単純環

1 ⇒ 2：$a\neq0$ なら $RaR$ は $a=1\cdot a\cdot1$ を含む $0$ でない両側イデアルなので、単純性により $RaR=R\ni1$ である。
2 ⇒ 1：$I$ を $0$ でない両側イデアルとし、$0\neq a\in I$ をとる。2 の $x_i,y_i$ について $1=\sum_ix_iay_i\in I$ なので、任意の $r\in R$ について $r=r\cdot1\in I$ となり、$I=R$ である。
1 ⇒ 3：$\ker f$ は $R$ の両側イデアルである。$f(1)=1\neq0$（$S$ は零環でない）なので $1\notin\ker f$、すなわち $\ker f\neq R$ であり、単純性により $\ker f=0$ である。
3 ⇒ 1：$I$ を $R$ と異なる両側イデアルとする。商環 $R/I$ は零環でなく、商写像 $R\to R/I$ は環準同型なので、3 により単射である。その核は $I$ なので $I=0$ である。

$R$ は零環でないので $Z(R)$ でも $1\neq0$ である。$0\neq c\in Z(R)$ をとる。$c$ はすべての元と交換するので、$RcR=Rc=cR$ であり、これは $c$ を含む $0$ でない両側イデアルである。単純性により $Rc=R$ かつ $cR=R$ なので、$dc=1$、$cd'=1$ となる $d,d'\in R$ がある。$d=d(cd')=(dc)d'=d'$ なので $d$ は $c$ の両側の逆元である。
$d\in Z(R)$ を示す。任意の $x\in R$ について、$c$ が $x$ と交換することから
$$ dx=dx(cd)=d(xc)d=d(cx)d=(dc)xd=xd $$
である。よって $c$ は $Z(R)$ の中に逆元をもち、$Z(R)$ は体である。$R$ が可換なら $Z(R)=R$ なので、$R$ は体である。

要点：和が直和になる部分族を包含について極大にとると、残りの各 $S_i$ は単純なので、その直和と $0$ で交わるか、その直和に含まれるかのどちらかであり、前者は極大性に反する。

要点：1 は $\varphi(x)=x\varphi(1)$ から、2 は成分 $\pi_if\iota_j$ への分解と $\sum_k\iota_k\pi_k=\mathrm{id}$ から、3 は転置の成分の比較から従う。

2 ⇒ 1：$R\neq0$ なので $0$ でない左イデアルは存在する。極小なものがないと仮定すると、$0$ でない左イデアル $I_1$ に対して、それに真に含まれる $0$ でない左イデアル $I_2$ がとれ、これを繰り返して（従属選択の公理を使う）真の減少列 $I_1\supsetneq I_2\supsetneq\cdots$ が得られ、2 に反する。
1 ⇒ 3：$L$ を極小左イデアルとする。$LR$（有限和 $\sum_il_ir_i$ の全体）は両側イデアルである。実際、右から $R$ を掛けても閉じており、$RL\subset L$ なので左から $R$ を掛けても閉じている。$L=L\cdot1\subset LR$ かつ $L\neq0$ なので、単純性により $LR=R$ であり、
$$ 1=\sum_{i=1}^ml_ir_i\qquad(l_i\in L,\ r_i\in R) $$
と書ける。任意の $x\in R$ について $x=\sum_i(xl_i)r_i$ であり、$xl_i\in L$ なので、$R=Lr_1+\cdots+Lr_m$ となる。写像 $\rho_{r_i}\colon L\to R$、$y\mapsto yr_i$ は左 $R$ 線形であり、その核は単純加群 $L$ の部分加群なので $0$ か $L$ である。したがって $Lr_i$ は $0$ であるか、$L$ と同型な単純加群である。$0$ になるものを除いて lem-simple-ring-direct-sum を当てると、左 $R$ 加群として $R=\bigoplus_{j\in J}Lr_j\cong L^n$（$n=|J|$）となり、$R\neq0$ なので $n\ge1$ である。
$E=\operatorname{End}_R(L)$ は、単純加群 の記事の定理「Schur の補題」により斜体である。lem-simple-ring-endomorphisms の 1 と 2 から
$$ R^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}_R({}_RR)\cong\operatorname{End}_R(L^n)\cong M_n(E) $$
であり、両辺の反対環をとって同じ補題の 3 を使うと $R\cong M_n(E)^{\mathrm{op}}\cong M_n(E^{\mathrm{op}})$ となる。$D=E^{\mathrm{op}}$ は斜体なので 3 が成り立つ。
3 ⇒ 2：$S=M_n(D)$ が左 Artin 環であることを示せばよい。$d\in D$ に対するスカラー行列 $dI$ を左から掛ける操作により、$S$ は左 $D$ ベクトル空間になり、行列単位 $E_{ij}$（$n^2$ 個）がその基底である。$S$ の左イデアルは $dI$ を左から掛ける操作で閉じているので、部分空間である。有限次元の左 $D$ ベクトル空間 $V$（次元 $N$）の部分空間 $W$ について、$W$ は $N$ 以下の次元をもち、$W\neq V$ なら $\dim W< N$ であることを確かめる。斜体 の記事の定理「基底の存在と次元の一意性」の 1 により、$V$ の一次独立な元は $N$ 個以下なので、$W$ の一次独立な元の組で個数が最大のもの $w_1,\dots,w_r$ がとれる。$w\in W$ がこれらの一次結合でなければ、$aw+\sum_ia_iw_i=0$ で $a\neq0$ なら $w=-\sum_ia^{-1}a_iw_i$ となって矛盾するので $a=0$、続いてすべての $a_i=0$ となり、$w_1,\dots,w_r,w$ が一次独立になって最大性に反する。よって $w_1,\dots,w_r$ は $W$ の基底である。$r=N$ で $W\neq V$ なら、$v\in V\setminus W$ を加えた $N+1$ 個の元が同じ議論で一次独立になり矛盾する。したがって左イデアルの真の減少列では次元が真に減少し、その長さは $n^2+1$ を超えない。よって $S$ は左 Artin 環である。
最後の主張は、1 ⇒ 3 の証明そのものである。

$S=M_n(D)$ とし、第 $j$ 列以外が $0$ の行列の全体を $C_j$ とする（$C_j$ は左イデアル）。
段 1（$C_1$ は単純）．$0\neq v\in C_1$ とし、第 $1$ 列の第 $k$ 成分 $v_{k1}$ が $0$ でないとする。任意の $w\in C_1$ について、第 $k$ 列が $w$ の第 $1$ 列に右から $v_{k1}^{-1}$ を掛けたもので、ほかの列が $0$ である行列を $X$ とすると、$Xv$ の第 $1$ 列は $(w_{i1}v_{k1}^{-1}v_{k1})_i=(w_{i1})_i$ なので $Xv=w$ である。よって $Sv=C_1$ であり、$C_1$ の $0$ でない部分加群は $C_1$ だけである。
段 2（組成列）．$y\mapsto yE_{1j}$ は左 $S$ 線形な $C_1\to C_j$ であり、$y\mapsto yE_{j1}$ が逆写像になるので $C_j\cong C_1$ である。$S=C_1\oplus\cdots\oplus C_n$ なので、
$$ 0\subset C_1\subset C_1\oplus C_2\subset\cdots\subset C_1\oplus\cdots\oplus C_n=S $$
は、各商が $C_1$ と同型な単純加群である長さ $n$ の組成列である。
段 3（単純加群はすべて $C_1$ と同型）．$M$ を単純な左 $S$ 加群とし、$0\neq x\in M$ をとる。$S\to M$、$a\mapsto ax$ は全射な左 $S$ 線形写像であり、$S=\bigoplus_jC_j$ なので、ある $C_j$ への制限は $0$ でない。単純加群の間の $0$ でない準同型は同型なので（Schur の補題）、$M\cong C_j\cong C_1$ である。
段 4（$\operatorname{End}_S(C_1)\cong D^{\mathrm{op}}$）．$d\in D$ について、$C_1$ の元の各成分に右から $d$ を掛ける写像 $\rho_d(y)=y\cdot(dI)$ は左 $S$ 線形で、$\rho_d\rho_{d'}=\rho_{d'd}$ なので、$d\mapsto\rho_d$ は $D^{\mathrm{op}}$ からの環準同型であり、$\rho_d(E_{11})=dE_{11}$ から単射である。逆に $f\in\operatorname{End}_S(C_1)$ について $u=f(E_{11})$ とおくと、$E_{11}u=f(E_{11}E_{11})=u$ なので $u$ の成分は $(1,1)$ 成分 $d$ 以外 $0$ である。$y\in C_1$ は $y=yE_{11}$ を満たすので $f(y)=yf(E_{11})=y\cdot dE_{11}=\rho_d(y)$ となり、全射である。
段 5（結論）．環の同型 $\varphi\colon S\to S'=M_m(D')$ があると、左 $S'$ 加群は $\varphi$ を通じて左 $S$ 加群になり、部分加群・単純性・準同型はこの読み替えで保たれる。段 2 と 単純加群 の記事の定理「Jordan–Hölder の定理」により、左 $S$ 加群 $S$ の組成列の長さは $n$、左 $S'$ 加群 $S'$ の組成列の長さは $m$ であり、$\varphi$ はこれらを対応させるので $n=m$ である。段 3 により、$S'$ の列の加群 $C'_1$ を $S$ 加群とみたものは $C_1$ と同型であり、段 4 から $D^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}_S(C_1)\cong\operatorname{End}_{S'}(C'_1)\cong D'^{\mathrm{op}}$ となる。反対環をとって $D\cong D'$ である。

$A$ の左イデアルは $\lambda\cdot1$（$\lambda\in k$）を左から掛ける操作で閉じているので、$k$ 上の部分空間である。左イデアルの真の減少列では $k$ 上の次元が真に減少するので、$A$ は左 Artin 環である。thm-simple-ring-wedderburn により、極小左イデアル $L$ について $A\cong M_n(D)$、$D=\operatorname{End}_A(L)^{\mathrm{op}}$ である。$\operatorname{End}_A(L)$ は $k$ 線形写像の空間 $\operatorname{End}_k(L)$ の部分空間であり、$L\subset A$ は有限次元なので、$D$ は $k$ 上有限次元である。$k$ の元は $L$ にスカラー倍として作用し、これは $A$ 線形なので $k$ は $D$ の中心に入り、$D$ は $k$ 上の可除多元環である。

要点：交換の公式は $\partial X=X\partial+1$ からの帰納法で、一次独立性は一次関係を $t^{j_0}$（$j_0$ は現れる $\partial$ の指数の最小値）に当てて、標数 $0$ で $j_0!\neq0$ であることを使って示す。

1：$P,Q\in A_1(k)$ について $[P,Q]=PQ-QP$ と書く。lem-simple-ring-weyl-basis により
$$ [X^i\partial^j,X]=X^i(\partial^jX-X\partial^j)=jX^i\partial^{j-1},\qquad [\partial,X^i\partial^j]=(\partial X^i-X^i\partial)\partial^j=iX^{i-1}\partial^j $$
である。
$I$ を $0$ でない両側イデアルとし、$0\neq P=\sum_{i,j}c_{ij}X^i\partial^j\in I$ をとる。$P$ に現れる $\partial$ の指数の最大値を $m$ とする（$c_{im}\neq0$ となる $i$ がある）。$I$ は両側イデアルなので $[P,X]=PX-XP\in I$ であり、上の公式から $[P,X]=\sum_{i,j}jc_{ij}X^i\partial^{j-1}$ である。これを $m$ 回繰り返すと
$$ Q=\sum_im!\,c_{im}X^i\in I $$
が得られ、標数 $0$ と一次独立性により $Q\neq0$ である。$Q$ に現れる $X$ の指数の最大値を $r$ とし、$[\partial,\,\cdot\,]$ を $r$ 回当てると、同様にして $0$ でないスカラー $r!\,b$（$b$ は $Q$ の $X^r$ の係数）が $I$ に入る。よって $1\in I$、$I=A_1(k)$ である。$A_1(k)\neq0$ なので、$A_1(k)$ は単純環である。
中心について、$P=\sum c_{ij}X^i\partial^j$ が中心に入るなら $[P,X]=\sum jc_{ij}X^i\partial^{j-1}=0$ なので、一次独立性と標数 $0$ から $j\ge1$ の係数はすべて $0$ であり、$P=\sum_ic_{i0}X^i$ となる。さらに $[\partial,P]=\sum_iic_{i0}X^{i-1}=0$ から $i\ge1$ の係数も $0$ であり、$P$ はスカラーである。逆にスカラーは中心に入る。
2：左イデアル $A_1(k)\partial^j$ を考える。その元は $\sum c_{il}X^i\partial^{l+j}$ の形であり、基底による表示で現れる $\partial$ の指数はすべて $j$ 以上である。一次独立性により $\partial^j\notin A_1(k)\partial^{j+1}$ であり、
$$ A_1(k)\partial\supsetneq A_1(k)\partial^2\supsetneq A_1(k)\partial^3\supsetneq\cdots $$
は止まらない減少列である。よって $A_1(k)$ は左 Artin 環でなく、1 と thm-simple-ring-wedderburn により、極小左イデアルをもたず、斜体上の行列環と同型でない。