ブローアップ

1. $A[\mathfrak{m}t]$ は $A$ 上 $x_1t,\dots,x_nt$ で生成される次数 $1$ 生成の次数付き環なので、無関係イデアル（斉次イデアル）は $(x_1t,\dots,x_nt)$ であり、$\operatorname{Proj}$ は $D_+(x_it)$ で覆われる。$B_i:=A[\mathfrak{m}t]_{(x_it)}$ は局所化 $A[\mathfrak{m}t]_{x_it}$ の次数 $0$ の部分、すなわち $at^m/(x_it)^m$（$a\in\mathfrak{m}^m$）の形の元の全体である。$A[\mathfrak{m}t]\subset A[t]$ で、$A[t]_{x_it}$ の次数 $0$ の部分は $bt^m/(x_it)^m=b/x_i^m$ の全体、つまり $A_{x_i}$ なので、$B_i$ は $A_{x_i}$ の部分環である。$\mathfrak{m}^m$ は次数 $m$ の単項式 $x^\alpha$ で生成され、$x^\alpha/x_i^m=\prod_{j\ne i}w_j^{\alpha_j}$ なので、$B_i$ は $A_{x_i}$ の中で $A$ と $w_j$（$j\ne i$）が生成する部分環、すなわち $x_j=x_iw_j$ により $k$ 上 $x_i$ と $w_j$（$j\ne i$）が生成する部分環である。この $n$ 個の元は代数的に独立である。実際、$B_i$ は分数体 $k(x_1,\dots,x_n)$ に含まれ、$k(x_i,(w_j)_{j\ne i})$ は $x_j=x_iw_j$ を含むので $k(x_1,\dots,x_n)$ に等しく、その超越次数は $n$ である。超越次数 $n$ の体を生成する $n$ 個の元は代数的独立である（超越基底。生成系は超越基底を含むので、その濃度は超越次数 $n$ 以上であり、$n$ 個なら全体が超越基底になる）。したがって $k[X_i,(W_j)_{j\ne i}]\to B_i$、$X_i\mapsto x_i$、$W_j\mapsto w_j$ は同型で、$U_i\cong\mathbb{A}^n_k$ である。$\pi|_{U_i}$ が $A\to B_i$ の包含に対応することは $\operatorname{Proj}$ の構造射の定義そのものであり、$x_j=x_iw_j$ が主張の式である。
2. $B_i$ において $\mathfrak{m}B_i=(x_i,x_iw_j\ (j\ne i))=(x_i)$ なので、$E\cap U_i=V(x_i)=\operatorname{Spec}k[(w_j)_{j\ne i}]\cong\mathbb{A}^{n-1}_k$ である。$U_i\cap U_j=D_+(x_ix_jt^2)$ は $U_i$ の中では $x_jt/x_it=w_j$ が可逆な開集合 $D(w_j)$ である。$U_j$ の座標 $w^{(j)}_l=x_l/x_j$ は $U_i$ の座標で $w^{(j)}_l=w^{(i)}_l/w^{(i)}_j$（$w^{(i)}_i=1$ とおく）と書ける。$E$ に制限すると、これは $\mathbb{P}^{n-1}_k$ の開集合 $D_+(u_i)$ と $D_+(u_j)$ の座標 $u_l/u_i$ と $u_l/u_j$ の間の貼り合わせそのものである。よって $E\cong\mathbb{P}^{n-1}_k$ である。
3. 全射 $A[u_1,\dots,u_n]\to A[\mathfrak{m}t]$、$u_i\mapsto x_it$ により $\tilde{X}$ は $\mathbb{P}^{n-1}_A=\mathbb{A}^n_k\times\mathbb{P}^{n-1}_k$ の閉部分スキームである。開集合 $D_+(u_i)=\operatorname{Spec}A[(u_j/u_i)_{j\ne i}]$ の中で $\tilde{X}$ は、1 の同型のもとで、$A[(W_j)_{j\ne i}]\to B_i$、$W_j\mapsto w_j$ の核で定義される。$A[(W_j)_{j\ne i}]/(x_j-x_iW_j\ (j\ne i))$ は変数 $x_j$（$j\ne i$）を消去して $k[x_i,(W_j)_{j\ne i}]$ に同型であり、これは 1 により $B_i$ に同型なので、核は $(x_j-x_iW_j)_{j\ne i}$ である。$W_j=u_j/u_i$ を戻せば、$D_+(u_i)$ の中で $\tilde{X}$ は $x_ju_i=x_iu_j$（$j\ne i$）で定義され、他の関係式 $x_ju_l=x_lu_j$ は $u_i$ が可逆なところではこれらから従う。$D_+(u_i)$ が $\mathbb{P}^{n-1}_A$ を覆うので主張が従う。閉埋め込みは $A$ 上の射なので $\pi$ は第 1 成分への射影であり、滑らかさは 1 から、射影性は閉部分スキームであることから従う。$\square$

1. $X\setminus Y$ 上では $\mathcal{I}=\mathcal{O}_X$ なので Rees 代数は $\mathcal{O}_X[t]$ であり、$\operatorname{Proj}A[t]=D_+(t)=\operatorname{Spec}A[t]_{(t)}=\operatorname{Spec}A$ である。
2. $A[It]$ は次数 $1$ の元 $f_1t,\dots,f_rt$ で生成されるので $\tilde{X}$ は $D_+(f_it)$ で覆われる。$B_i:=A[It]_{(f_it)}$ とおく。$IB_i$ は $f_1,\dots,f_r$ で生成されるが、$f_j=f_i\cdot(f_jt)/(f_it)$ で $(f_jt)/(f_it)\in B_i$ なので $IB_i=f_iB_i$ である。$f_i$ が $B_i$ の非零因子（零因子）であることを示す。$b=at^m/(f_it)^m\in B_i$（$a\in I^m$）が $f_ib=0$ を満たすとすると、局所化の定義により $A[It]$ の中で $(f_it)^l\cdot f_iat^m=0$ となる $l\ge0$ がある。$A[It]\subset A[t]$ なので、これは $A$ の中で $f_i^{l+1}a=0$ を意味する。すると $(f_it)^{l+1}\cdot at^m=f_i^{l+1}at^{m+l+1}=0$ なので $b=0$ である。よって $\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\tilde{X}}$ は $D_+(f_it)$ 上で非零因子 $f_i$ が生成する自由 $\mathcal{O}$ 加群（自由加群）であり、可逆である。
   $\mathcal{O}_{\tilde{X}}(1)$ との同型：次数付き $A[It]$ 加群の写像 $A[It](1)\to A[It]$ を「$t$ で割る」写像 $at^{n+1}\mapsto at^n$（$a\in I^{n+1}$、次数 $n$ の部分 $I^{n+1}t^{n+1}$ から $I^{n+1}t^n\subset I^nt^n$ へ）で定める。$A[t]$ の中の写像なので単射で、像は次数 $n$ の部分が $I^{n+1}t^n=I\cdot I^nt^n$ である斉次イデアル $I\cdot A[It]$ である。$\operatorname{Proj}$ 上の層に移すと、単射 $\mathcal{O}_{\tilde{X}}(1)\to\mathcal{O}_{\tilde{X}}$ で、像は $D_+(f_it)$ 上で $(IA[It])_{(f_it)}=IB_i$（$a\in I^{n+1}$ に対する $at^n/(f_it)^n$ の全体は、$I$ の元と $B_i$ の元の積の和の全体に等しい）、すなわち $\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\tilde{X}}$ である。$\mathcal{O}_{\tilde{X}}(-E)$ は定義により $E$ のイデアル層なので最後の主張が従う。$\square$

$g$ の一意性が局所的に示せれば、局所的な $g$ は貼り合うので、$X=\operatorname{Spec}A$、$I=(f_1,\dots,f_r)$ としてよい。$\mathcal{L}:=f^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_Z\subset\mathcal{O}_Z$ とおく。$\mathcal{L}$ は $f_1,\dots,f_r$ の像 $s_1,\dots,s_r\in\Gamma(Z,\mathcal{L})$ で生成される可逆層なので、射影空間への射の普遍性（Har77 II Theorem 7.1）により、$A$ 上の射 $g'\colon Z\to\mathbb{P}^{r-1}_A=\operatorname{Proj}A[u_1,\dots,u_r]$ で $g'^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{L}$、$u_i\mapsto s_i$ となるものがただ一つある。$J$ を全射 $A[u_1,\dots,u_r]\to A[It]$、$u_i\mapsto f_it$ の核とすると $\tilde{X}=V_+(J)$ である。
$g'$ が $V_+(J)$ を経由することを示す。$J$ の次数 $d$ の斉次元 $F$ をとる。$F(f_1t,\dots,f_rt)=F(f_1,\dots,f_r)t^d=0$ なので $F(f_1,\dots,f_r)=0$ が $A$ で成り立つ。$Z$ の開集合 $W$ で $\mathcal{L}|_W$ が 1 つの元 $\gamma\in\mathcal{O}(W)$ で生成されるものをとる。$\mathcal{O}_W\to\mathcal{L}|_W$、$a\mapsto a\gamma$ が同型なので $\gamma$ は非零因子である。$s_i|_W=a_i\gamma$（$a_i\in\mathcal{O}(W)$）と書くと、$\mathcal{L}^{\otimes d}|_W$ の切断 $F(s_1,\dots,s_r)$ は $F(a_1,\dots,a_r)\gamma^{\otimes d}$ であり、$F(a_1,\dots,a_r)\gamma^d=F(a_1\gamma,\dots,a_r\gamma)=F(f_1,\dots,f_r)|_W=0$ と $\gamma^d$ が非零因子であることから $F(a_1,\dots,a_r)=0$、すなわち $F(s_1,\dots,s_r)=0$ である。$g'^{-1}(D_+(u_i))$ は $s_i$ が $\mathcal{L}$ を生成する開集合 $Z_{s_i}$ であり、その上で $D_+(u_i)$ の関数 $F/u_i^d$ の引き戻しは $F(s_1,\dots,s_r)/s_i^d=0$ である。$V_+(J)\cap D_+(u_i)$ は $F/u_i^d$（$F\in J$ 斉次）で定義されるので、$g'|_{Z_{s_i}}$ は $V_+(J)\cap D_+(u_i)$ を経由し、これらは貼り合って $g\colon Z\to\tilde{X}$ を与える。$\pi\circ g=f$ は $g'$ が $A$ 上の射であることによる。
一意性：$g\colon Z\to\tilde{X}$ を $\pi\circ g=f$ なる任意の射とする。prop-blow-up-exceptional により $\mathcal{O}_{\tilde{X}}(1)\cong\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\tilde{X}}$ で、$u_i$ の像 $f_it$ は $f_i$ に対応する。引き戻しの全射 $g^*(\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\tilde{X}})\to\mathcal{L}$ は可逆層の間の全射なので同型であり（局所的に $\mathcal{O}\to\mathcal{O}$ の全射で $1$ の像が単元）、$g^*\mathcal{O}_{\tilde{X}}(1)\cong\mathcal{L}$、$u_i\mapsto s_i$ である。よって合成 $Z\to\tilde{X}\subset\mathbb{P}^{r-1}_A$ は $(\mathcal{L};s_1,\dots,s_r)$ が定める射 $g'$ に等しく、閉埋め込みは単射なので $g$ は一意である。$\square$

$\mathrm{id}_X$ は thm-blow-up-universal の仮定を満たすので、$\pi\circ g=\mathrm{id}_X$ となる $g\colon X\to\tilde{X}$ がある。すると $g\circ\pi\colon\tilde{X}\to\tilde{X}$ は $\pi\circ(g\circ\pi)=\pi$ を満たし、$\mathrm{id}_{\tilde{X}}$ も同じ式を満たす。$\pi$ 自身は $\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\tilde{X}}$ が可逆なので普遍性の仮定を満たし、一意性により $g\circ\pi=\mathrm{id}_{\tilde{X}}$ である。$\square$

$X$ が整で $\mathcal{I}\ne0$ なので、空でない任意のアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ 上で $I=\mathcal{I}(U)\ne0$ である（$\mathcal{I}|_V=0$ となる空でない開集合 $V$ があれば、制限 $\mathcal{O}(U)\to\mathcal{O}(U\cap V)$ が単射なので $\mathcal{I}(U)=0$ となり、$\mathcal{I}=0$ になる）。$A[It]\subset A[t]$ は整域だから、$0\ne f\in I$ に対し $D_+(ft)=\operatorname{Spec}A[It]_{(ft)}$ は空でない整スキームであり、2 つのそのような開集合の共通部分 $D_+(fgt^2)$ も空でない。空でない整な開集合で覆われ、どの 2 つも交わるスキームは整なので $\pi^{-1}(U)$ は整であり、$\pi^{-1}(U)$ たちも prop-blow-up-exceptional の 1 により $(U\cap U')\setminus Y\ne\emptyset$ の上で交わるので $\tilde{X}$ は整である。$Y\ne X$（$I$ の $0$ でない元は冪零元でない）なので $X\setminus Y$ は空でない開集合、したがって稠密であり、$\pi$ はその上で同型だから双有理である。固有性は $X$ 上局所的な性質で、$\pi^{-1}(U)$ が $\mathbb{P}^{r-1}_U$ の閉部分スキームなので成り立つ。準射影性・射影性は Har77 II §7 による。$\square$

要点：$Y=\{z=0\}=\{z'=0\}$ となる 2 つの適合座標の間では $z'=A(z,t)\,z$ と正則な行列 $A$ で書け、座標変換は $(z,t,[\xi])\mapsto(z',t',[A\xi])$ という周りの空間の双正則写像の制限になる。

要点：標準切断の微分が $N_{E/\tilde X}\cong\mathcal O(E)|_E$ を与え、$d\pi$ が $N_{E/\tilde X}$ をトートロジカル束へ写す。

$n$ 形式の引き戻し $\pi^*\colon\pi^*K_X\to K_{\tilde X}$ を局所的に計算する。$M_U\cap\{\xi_j\ne0\}$ の座標を $w=(w_1,\dots,w_n)$（$w_j=v$、$w_i=a_i$（$i\le c$、$i\ne j$）、$w_{c+k}=t_k$）とすると、$dz_j=dv$、$dz_i=v\,da_i+a_i\,dv$（$i\ne j$）であり、外積をとると $dv$ を 2 つ含む項は消えるので
$$ \pi^*(dz_1\wedge\cdots\wedge dz_c\wedge dt_1\wedge\cdots\wedge dt_{n-c})=v^{c-1}\,dw_1\wedge\cdots\wedge dw_n $$
である。よって $\pi^*\colon\pi^*K_X\to K_{\tilde X}$ は正則な直線束の写像で、零点の因子は $(c-1)E$ である。標準切断 $s_E$ を使うと、$s_E^{-(c-1)}\pi^*$ は $E$ の外で定義された $\pi^*K_X\to K_{\tilde X}\otimes\mathcal O(-(c-1)E)$ の同型で、局所的には $\pi^*(dz\wedge dt)\mapsto dw_1\wedge\cdots\wedge dw_n\otimes e^{-(c-1)}$（$s_E=v\,e$）と書けるので、$E$ を越えて正則な同型に延びる。両辺に $\mathcal O((c-1)E)$ を掛ければよい。$\square$

要点：$\mathcal O(-E)$ に、$E$ の各ファイバー $\mathbb P^{c-1}$ の上で Fubini–Study 型の正の曲率をもつ計量を入れる。$\pi^*L$ の曲率は半正で、退化する方向はちょうどそのファイバーの方向なので、$k$ を大きくすれば和が正になる。