Young図形

1 ⇒ 2：$(i,j)\in D(\lambda)$ なら $i\le\ell$、$j\le\lambda_i$ である。$i'\le i$ なら $\lambda_{i'}\ge\lambda_i\ge j\ge j'$ なので $(i',j')\in D(\lambda)$ である。
2 ⇒ 1：$\lambda_i:=\#\{j\mid(i,j)\in D\}$ とおく。2 により第 $i$ 行の箱は $(i,1),\dots,(i,\lambda_i)$ の形で左に詰まっている。$(i+1,j)\in D$ なら $(i,j)\in D$ なので $\lambda_{i+1}\le\lambda_i$ である。$D$ は有限なので、$\lambda_i>0$ となる $i$ は有限個で、それらは $1,\dots,\ell$ と続く。よって $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_\ell)$ は分割で、$D=D(\lambda)$ である。$\square$

1：形 $\lambda$ の標準盤 $T$ で $n$ が入る箱 $c$ を考える。$c$ の右や下に箱があれば、そこには $n$ より大きい数が入らなければならないが、そのような数はない。よって $c$ は角である。$T$ から $c$ を取り除くと、形 $\lambda\setminus c$ に $1,\dots,n-1$ を書き込んだ標準盤が得られる。逆に、角 $c$ と形 $\lambda\setminus c$ の標準盤が与えられたとき、$c$ に $n$ を書き込むと、$c$ の左と上の数はすべて $n$ より小さいので形 $\lambda$ の標準盤になる。二つの操作は互いに逆なので、形 $\lambda$ の標準盤の集合は、角 $c$ ごとの形 $\lambda\setminus c$ の標準盤の集合の非交和と一対一に対応する。
2：盤を対角線で折り返すと、行と列が入れ替わり、各行・各列が増加するという条件は保たれる。これは形 $\lambda$ の標準盤と形 $\lambda'$ の標準盤の一対一の対応である。$\square$

歩みの一歩は、行番号か列番号のどちらか一方だけを増やす。したがって $c$ で止まる歩みは、ある箱 $(a,b)$（$a\le\alpha$、$b\le\beta$）から出発し、通った箱の行番号の集合 $A$ と列番号の集合 $B$ は $a=\min A$、$\alpha=\max A$、$b=\min B$、$\beta=\max B$ を満たす。逆に $\{1,\dots,\alpha\}$ の部分集合 $A\ni\alpha$ と $\{1,\dots,\beta\}$ の部分集合 $B\ni\beta$ を与えると、$(\min A,\min B)$ は $c$ の左上にあるので $\lambda$ の箱である（prop-young-diagram-ideal）。そこから出発した歩みが、行の集合がちょうど $A$、列の集合がちょうど $B$ で $c$ に止まる確率を $q(A,B)$ とし、
$$ P(A,B):=\prod_{i\in A\setminus\{\alpha\}}\frac{1}{h(i,\beta)-1}\prod_{j\in B\setminus\{\beta\}}\frac{1}{h(\alpha,j)-1} $$
とおく。$q(A,B)=P(A,B)$ を $|A|+|B|$ についての帰納法で示す。
$|A|=|B|=1$ なら出発点は角 $c$ で、すぐ止まるので $q=1=P$ である。それ以外のとき、$a=\min A$、$b=\min B$ とすると $(a,b)\neq c$ であり、$a<\alpha$ なら $(a+1,b)$、$b<\beta$ なら $(a,b+1)$ が $c$ の左上にあって $\lambda$ に入るので、$(a,b)$ は角でない。行の集合が $A$、列の集合が $B$ であるためには、最初の一歩で $(a',b)$（$a'$ は $A\setminus\{a\}$ の最小元）か $(a,b')$（$b'$ は $B\setminus\{b\}$ の最小元）に移らなければならず、それぞれの確率は $1/(h(a,b)-1)$ である。よって
$$ q(A,B)=\frac{1}{h(a,b)-1}\Bigl(q(A\setminus\{a\},B)+q(A,B\setminus\{b\})\Bigr) $$
である。ただし $a=\alpha$ なら第 1 項は現れず、$b=\beta$ なら第 2 項は現れない。帰納法の仮定により、$a\neq\alpha$ なら $q(A\setminus\{a\},B)=P(A,B)\,(h(a,\beta)-1)$、$b\neq\beta$ なら $q(A,B\setminus\{b\})=P(A,B)\,(h(\alpha,b)-1)$ である。$a=\alpha$ のときは $h(a,\beta)-1=h(c)-1=0$ なので、現れない第 1 項を $P(A,B)(h(a,\beta)-1)$ と書いても同じであり、$b=\beta$ のときも同様である。したがって
$$ q(A,B)=P(A,B)\,\frac{(h(a,\beta)-1)+(h(\alpha,b)-1)}{h(a,b)-1} $$
となる。$c$ は角なので $\lambda_\alpha=\beta$、$\lambda'_\beta=\alpha$ であり、def-young-diagram-hook の式から
$$ (h(a,\beta)-1)+(h(\alpha,b)-1)=(\lambda_a-\beta+\alpha-a)+(\beta-b+\lambda'_b-\alpha)=\lambda_a-b+\lambda'_b-a=h(a,b)-1 $$
である。よって $q(A,B)=P(A,B)$ が示された。
出発点は確率 $1/n$ で選ばれるので、$c$ で止まる確率は $\frac1n\sum_{A,B}P(A,B)$ である。和は $\alpha\in A\subseteq\{1,\dots,\alpha\}$、$\beta\in B\subseteq\{1,\dots,\beta\}$ にわたり、これは主張の積を展開したものに等しい。$\square$

$n\ge1$ とし、角 $c=(\alpha,\beta)$ を取り除いたときの鉤の長さの変化を調べる。$c$ と同じ行にも同じ列にもない箱の鉤は変わらない。$j<\beta$ の箱 $(\alpha,j)$ の鉤は腕から $c$ を失い、長さが $1$ 減る。$i<\alpha$ の箱 $(i,\beta)$ の鉤は脚から $c$ を失い、長さが $1$ 減る。$h(c)=1$ なので
$$ \frac{F(\lambda\setminus c)}{F(\lambda)}=\frac{(n-1)!}{n!}\prod_{i=1}^{\alpha-1}\frac{h(i,\beta)}{h(i,\beta)-1}\prod_{j=1}^{\beta-1}\frac{h(\alpha,j)}{h(\alpha,j)-1} $$
であり、$\frac{h}{h-1}=1+\frac{1}{h-1}$ なので、これは lem-young-diagram-hook-walk の確率に等しい。鉤の歩みは必ずいずれかの角で止まるので、すべての角についての和は $1$ であり、$\sum_cF(\lambda\setminus c)=F(\lambda)$ を得る。$|\lambda|$ についての帰納法により、$f^\lambda=\sum_cf^{\lambda\setminus c}=\sum_cF(\lambda\setminus c)=F(\lambda)$ である。$\square$

$k\ge1$ について、Young 図形の最初の $k$ 列にある箱を行ごとに数えると $\lambda'_1+\cdots+\lambda'_k=\sum_i\min(\lambda_i,k)$ であり、$x^+:=\max(x,0)$ と書くと
$$ n-(\lambda'_1+\cdots+\lambda'_k)=\sum_i(\lambda_i-k)^+ $$
である（第 $k+1$ 列以降にはみ出す箱の個数）。$\lambda\trianglerighteq\mu$ とし、$m:=\#\{i\mid\mu_i>k\}$ とおく。$\mu$ は非増加なので
$$ \sum_i(\mu_i-k)^+=\sum_{i=1}^m\mu_i-mk\ \le\ \sum_{i=1}^m\lambda_i-mk=\sum_{i=1}^m(\lambda_i-k)\ \le\ \sum_{i=1}^m(\lambda_i-k)^+\ \le\ \sum_i(\lambda_i-k)^+ $$
である。上の式で書き直すと $\lambda'_1+\cdots+\lambda'_k\le\mu'_1+\cdots+\mu'_k$ がすべての $k$ で成り立ち、$\mu'\trianglerighteq\lambda'$ となる。逆に $\mu'\trianglerighteq\lambda'$ なら、いま示したことを $\mu',\lambda'$ に当てて $(\lambda')'\trianglerighteq(\mu')'$、すなわち $\lambda\trianglerighteq\mu$ を得る（分割数 の記事の命題「共役分割の性質」の 2）。$\square$

半標準盤では列が上から下へ狭義増加なので、第 $i$ 行の箱に書かれた数は、その上の $i-1$ 個の相異なる正の整数より大きく、$i$ 以上である。したがって $k$ 以下の数はすべて第 $1$ 行から第 $k$ 行までの箱に入り、その個数 $\mu_1+\cdots+\mu_k$ は、それらの行の箱の総数 $\lambda_1+\cdots+\lambda_k$ 以下である。$\square$