv-main を得る。Bom87 は段 3 の重み付きの評価から元の $\psi$ に戻す手順を pp. 63–64 で述べている。
応用
Titchmarsh の約数問題
$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数（約数関数）とする。$p-1$ の約数の個数の平均を求める問題を Titchmarsh の約数問題という。
$K:=\prod_p\bigl(1+\frac1{p(p-1)}\bigr)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$ とおく。$y\ge1$ について $\sum_{d\le y}\frac d{\varphi(d)}\le Ky$、$\sum_{d\le y}\frac1{\varphi(d)}=K\log y+O(1)$ である。
要点：$d/\varphi(d)=\sum_{k\mid d}\mu(k)^2/\varphi(k)$ を代入して和の順序を替える。
証明を開く
両辺は乗法的で、$p^a$（$a\ge1$）では $\frac{p}{p-1}=1+\frac1{p-1}$ なので等式が成り立つ。$\sum_{d\le y}\frac d{\varphi(d)}=\sum_{k\le y}\frac{\mu(k)^2}{\varphi(k)}\lfloor y/k\rfloor\le y\sum_k\frac{\mu(k)^2}{k\varphi(k)}=Ky$ である（$K$ の積の形は Euler 積による。$\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}=\prod_p\frac{1+p^{-3}}{1-p^{-2}}=\prod_p\frac{p^2-p+1}{p(p-1)}$ で、Riemannゼータ関数 の定理「Euler 積」を使う）。同様に $\sum_{d\le y}\frac1{\varphi(d)}=\sum_{k\le y}\frac{\mu(k)^2}{k\varphi(k)}\sum_{m\le y/k}\frac1m=\sum_{k\le y}\frac{\mu(k)^2}{k\varphi(k)}\bigl(\log\frac yk+O(1)\bigr)$ で、$\sum_k\frac{\log k}{k\varphi(k)}$ は収束し、$\sum_{k>y}\frac1{k\varphi(k)}\le\frac{2K}y$（前半と部分和分）だから $K\log y+O(1)$ になる。$\square$
$x\to\infty$ のとき
$$
\sum_{p\le x}d(p-1)=Kx+O\Bigl(\frac{x\log\log x}{\log x}\Bigr),\qquad K=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}=1.9435\ldots
$$
である。
$d(m)=2\#\{e\mid m:e^2< m\}+[m\text{ は平方数}]$ から、$\sum_{p\le x}d(p-1)=2\sum_{e<\sqrt x}\bigl(\pi(x;e,1)-\pi(e^2+1;e,1)\bigr)+O(\sqrt x)$ である。$e\le D:=x^{1/2}(\log x)^{-B'}$（$B'=B'(2)$）では cor-bv-pi で $\pi(x;e,1)$ を $\operatorname{li}(x)/\varphi(e)$ に替え、残りの $e$ と $\pi(e^2+1;e,1)$ は Brun–Titchmarsh の不等式 $\pi(y;q,a)\ll y/(\varphi(q)\log(y/q))$（$y\ge2q$。Selbergの篩 の系「法と $x$ についての一様な形」、Mon78 p. 561）で上から押さえる。
証明を開く
$m=p-1$ の約数 $e$ と $m/e$ の組で、$e<\sqrt m$ の側を数えると最初の式になる。条件 $e^2< p-1$ は $p>e^2+1$ と同じで、$p\le x$ から $e<\sqrt x$ である。平方数の $p-1$ は $\sqrt x$ 個以下である。
主要部：cor-bv-pi の誤差の和は $O(x(\log x)^{-2})$ で、lem-bv-phi から $\operatorname{li}(x)\sum_{e\le D}\frac1{\varphi(e)}=\operatorname{li}(x)\bigl(\frac K2\log x-KB'\log\log x+O(1)\bigr)$ である。$\operatorname{li}(x)=\frac x{\log x}+O\bigl(\frac x{(\log x)^2}\bigr)$（対数積分 の定理「対数積分の漸近展開」）なので、これは $\frac K2x+O\bigl(\frac{x\log\log x}{\log x}\bigr)$ である。
$D< e<\sqrt x$：$x/e\ge\sqrt x$ なので $\pi(x;e,1)\ll\frac{x}{\varphi(e)\log x}$ で、lem-bv-phi から $\sum_{D< e<\sqrt x}\frac1{\varphi(e)}=O(\log\log x)$ なので、和は $O\bigl(\frac{x\log\log x}{\log x}\bigr)$ である。
$\pi(e^2+1;e,1)$：$e\ge2$ では $y=e^2$、$q=e$ で $\pi(e^2+1;e,1)\le1+\pi(e^2;e,1)\ll\frac{e^2}{\varphi(e)\log e}$ である。$x^{1/4}\le e<\sqrt x$ の部分は $\frac{\sqrt x}{\log x}\sum_{e<\sqrt x}\frac e{\varphi(e)}\ll\frac x{\log x}$（lem-bv-phi）、$e< x^{1/4}$ の部分は $\sum_{e< x^{1/4}}e\cdot\frac e{\varphi(e)}\ll\sqrt x$ である。
合わせて $\sum_{p\le x}d(p-1)=2\cdot\frac K2x+O\bigl(\frac{x\log\log x}{\log x}\bigr)$ である。$\square$
数値計算によると $\sum_{p\le x}d(p-1)/x$ は $x=10^4,10^5,10^6$ でそれぞれ $1.9069$、$1.9159$、$1.9268$ で、$K=1.9435\ldots$ にゆっくり近づく。誤差項の $\log\log x/\log x$ が $x=10^6$ でも $0.19$ 程度であることと合っている。
素数の差
$p_n$ を $n$ 番目の素数とする。素数定理から $p_{n+1}-p_n$ の平均は $\log p_n$ 程度である。Bombieri–Vinogradov の定理は、一般化 Riemann 予想の代わりに素数の差の問題に使われてきた（どれもこの記事では証明しない）。
- Bombieri と Davenport は 1966 年に、この定理を使って $c\ge\frac12$ なら $p_{n+1}-p_n< c\log p_n$ となる $n$ が無限にあることを示した（Gra15 p. 177）。
- Goldston–Pintz–Yıldırım はこの定理を主な道具として $\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)/\log p_n=0$ を示した。$Q=x^{\vartheta}$（$\vartheta<1$ は任意）まで同じ評価が成り立つという Elliott–Halberstam 予想を仮定すると、$p_{n+1}-p_n\le16$ となる $n$ が無限にあることも示される（Pol09 p. 109、予想の主張は Gra15 p. 184）。
- Maynard は、算術級数の素数分布について Bombieri–Vinogradov の定理を超える新しい結果を証明することなく、差が $600$ 以下の素数の組が無限にあることを示した（Gra15 pp. 171, 178–179）。双子素数予想 も参照。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $Q\le x^{1/2}(\log x)^{-B}$ | $Q=x$ | thm-bv-main の評価 |
| 最大値を $\gcd(a,q)=1$ の $a$ に限る | $a=q$ | thm-bv-main の評価 |
1 行目：$x/2< q\le x$ の素数 $q$ では、Siegel–Walfiszの定理 の例「反例の確かめ」の 2 行目と同じく $\psi(x;q,1)\le\log2$ で $x/\varphi(q)>1$ なので、$E^*(x;q)\ge1-\log2$ である。そのような素数は $x/\log x$ の定数倍以上ある（素数定理）ので、和は $x(\log x)^{-1}$ の定数倍以上で、$A>1$ の評価に反する。
2 行目：$\psi(x;q,q)\le\sum_{p\mid q}\sum_{p^k\le x}\log p\le(\log q)(\log x)/\log2$ なので、$\lvert E(x;q,q)\rvert\ge x/\varphi(q)-(\log x)^2/\log2$ である。$q\le Q$ で足すと lem-bv-phi から $x\log Q$ 程度になる。
- $\sqrt x$ の壁．$Q$ を $x^{1/2}$ より大きくとれるかどうか（Elliott–Halberstam 予想）は未解決で、$Q=x(\log x)^{-B}$ まではとれないことが知られている（Gra15 p. 184）。
- 最大値の取り方．$y$ についての最大値を外し $\theta$ で書いた形は Gra15 p. 184 にある。$y$ についての最大値を含む形のほうが、部分和分を通した応用（cor-bv-pi など）に使いやすい。
関連項目
- 前提: Siegel–Walfiszの定理, Dirichlet指標, Gauss和, von Mangoldt関数
- 比較: 一般化Riemann予想, 篩法, Selbergの篩
- 応用: 双子素数予想, 約数関数
- 関連: Dirichlet L関数, Dirichletの算術級数定理
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
