単連結空間(単体的集合)

要点：生成元を $\Gamma$ へ送る関手と、木に沿って基点へ戻る逆写像を作る。

幾何学的実現 の定理「幾何学的実現の CW 構造」により、$\lvert X\rvert$ は CW 複体で、$0$ 胞体は頂点、$1$ 胞体は非退化な辺 $f$（特性写像 $\iota_f$）、$2$ 胞体は非退化な $2$ 単体 $\sigma$（接着写像は $\iota_\sigma$ の境界への制限）である。$\iota_{\alpha^*x}=\iota_x\circ\lvert\alpha\rvert$ なので、$\iota_\sigma$ を辺 $e_0e_1$・$e_1e_2$・$e_0e_2$ に制限したものはそれぞれ $\iota_{d_2\sigma}$・$\iota_{d_0\sigma}$・$\iota_{d_1\sigma}$ であり、退化した辺 $s_0x$ の $\iota_{s_0x}$ は定値写像である。
1。 $c\in\pi_0X$ ごとに、頂点がすべて $c$ に入る単体の全体を $X_c$ とする。単体の頂点どうしはその単体の辺で結ばれるので、どの単体の頂点も一つの類に入り、$X_c$ は部分単体的集合で $X=\coprod_cX_c$ である。実現は非交和を保つ（幾何学的実現 の系「余極限の保存」）ので $\lvert X\rvert=\coprod_c\lvert X_c\rvert$ であり、各 $\lvert X_c\rvert$ は開かつ閉である。$\lvert X_c\rvert$ の点 $\iota_x(t)$ は $\lvert\Delta^n\rvert$ の線分の像で頂点 $\iota_x(e_0)$ と結ばれ、辺 $f$ で結ばれた頂点は道 $\iota_f$ で結ばれるので、$\lvert X_c\rvert$ は弧状連結である。よって $\lvert X\rvert$ の弧状連結成分は $\lvert X_c\rvert$ たちであり、1 が従う。
2。 $v$ を含む成分 $X_c$ に置き換えても両辺は変わらないので（$\Pi(X)$ は $\Pi(X_c)$ たちの非交和で、$\lvert X_c\rvert$ は開かつ閉）、$X$ は連結としてよい。極大木 $T$ をとる。$1$ 骨格 $\lvert X\rvert^{(1)}$ はグラフ $Q(X)$ の実現であり、$T$ の実現 $\lvert T\rvert$ は可縮（可縮空間 の例「木の例」）で、すべての頂点を含む。頂点 $w$ ごとに $\lvert T\rvert$ の中の $\lvert v\rvert$ から $\lvert w\rvert$ への道 $\tau'_w$ をとり（$\tau'_v$ は定値）、辺 $f$ ごとにループ
$$ g_f:=\tau'_{d_1f}\cdot\iota_f\cdot\overline{\tau'_{d_0f}} $$
を考える（$\cdot$ は道の連結、上線は逆向きの道）。$\lvert T\rvert$ は単連結なので $[g_f]$ は $\tau'$ の選び方によらず、$f$ が $T$ の辺なら $g_f$ は $\lvert T\rvert$ の中のループなので $[g_f]=1$、$f$ が退化なら $\iota_f$ が定値なので $[g_f]=1$ である。
Hat02 Proposition 1A.2 により、$\pi_1(\lvert X\rvert^{(1)},\lvert v\rvert)$ は、$T$ に入らない非退化な辺 $f$ の $[g_f]$ を基底とする自由群である。Hat02 Proposition 1.26 (a) により、$2$ 胞体を貼った $\lvert X\rvert^{(2)}$ の基本群は、これを $2$ 単体 $\sigma$ ごとのループ $\tau'_{x_0}\cdot\phi_\sigma\cdot\overline{\tau'_{x_0}}$ の生成する正規部分群で割った群である。ここで $x_0$ は $\sigma$ の頂点 $0$、$\phi_\sigma$ は境界を $e_0\to e_1\to e_2\to e_0$ とたどる接着写像のループ $\iota_{d_2\sigma}\cdot\iota_{d_0\sigma}\cdot\overline{\iota_{d_1\sigma}}$ である。あいだに $\overline{\tau'_{x_i}}\cdot\tau'_{x_i}$ を挟めば、このループの類は $[g_{d_2\sigma}][g_{d_0\sigma}][g_{d_1\sigma}]^{-1}$ に等しい。さらに Hat02 Proposition 1.26 (c) により $\pi_1(\lvert X\rvert^{(2)})\to\pi_1(\lvert X\rvert)$ は同型である。
以上から、$\langle f\rangle\mapsto[g_f]$ は lem-sscs-presentation の群 $\Gamma$ から $\pi_1(\lvert X\rvert,\lvert v\rvert)$ への同型を与える。補題の同型と合成すれば 2 を得る。ループである辺 $e$ については $\tau'_v$ が定値なので $g_e\simeq\iota_e$ である。最後の主張は 1 と 2 と単連結空間の定義による。$\square$

2 ⇒ 1。 頂点があるので $K$ は空でなく、辺の条件から連結である。まず、$\Pi(K)$ の任意の射 $x\to y$ は、ある辺 $f\colon x\to y$ の類 $[f]$ であることを示す。恒等射は $[s_0x]$ である。辺 $f\colon x\to y$ について、$d_2=f$、$d_1=s_0x$ で決まるホーン $\Lambda^2_0\to K$ を延ばした $2$ 単体 $\rho$ をとると、関係 $[f]\cdot[d_0\rho]=[s_0x]=\mathrm{id}_x$ から $[f]^{-1}=[d_0\rho]$ は辺の類である。辺 $f\colon x\to y$、$g\colon y\to z$ について、$d_2=f$、$d_0=g$ で決まるホーン $\Lambda^2_1\to K$ を延ばした $2$ 単体 $\rho'$ をとると $[f]\cdot[g]=[d_1\rho']$ である。射は生成元とその逆の積なので、積の長さについての帰納法で主張が従う。よって $\pi_1(K,v)$ の元は $d_0e=d_1e=v$ となる辺 $e$ の類 $[e]$ である。条件 2 の $\sigma$ の関係 $[e]\cdot[s_0v]=[s_0v]$ から $[e]=\mathrm{id}_v$ となり、$\pi_1(K,v)$ は自明である。
1 ⇒ 2。 $K$ は連結なので、Kan複体 の命題「Kan 複体の連結成分」により任意の二頂点は辺で結ばれる。$d_0e=d_1e=v$ となる辺 $e$ をとる。$[e]=\mathrm{id}_v$ なので、thm-sscs-realization の 2 により、ループ $\iota_e$ は $\lvert K\rvert$ の中で端点を固定して定値ループにホモトピックである。これは Kan–Quillenモデル構造 の定義「組合せ的に零・位相的に零」の意味で $1$ 単体 $e$ が位相的に零であることにほかならないので、同記事の命題「位相的に零なら組合せ的に零」により、$d_2\sigma=e$、$d_0\sigma=d_1\sigma=s_0v$ となる $2$ 単体 $\sigma$ がある。$\square$

$\operatorname{Sing}Y$ は Kan 複体で、その頂点は $Y$ の点、辺は道、連結成分は弧状連結成分である（Kan複体 の定理「特異単体的集合は Kan 複体である」とその後の説明）。thm-sscs-kan により、点 $y$ を基点とするループ $\gamma$（$\lvert\Delta^1\rvert$ からの写像とみる）がどれも、連続写像 $\sigma\colon\lvert\Delta^2\rvert\to Y$ で辺 $e_0e_1$ の上で $\gamma$、辺 $e_0e_2$・$e_1e_2$ の上で定値 $y$ となるものに延びることを示せばよく、これはループ $\gamma$ が端点を固定して定値ループにホモトピックであることと同値である。