淡中圏

$\operatorname{End}(\mathbf 1)$ は体なので $0\neq1$ であり、$\mathbf 1\neq0$ である。部分対象 $u\colon U\hookrightarrow\mathbf 1$ をとり、その余核を $p\colon\mathbf 1\to V$ とする。
段 1．任意の対象 $T$ について、$\mathrm{id}_T\otimes u\colon T\otimes U\to T\otimes\mathbf 1=T$ は単射（モノ射）である。$T\otimes-$ が完全だからである。
段 2．$V\otimes U=0$ である。双関手性から $(\mathrm{id}_V\otimes u)\circ(p\otimes\mathrm{id}_U)=p\otimes u=p\circ u=0$ である（$\mathbf 1\otimes U=U$、$V\otimes\mathbf 1=V$ と同一視した）。段 1 により $\mathrm{id}_V\otimes u$ は単射なので $p\otimes\mathrm{id}_U=0$ である。一方 $-\otimes U$ は完全なので $p\otimes\mathrm{id}_U\colon U\to V\otimes U$ は全射（エピ射）である。全射が $0$ なので $V\otimes U=0$ である。
段 3．$u\otimes\mathrm{id}_U\colon U\otimes U\to U$ は同型である。完全列 $0\to U\to\mathbf 1\to V\to0$ に $-\otimes U$ を施すと $0\to U\otimes U\to U\to V\otimes U\to0$ が完全であり、段 2 から従う。
段 4．$U$ の「直交補」。$u^{\mathrm t}:=(u\otimes\mathrm{id}_{U^\vee})\circ\mathrm{coev}_U\colon\mathbf 1\to U\otimes U^\vee\to U^\vee$ とおき、その核を $\iota\colon U^\perp\hookrightarrow\mathbf 1$ とする。対象 $X$ と部分対象 $j\colon T\hookrightarrow X$ について、次を示す。
$$ T\otimes U=0\iff j\ \text{は}\ \mathrm{id}_X\otimes\iota\colon X\otimes U^\perp\hookrightarrow X\ \text{を経由する}.\qquad(\ast) $$
テンソル圏の定理「双対の基本性質」の 1 により、$\Phi(h):=(h\otimes\mathrm{id}_{U^\vee})\circ(\mathrm{id}_T\otimes\mathrm{coev}_U)$ は全単射 $\operatorname{Hom}(T\otimes U,T)\to\operatorname{Hom}(T,T\otimes U^\vee)$ であり、$\Phi(0)=0$、$\Phi(\mathrm{id}_T\otimes u)=\mathrm{id}_T\otimes u^{\mathrm t}$ である。段 1 により $\mathrm{id}_T\otimes u$ は単射なので、それが $0$ であることは $T\otimes U=0$ と同値である。よって $T\otimes U=0\iff\mathrm{id}_T\otimes u^{\mathrm t}=0$ である。自然性から $(\mathrm{id}_X\otimes u^{\mathrm t})\circ j=(j\otimes\mathrm{id}_{U^\vee})\circ(\mathrm{id}_T\otimes u^{\mathrm t})$ であり、$j\otimes\mathrm{id}_{U^\vee}$ は単射なので、$\mathrm{id}_T\otimes u^{\mathrm t}=0\iff(\mathrm{id}_X\otimes u^{\mathrm t})\circ j=0$ である。後者は $j$ が $\mathrm{id}_X\otimes u^{\mathrm t}$ の核を経由することであり、$X\otimes-$ は完全なのでその核は $\mathrm{id}_X\otimes\iota$ である。
段 5．$(\ast)$ を $X=T=V$、$j=\mathrm{id}_V$ に使うと、段 2 により $\mathrm{id}_V$ は単射 $\mathrm{id}_V\otimes\iota\colon V\otimes U^\perp\to V$ を経由するので、この単射は全射でもあり、同型である。次に $X=U$、$T=U\otimes U^\perp$（$\mathrm{id}_U\otimes\iota$ による部分対象）に $(\ast)$ を使うと $(U\otimes U^\perp)\otimes U=0$ である。交換の制約と段 3 により $(U\otimes U^\perp)\otimes U\cong U^\perp\otimes(U\otimes U)\cong U^\perp\otimes U$ なので、$U^\perp\otimes U=0$ である。
段 6．$p\circ\iota\colon U^\perp\to V$ は同型である。完全列 $0\to U\to\mathbf 1\to V\to0$ に $U^\perp\otimes-$ を施し、段 5 の $U^\perp\otimes U=0$ を使うと、$\mathrm{id}_{U^\perp}\otimes p\colon U^\perp\to U^\perp\otimes V$ は同型である。交換の制約で移すと $p\otimes\mathrm{id}_{U^\perp}\colon U^\perp\to V\otimes U^\perp$ も同型である。双関手性から $p\circ\iota=p\otimes\iota=(\mathrm{id}_V\otimes\iota)\circ(p\otimes\mathrm{id}_{U^\perp})$ であり、段 5 によりこれは同型の合成である。
段 7．$e:=\iota\circ(p\circ\iota)^{-1}\circ p\in\operatorname{End}(\mathbf 1)$ とおくと $e\circ e=e$ であり、$p\circ e=p$ である。体の冪等元は $0$ か $1$ である。$e=1$ なら $p$ は単射（$e$ が $p$ を経由する）なので $U=\operatorname{Ker}p=0$ である。$e=0$ なら $p=p\circ e=0$ なので $V=0$ であり、$u$ は同型、すなわち $U=\mathbf 1$ である。$\square$

$f\colon X\to Y$ を $F(f)=0$ となる射とし、$f=0$ を示す。テンソル圏の定理「双対の基本性質」の 1 を $T=\mathbf 1$ で使うと、
$$ f^\flat:=(f\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})\circ\mathrm{coev}_X\colon\mathbf 1\to Y\otimes X^\vee $$
は $f$ に 1 対 1 に対応し、$f\neq0$ なら $f^\flat\neq0$ である。
$c$ の自然性から $F(f\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})=c_{Y,X^\vee}\circ(F(f)\otimes\mathrm{id}_{F(X^\vee)})\circ c_{X,X^\vee}^{-1}$ であり、$F(f)=0$ と $\otimes$ の加法性から右辺は $0$ である。よって $F(f^\flat)=F(f\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})\circ F(\mathrm{coev}_X)=0$ である。
$f\neq0$ と仮定する。$f^\flat\neq0$ なので $\operatorname{Ker}f^\flat\neq\mathbf 1$ であり、thm-tan-unit-simple により $\mathbf 1$ は単純なので $\operatorname{Ker}f^\flat=0$、すなわち $f^\flat$ は単射である。$F$ は完全なので $F(f^\flat)\colon F(\mathbf 1)\to F(Y\otimes X^\vee)$ も単射であり、$F(\mathbf 1)\cong\mathbf 1'\neq0$ なので $F(f^\flat)\neq0$ である。これは前段に矛盾する。よって $f=0$ である。$\square$

要点：$F(X^\vee)$ に $\mathrm{ev}'=\varepsilon^{-1}\circ F(\mathrm{ev}_X)\circ c_{X^\vee,X}$、$\mathrm{coev}'=c_{X,X^\vee}^{-1}\circ F(\mathrm{coev}_X)\circ\varepsilon$ を付けたものが $F(X)$ の双対であり、交換の制約との両立で $\beta$ が $F(\beta)$ に移る。

$\omega\colon\mathcal C\to\mathrm{Mod}_R$ を $0$ でない $K$ 代数 $R$ に値をとるファイバー関手とする。$R\neq0$ なので極大イデアル $\mathfrak m$ があり、$\kappa:=R/\mathfrak m$ は $K$ を含む体である。有限生成射影 $R$ 加群 $P$ に $P\otimes_R\kappa$ を対応させる関手は、テンソル積と交換を保ち、$R$ を $\kappa$ に写すので、有限生成射影 $R$ 加群の圏から $\mathrm{Vec}_\kappa$ へのテンソル関手である。$\omega$ と合成して、$K$ 線形なテンソル関手 $\omega_\kappa\colon\mathcal C\to\mathrm{Vec}_\kappa$ を得る。
prop-tan-trace を $\omega_\kappa$ に使うと、$\operatorname{rank}(\omega_\kappa(X))=\dim_\kappa\omega_\kappa(X)\cdot1_\kappa$ は $\operatorname{rank}(X)\in\operatorname{End}(\mathbf 1)=K$ の像である。ここで $\operatorname{End}(\mathbf 1)=K\to\operatorname{End}_\kappa(\kappa)=\kappa$ は $\omega_\kappa$ が誘導する単位的な $K$ 代数の準同型、すなわち体の埋め込み $K\subset\kappa$ である。$d:=\dim_\kappa\omega_\kappa(X)$ とおくと、$d\cdot1_K$ と $\operatorname{rank}(X)$ はどちらも $d\cdot1_\kappa$ に写り、埋め込みは単射なので $\operatorname{rank}(X)=d\cdot1_K$ である。中立の場合は $R=\kappa=K$ にとれて $d=\dim_K\omega(X)$ である。$\square$