岩澤主予想

前提知識: 岩澤理論, p進L関数, 円分体, 正則素数

岩澤主予想 は、円分体の塔 $\mathbb Q(\zeta_p)\subset\mathbb Q(\zeta_{p^2})\subset\cdots$ の類群から作られる岩澤加群の特性多項式が、久保田富雄（Tomio Kubota）と H.-W. Leopoldt の p進L関数 を表す冪級数と同じイデアルを生成する、という主張である。左辺は類数という代数的な量を、右辺は Bernoulli 数すなわちゼータ関数の値という解析的な量を記述するので、主予想は両者を $p$ 進的に結ぶ橋である。岩澤健吉（Kenkichi Iwasawa）が 1960 年代に定式化し、有限体上の曲線のゼータ関数を Frobenius の作用の特性多項式で表す Weil の定理の類似として動機づけた（Gre01 pp. 353–356、Was82 pp. 296–297）。円分体の場合は Mazur と Wiles が証明し（論文の刊行は 1984 年）、現在は定理である（Gre01 p. 355、p. 367）。
この記事では、主予想の主張に必要な対象（$\Delta$ 成分、特性多項式、解析的な冪級数）を定義し、冪級数の一意性、「割り切れることと不変量の和の一致から等号が出る」という代数的な補題、正則素数では主予想が成り立つことを証明する。Mazur–Wiles の定理とその一般化は、主張と所在を述べる。

設定

岩澤加群の $\Delta$ 成分

$p$ を奇素数、$F:=\mathbb Q(\zeta_p)$、$F_\infty:=\mathbb Q(\mu_{p^\infty})$ とする。岩澤理論 の定理「円分 $\mathbb{Z}_p$ 拡大」により $\operatorname{Gal}(F_\infty/\mathbb Q)\cong\mathbb Z_p^\times=\mu_{p-1}\times(1+p\mathbb Z_p)$ であり、これに応じて
$$ \operatorname{Gal}(F_\infty/\mathbb Q)=\Delta\times\Gamma,\qquad\Delta\cong\operatorname{Gal}(F/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times,\qquad\Gamma=\operatorname{Gal}(F_\infty/F)\cong1+p\mathbb Z_p $$
と分かれる。$\kappa\colon\Gamma\to1+p\mathbb Z_p$ を、$\zeta\in\mu_{p^\infty}$ について $\gamma(\zeta)=\zeta^{\kappa(\gamma)}$ となる同型とし、位相的な生成元 $\gamma_0\in\Gamma$ を固定する。$\Lambda:=\mathbb Z_p[\![T]\!]$ を岩澤代数とし、$\gamma_0$ を $1+T$ に対応させる（岩澤理論 の定理「$\Lambda$ と群環の射影極限」）。
$L_\infty$ を $F_\infty$ の各層の最大不分岐アーベル $p$ 拡大の合併とし、$X:=\operatorname{Gal}(L_\infty/F_\infty)$ を岩澤加群とする。$X$ は有限生成な捩れ $\Lambda$ 加群である（岩澤理論 の注意「構造定理の所在と不変量」）。$\operatorname{Gal}(F_\infty/\mathbb Q)$ は可換で、$L_\infty/\mathbb Q$ は Galois 拡大なので、$\Delta$ は内部自己同型で $X$ に作用し、その作用は $\Gamma$ の作用と可換である。$\omega\colon\Delta\to\mathbb Z_p^\times$ を Teichmüller 指標（$\delta(\zeta_p)=\zeta_p^{\omega(\delta)}$）とする。$p-1$ は $\mathbb Z_p$ で可逆なので
$$ e_k:=\frac1{p-1}\sum_{\delta\in\Delta}\omega(\delta)^{-k}\delta\in\mathbb Z_p[\Delta]\qquad(k\in\mathbb Z/(p-1)\mathbb Z) $$
が定まり、指標の直交関係から $e_k$ は互いに直交する冪等元で $\sum_ke_k=1$ である。よって
$$ X=\bigoplus_{k=0}^{p-2}X^{\omega^k},\qquad X^{\omega^k}:=e_kX=\{x\in X\mid\delta x=\omega(\delta)^kx\ (\delta\in\Delta)\} $$
であり（Gre01 p. 344）、各 $X^{\omega^k}$ は $X$ の直和因子として有限生成な捩れ $\Lambda$ 加群である。

$\lambda$ 不変量と $\mu$ 不変量

$\mathbb Z_p$ 係数の多項式 $P(T)=T^d+a_{d-1}T^{d-1}+\dots+a_0$ で $a_0,\dots,a_{d-1}\in p\mathbb Z_p$ となるものを distinguished 多項式という。

$\mu(h):=\mu$、$\lambda(h):=\deg P$ とおき、$h$ の $\mu$ 不変量・$\lambda$ 不変量 という。特性多項式 $f_X$ では、これは 岩澤理論 の $\mu(X)$、$\lambda(X)$ に一致する。

3 は Was82 Corollary 7.4（p. 116）と同じ議論である。

解析的な側

奇数 $i$（$3\le i\le p-2$）に対し、$i+j\equiv1\pmod{p-1}$、$2\le j\le p-3$ となる偶数 $j$ をとる。$L_p(s,\omega^j)$ は p進L関数 の定理「$p$ 進 $L$ 関数の存在と一意性」の関数で、$m\equiv j\pmod{p-1}$ をみたす整数 $m\ge1$ について $L_p(1-m,\omega^j)=(1-p^{m-1})\zeta(1-m)$ である。

$\kappa(\gamma_0)^s$ は p進数体 の定理「$1$ に近い単元の群の構造」の $p$ 進的な冪であり、$\kappa(\gamma_0)^s-1\in p\mathbb Z_p$ なので左辺は収束する。

2 は Gre01 p. 354 の「$g_i(0)=-B_{1,\omega^{-i}}$」である。

主予想と Mazur–Wiles の定理

これは Gre01 Conjecture 4.4（p. 356）の形であり、岩澤理論 の予想「岩澤主予想（円分体の場合）」と同じ主張である。

• $i=1$ を除くのは、$j=0$ では $L_p(s,\omega^0)=L_p(s,1)$ が $s=1$ に極をもつからである。一方、類群の $\omega$ 成分は $0$ である（Lan90 の Rubin による付録 §8 の注意、p. 416）。
• 文献によって、$\Lambda$ の変数の取り方（$\gamma_0$ を $1+T$ と $(1+T)^{-1}$ のどちらに対応させるか）や、Galois 群の作用を双対に移すかどうかが異なり、主予想は対応して少し違う式で述べられる。たとえば Was82 pp. 295–296 は $e_iX$ と、$f((1+p)^s-1,\omega^{1-i})=L_p(s,\omega^{1-i})$ をみたす冪級数で述べ、Lan90 の付録 Theorem 8.4（p. 416）は類群の射影極限の特性イデアルを、$\mu_{p^\infty}$ への作用でねじった冪級数で表している。この記事は Gre01 の規約に従う。

円分体の場合、2 の等式は岩澤が示している：$i$ を $3\le i\le p-2$ の奇数全体にわたらせると、$\sum_i\lambda(f_i)=\sum_i\lambda(g_i)$、$\sum_i\mu(f_i)=\sum_i\mu(g_i)$ である（Gre01 Proposition 4.2、p. 354。$F_n$ の相対類数を一般化 Bernoulli 数で表す解析的類数公式から導かれる）。したがって、Mazur–Wiles の割り切れること $g_i\mid f_i$ と lem-imc-divisibility から thm-imc-mazur-wiles が従う。逆向きの割り切れること $f_i\mid g_i$ を示しても同じく等号が出る。

例

この定理では Mazur–Wiles の定理を使っていない。正則素数では両辺がどちらも自明になる。

主予想の帰結として、$F$ の類群の $p$ 部分 $A$ の成分について $|A^{\omega^i}|$ が $B_{1,\omega^{-i}}$ の $p$ 部分に等しいことも得られる（Was82 p. 299。Mazur–Wiles の定理の、有限層での Fitting イデアルについての主張から従う）。これは Herbrand–Ribetの定理 の「$A^{\omega^i}\neq0\iff p\mid B_{p-i}$」を位数の等式に強めたものである。

反例

lem-imc-divisibility の 2 つの仮定は、どちらも外せない。

一般化

以下はこの記事では証明しない。

• アーベル体：$\mathbb Q$ の任意の有限次アーベル拡大と奇指標についての類似の主予想も、Mazur と Wiles が証明した（Gre01 p. 358、p. 367）。
• 総実体：総実代数体のアーベル指標についての主予想は、Deligne–Ribet と Barsky・Cassou-Noguès が構成した $p$ 進 $L$ 関数を用いて定式化され、Wiles が Hilbert モジュラー形式の Galois 表現を用いて証明した（Gre01 p. 359）。
• 楕円曲線：$p$ で良い通常還元をもつ楕円曲線について、Selmer群 の岩澤加群と楕円曲線の $p$ 進 $L$ 関数を結ぶ主予想が定式化されている（Gre01 §5）。

関連項目

• 前提: 岩澤理論, p進L関数, 円分体, 正則素数
• 比較: Herbrand–Ribetの定理, Vandiver予想, Stickelbergerの定理, Kummerの合同式
• 発展: Leopoldt予想, Selmer群