粗幾何学

同義語：coarse geometry粗幾何

概要

前提知識: 距離空間, 粗空間, 幾何学的群論

粗幾何学（coarse geometry）は、距離空間を「非常に遠くから見たときの形」で調べる幾何学の分野である。大きな尺度の幾何学（large-scale geometry）ともいう。遠くから見ると、整数の集合 $\mathbb{Z}$ と実数直線 $\mathbb{R}$ は区別できず、碁盤の目 $\mathbb{Z}^2$ と平面 $\mathbb{R}^2$ も区別できない。一方、$\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}^2$ は遠くから見ても違う（幾何学的群論の系「$\mathbb Z^m$ と $\mathbb Z^n$ の区別」と thm-cg-qi）。粗幾何学は、有界な誤差を無視しても変わらない性質（粗不変量）を見つけ、それで空間を分類する。
主な舞台は二つある。一つは有限生成群で、群を語距離で距離空間とみなすと、生成系の取り方による違いは有界な誤差の範囲に収まる（幾何学的群論）。もう一つは多様体の位相で、基本群の大きな尺度の形が Novikov 予想と結びつく（rem-cg-novikov）。
この記事では、距離空間の粗写像・粗同値と準等長写像を定義し、分野の主な問いと定理を表にまとめる。代表的な定理として、長さ空間の間では粗同値と準等長が同じであること、漸近次元が粗同値で変わらないこと、無限な有限生成群の漸近次元が $1$ 以上であることを完全に証明する。最後に学ぶ順の道筋を示す。

基本の言葉

$(X,d_X)$、$(Y,d_Y)$ を距離空間とし、文脈から明らかなときは距離をどれも $d$ と書く。写像 $f\colon X\to Y$ は連続でなくてよい。

粗一様・計量的に固有・粗写像

写像 $f\colon X\to Y$ について次のようにいう。

単調非減少な関数 $\rho_+\colon[0,\infty)\to[0,\infty)$ で、すべての $x,x'\in X$ について $d(f(x),f(x'))\le\rho_+(d(x,x'))$ となるものがあるとき、$f$ は 粗一様（bornologous）であるという。
$Y$ の有界な集合の逆像がいつも有界であるとき、$f$ は 計量的に固有（metrically proper）であるという。
粗一様かつ計量的に固有な写像を 粗写像（coarse map）という。

近い写像・粗同値

写像 $f,g\colon S\to Y$（$S$ は集合）が近いとは、$\sup_{s\in S}d(f(s),g(s))<\infty$ となることをいう。粗写像 $f\colon X\to Y$ に対して、粗写像 $g\colon Y\to X$ で $g\circ f$ が $\mathrm{id}_X$ に、$f\circ g$ が $\mathrm{id}_Y$ に近いものがあるとき、$f$ を 粗同値（coarse equivalence）といい、$g$ を $f$ の 粗逆写像 という。粗同値 $X\to Y$ があるとき、$X$ と $Y$ は 粗同値 であるという。

これらは粗空間の定義「固有写像・粗一様写像・粗写像」「近い写像・粗同値」を、距離空間の有界粗構造（$\{(x,x')\mid d(x,x')< r\}$ に含まれる集合を制御集合とする粗構造）について書き直したものである。実際、有界粗構造について $f$ が粗一様であることは、各 $r>0$ について $\rho(r):=\sup\{d(f(x),f(x'))\mid d(x,x')< r\}$ が有限であることであり、このとき $\rho_+(t):=\rho(t+1)$ が 1 の関数になる。逆に 1 の $\rho_+$ があれば、$d(x,x')< r$ の点対は $d(f(x),f(x'))\le\rho_+(r)$ を満たす。
幾何学的群論の定義「準等長写像」の $(\lambda,c)$-準等長写像は、$\frac1\lambda d(x,x')-c\le d(f(x),f(x'))\le\lambda d(x,x')+c$ を満たし、像から $c$ 以内に $Y$ の全体が入る写像であった。これは $\rho_+$ を 1 次関数にとれる粗写像で、距離の縮み方も 1 次関数で抑えられるものである。

粗同値の例

粗空間の例「$\mathbb{Z}$ と $\mathbb{R}$ の粗同値」のとおり、包含 $\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ は粗同値で、$x\mapsto\lfloor x\rfloor$ が粗逆写像である。同じく、各座標の切り捨てを粗逆写像として、包含 $\mathbb{Z}^n\to\mathbb{R}^n$（Euclid 距離）も粗同値である。
有界な距離空間 $X$ は 1 点と粗同値である。$X\to\{p\}$ と、$X$ の 1 点を選ぶ写像 $\{p\}\to X$ が互いに粗逆写像になる。
有限生成群 $G$ の 2 つの有限生成系 $S,T$ について、恒等写像 $(G,d_S)\to(G,d_T)$ は準等長写像であり（Cayleyグラフの命題「生成系の取り替え」）、したがって粗同値である（thm-cg-qi の 1）。
固有で測地的な距離空間 $X$ に群 $G$ が等長写像で固有かつ余コンパクトに作用すれば、$G$ は有限生成で、軌道写像 $G\to X$ は準等長写像である（幾何学的群論の定理「Švarc–Milnor の補題」）。たとえば $\mathbb{Z}^n$ は平行移動で $\mathbb{R}^n$ に作用し、1 の粗同値はこの作用の軌道写像である。

主な問いと代表的な定理

問い	代表的な定理	この記事での扱い	詳しく扱う記事
粗同値と準等長の関係	長さ空間の間では粗同値 $\iff$ 準等長	thm-cg-qi（証明）	長さ空間
群と空間を結ぶ	Švarc–Milnor の補題	引用	幾何学的群論
体積の増え方	増大度は準等長で変わらない	引用	幾何学的群論
増大度による群の特徴付け	多項式増大度の群は指数有限の冪零部分群をもつ（Gromov）	引用	幾何学的群論
大きな尺度の次元	漸近次元は粗同値で変わらない	thm-cg-asdim-invariance（証明）	—
次元が小さい群	無限な有限生成群の漸近次元は $1$ 以上	prop-cg-asdim-group（証明）	—
Hilbert 空間への埋め込み	漸近次元が有限なら Hilbert 空間に粗埋め込みできる	rem-cg-novikov（言明）	—
指数理論への応用	基本群の漸近次元が有限な多様体では Novikov の高次符号数予想が成り立つ（Yu）	rem-cg-novikov（言明）	—

長さ空間の間の粗同値は準等長

長さ空間では、近い点の距離が制御できれば、遠い点の距離も 1 次関数で制御できる。これが下の定理の 2 の要点である。

長さ空間からの粗一様写像

$X$ を長さ空間、$f\colon X\to Y$ を粗一様な写像とし、$\rho_+$ を def-cg-coarse-map の関数とする。このとき、すべての $x,x'\in X$ について
$$ d(f(x),f(x'))\le\rho_+(1)\bigl(d(x,x')+2\bigr) $$
である。

曲線を長さ 1 ずつに切る

$x$ と $x'$ を結ぶ曲線 $\gamma\colon[a,b]\to X$ で $L(\gamma)< d(x,x')+1$ となるものをとる。$L:=L(\gamma)$、$n:=\lceil L\rceil$（$L=0$ なら $x=x'$ で明らか）とする。途中までの長さ $\lambda(t):=L(\gamma|_{[a,t]})$ は連続（長さ空間の補題「途中までの長さは連続」）なので、$a=t_0\le t_1\le\cdots\le t_n=b$ を $\lambda(t_j)=\min(j,L)$ となるようにとれる。$x_j:=\gamma(t_j)$ とおくと $d(x_{j-1},x_j)\le\lambda(t_j)-\lambda(t_{j-1})\le1$ なので、
$$ d(f(x),f(x'))\le\sum_{j=1}^nd(f(x_{j-1}),f(x_j))\le n\,\rho_+(1)\le(L+1)\rho_+(1)\le\bigl(d(x,x')+2\bigr)\rho_+(1) $$
である。$\square$

粗同値と準等長写像

距離空間の間の準等長写像は粗同値である。
$X$ と $Y$ が長さ空間なら、粗同値 $f\colon X\to Y$ は準等長写像である。

1。 $f\colon X\to Y$ を $(\lambda,c)$-準等長写像とする。各 $y\in Y$ について $d(y,f(x))\le c$ となる $x$ を一つ選んで $g(y):=x$ とおく。$f\circ g$ と $\mathrm{id}_Y$ の距離は $c$ 以下である。$x\in X$ について $d(f(g(f(x))),f(x))\le c$ なので、下からの評価 $\frac1\lambda d(g(f(x)),x)-c\le c$ から $d(g(f(x)),x)\le2\lambda c$ であり、$g\circ f$ は $\mathrm{id}_X$ に近い。$f$ は $\rho_+(t)=\lambda t+c$ で粗一様で、$d(x,x')\le\lambda(d(f(x),f(x'))+c)$ なので計量的に固有である。$g$ については
$$ d(g(y),g(y'))\le\lambda\bigl(d(f(g(y)),f(g(y')))+c\bigr)\le\lambda\bigl(d(y,y')+3c\bigr) $$
であり、逆に $d(y,y')\le d(f(g(y)),f(g(y')))+2c\le\lambda d(g(y),g(y'))+3c$ である。前者から $g$ は粗一様、後者から計量的に固有である。
2。 $g$ を $f$ の粗逆写像とし、$\sup_xd(g(f(x)),x)\le C$、$\sup_yd(f(g(y)),y)\le C$ とする。lem-cg-large-scale-lipschitz を $f$ と $g$ に使うと、ある $A\ge1$ について
$$ d(f(x),f(x'))\le A\bigl(d(x,x')+2\bigr),\qquad d(g(y),g(y'))\le A\bigl(d(y,y')+2\bigr) $$
である。よって
$$ d(x,x')\le d(x,g(f(x)))+d(g(f(x)),g(f(x')))+d(g(f(x')),x')\le A\,d(f(x),f(x'))+2A+2C $$
であり、$\frac1Ad(x,x')-\frac{2A+2C}A\le d(f(x),f(x'))\le A\,d(x,x')+2A$ となる。また任意の $y$ は $f(g(y))$ から $C$ 以内にある。$\lambda:=A$、$c:=\max(2A+2C,C)$ とすれば $f$ は $(\lambda,c)$-準等長写像である。$\square$

2 の仮定は外せない。$\mathbb{R}$ に距離 $\sqrt{\lvert x-y\rvert}$ を入れた空間は長さ空間でなく、恒等写像 $(\mathbb{R},\lvert\cdot\rvert)\to(\mathbb{R},\sqrt{\lvert\cdot\rvert})$ は粗同値だが準等長写像ではない（ex-cg-counterexamples）。有限生成群の語距離は長さ空間の距離ではないので、2 は群の語距離にはそのままでは使えない。

漸近次元

位相空間の被覆次元は「細かい開被覆を、どの点も高々 $n+1$ 個にしか含まれないように取れるか」で次元を測る。漸近次元はこれを大きな尺度に移したもので、M. Gromov が有限生成群の不変量として導入した（BD07 p. 2）。

漸近次元

距離空間 $X$ の部分集合の族 $\mathcal{U}$ が 一様に有界 であるとは $\sup_{U\in\mathcal{U}}\operatorname{diam}U<\infty$ となることをいい、$r>0$ について $r$-離散 であるとは、異なる $U,U'\in\mathcal{U}$ について $d(U,U'):=\inf\{d(u,u')\mid u\in U,u'\in U'\}>r$ となることをいう。整数 $n\ge0$ について、任意の $r>0$ に対して、一様に有界で $r$-離散な $n+1$ 個の族 $\mathcal{U}_0,\dots,\mathcal{U}_n$ で、それらの元の和集合が $X$ になるものがあるとき、$\operatorname{asdim}X\le n$ と書く。そのような $n$ の最小値を $X$ の 漸近次元（asymptotic dimension）といい、どの $n$ もそうでなければ $\operatorname{asdim}X=\infty$ とする。

Gromov の元の定義は、一様に有界な任意の被覆を、重なりの多重度が $n+1$ 以下の一様に有界な被覆で粗くできることを求めるもので、上の定義と同値である（BD07 Theorem 19、pp. 7–8。この記事では証明しない）。

漸近次元の粗不変性

距離空間 $X$ と $Y$ が粗同値なら $\operatorname{asdim}X=\operatorname{asdim}Y$ である。

族を粗逆写像で引き戻す

$f\colon X\to Y$ を粗同値、$g$ をその粗逆写像とし、$\rho^f_+$、$\rho^g_+$ を粗一様性の関数、$C:=\sup_yd(f(g(y)),y)<\infty$ とする。$\operatorname{asdim}X\le n$ と仮定して $\operatorname{asdim}Y\le n$ を示す。逆向きは $f$ と $g$ の役割を入れ替えればよい。
$r>0$ をとり、$s:=\rho^g_+(r+1)$ とする。仮定から、一様に有界で $s$-離散な族 $\mathcal{U}_0,\dots,\mathcal{U}_n$ で $X$ を覆うものがある。$D:=\sup\{\operatorname{diam}U\mid U\in\mathcal{U}_0\cup\dots\cup\mathcal{U}_n\}$ とし、
$$ \mathcal{V}_i:=\{g^{-1}(U)\mid U\in\mathcal{U}_i\}\qquad(i=0,\dots,n) $$
とおく。$\mathcal{U}_i$ の元の和集合が $X$ なので、$\mathcal{V}_i$ の元の和集合は $Y$ である。
$r$-離散。 $U\ne U'$ が $\mathcal{U}_i$ の元で、$y\in g^{-1}(U)$、$y'\in g^{-1}(U')$ が $d(y,y')\le r+1$ を満たすとすると、$d(g(y),g(y'))\le\rho^g_+(r+1)=s$ となり、$d(U,U')>s$ に反する。よって $d(g^{-1}(U),g^{-1}(U'))\ge r+1>r$ である。
一様に有界。 $y,y'\in g^{-1}(U)$ なら $d(g(y),g(y'))\le D$ なので
$$ d(y,y')\le d(y,f(g(y)))+d(f(g(y)),f(g(y')))+d(f(g(y')),y')\le2C+\rho^f_+(D) $$
である。$\square$

漸近次元の計算

有界な距離空間 $X$ では、$X$ だけからなる族 $\mathcal{U}_0=\{X\}$ が任意の $r$ について条件を満たすので、$\operatorname{asdim}X=0$ である。
$\operatorname{asdim}\mathbb{Z}\le1$ である。$r>0$ について整数 $m>r$ をとり、$\mathcal{U}_0:=\{[2km,(2k+1)m)\cap\mathbb{Z}\mid k\in\mathbb{Z}\}$、$\mathcal{U}_1:=\{[(2k+1)m,(2k+2)m)\cap\mathbb{Z}\mid k\in\mathbb{Z}\}$ とすると、各元の直径は $m-1$ 以下で、同じ族の異なる元の距離は $m+1>r$ 以上である。
下の prop-cg-asdim-group により $\operatorname{asdim}\mathbb{Z}\ge1$ なので $\operatorname{asdim}\mathbb{Z}=1$ であり、thm-cg-asdim-invariance により $\operatorname{asdim}\mathbb{R}=1$ である（BD07 p. 9 の例）。
木（木(グラフ)）を各辺の長さ $1$ の距離空間とみたものの漸近次元は $1$ 以下である（BD07 p. 8 の例。この記事では証明しない）。根からの距離で幅 $r$ の輪に分け、各輪をさらに枝ごとに分けて、輪を一つおきに二つの族にまとめる。

連結なグラフのように「小さな歩幅でつながっている」空間は、漸近次元が $0$ にならない。

漸近次元が 0 になる条件

$c>0$ とし、距離空間 $X$ の任意の 2 点 $x,y$ が、隣どうしの距離が $c$ 以下の有限列 $x=x_0,x_1,\dots,x_k=y$ で結べるとする。$X$ が有界でなければ $\operatorname{asdim}X\ge1$ である。とくに、無限な有限生成群（語距離）の漸近次元は $1$ 以上であり、有限生成群の漸近次元が $0$ であることと有限であることは同値である。

$\operatorname{asdim}X\le0$ と仮定する。定義を $r:=c$ で使うと、一様に有界で $c$-離散な一つの族 $\mathcal{U}_0$ が $X$ を覆う。$x$ を含む元を $U$ とすると、列 $x_0,\dots,x_k$ の隣どうしは距離 $c$ 以下なので異なる元に属することができず、$y\in U$ となる。よって $U=X$ であり、$X$ は有界になって仮定に反する。
有限生成系 $S$ の語距離では、$g$ と $gs$（$s\in S$）の距離が $1$ なので、$c=1$ で仮定が成り立つ。語距離の球 $\{g\mid\lvert g\rvert_S\le r\}$ は高々 $(\#S+1)^r$ 個の元しかもたないので、無限群は有界でない。有限群は有界なので漸近次元は $0$ である（ex-cg-asdim-examples の 1）。$\square$

漸近次元の応用

この記事では次の定理を証明しない。

有限生成の双曲群（幾何学的群論の節「幾何学的群論の主な問い」の意味）の漸近次元は有限である（BD07 Theorem 89、p. 38）。
漸近次元が有限な距離空間は Hilbert 空間に粗埋め込みできる。ここで $f\colon X\to Y$ が 粗埋め込み であるとは、$\rho_-(t)\to\infty$（$t\to\infty$）となる単調非減少な $\rho_-$ と def-cg-coarse-map の $\rho_+$ について $\rho_-(d(x,x'))\le d(f(x),f(x'))\le\rho_+(d(x,x'))$ となることをいう（BD07 §3.2 の定義、p. 8、Theorem 43、p. 20）。
基本群の漸近次元が有限な多様体について、Novikov の高次符号数予想が成り立つ（G. Yu、1998 年。BD07 p. 2）。さらに Yu は、Hilbert 空間に粗埋め込みできる有限生成群についてこの予想が成り立つことを示した（BD07 §8、p. 20）。
有限表示群で漸近次元が $1$ のものは、指数有限の自由部分群をもつ（BD07 Theorem 66、p. 30）。

反例：条件を外すと成り立たない

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-cg-qi の 2 の $Y$ が長さ空間であること	恒等写像 $(\mathbb{R},\lvert x-y\rvert)\to(\mathbb{R},\sqrt{\lvert x-y\rvert})$	粗同値だが準等長写像でない
thm-cg-qi の 1 の準等長写像の像が粗く稠密であること	$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}^2$、$n\mapsto(n,0)$	距離を保つが粗同値でない
thm-cg-asdim-invariance の粗同値（粗写像であるだけでは足りない）	$X:=\{k^2\mid k\ge0\}\subset\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への $k^2\mapsto k$	粗写像だが $\operatorname{asdim}X=0<1=\operatorname{asdim}\mathbb{Z}$
prop-cg-asdim-group の小さな歩幅でつながること	$X:=\{k^2\mid k\ge0\}\subset\mathbb{Z}$	有界でないが $\operatorname{asdim}X=0$

表の反例の確かめ

各行で外れているのは一つの条件だけであることを確かめる。

確かめを開く

1 行目：$t\mapsto\sqrt t$ は $\sqrt{s+t}\le\sqrt s+\sqrt t$ を満たすので $\sqrt{\lvert x-y\rvert}$ は距離である。恒等写像は $\rho_+(t)=\sqrt t$ で粗一様、逆写像は $\rho_+(t)=t^2$ で粗一様で、どちらも有界集合を有界集合に引き戻すので粗同値である。$\sqrt t\ge\frac t\lambda-c$ はどの $\lambda,c$ でも大きな $t$ で破れるので準等長写像でない。$(\mathbb{R},\lvert\cdot\rvert)$ は長さ空間である。$(\mathbb{R},\sqrt{\lvert\cdot\rvert})$ で $0$ と $4$ の距離は $2$ である。$z$ がその $\varepsilon$-中点なら $\sqrt{\lvert z\rvert}\le1+\varepsilon$、$\sqrt{\lvert z-4\rvert}\le1+\varepsilon$ なので $4\le\lvert z\rvert+\lvert z-4\rvert\le2(1+\varepsilon)^2$ となり、$\varepsilon\ge\sqrt2-1$ でなければならない。よって $\varepsilon<\sqrt2-1$ の $\varepsilon$-中点はなく、この空間は長さ空間でない（長さ空間の補題「長さ空間には近似的な中点がある」）。

2 行目：$d((n,0),(m,0))=\lvert n-m\rvert$ なので $(1,0)$-準等長写像の評価式を満たすが、$(0,k)$ は像から距離 $k$ にあり、像は粗く稠密でない。粗逆写像 $g$ があれば $f\circ g$ は恒等写像に近いので、像の $C$ 近傍が全体になるはずである。

3・4 行目：$r>0$ について、$2k_0+1>r$ となる最小の整数 $k_0\ge0$ をとる。有限集合 $\{k^2\mid k\le k_0\}$ を一つの元とし、$k>k_0$ の $k^2$ を一点ずつの元とする。$k\ge k_0$ なら $(k+1)^2-k^2=2k+1>r$ なので、これは一様に有界で $r$-離散な一つの族である。よって $\operatorname{asdim}X=0$ である。$h(k^2):=k$ は $\lvert k-l\rvert\le\lvert k^2-l^2\rvert$ なので $\rho_+(t)=t$ で粗一様であり、有界集合の逆像は有限集合なので計量的に固有である。$\operatorname{asdim}\mathbb{Z}=1$ は ex-cg-asdim-examples の 3 による。$X$ は有界でなく、$k^2$ と $(k+1)^2$ の間は $2k+1$ 離れている。