Zariski空間

$\xi\notin V$ なら $\xi$ は $Z$ の閉集合 $Z\setminus V$ に属するので、$Z=\overline{\{\xi\}}\subset Z\setminus V$ となり、$V=\emptyset$ に反する。$\square$

Noether 空間の部分空間は Noether 空間である（構成可能集合(位相) の補題「Noether性は部分空間に遺伝する」）。$W\subset Y$ を $Y$ の空でない既約な閉集合とする。$W$ の $X$ での閉包 $\overline W$ は既約な閉集合なので（既約空間 の命題「閉包と連続像」）、生成点 $\xi$ をもつ。$F$ は $W$ を含む閉集合なので $\overline W\subset F$ であり、$W$ は $Y$ で閉だから $W=Y\cap\overline W=U\cap\overline W$ となる。よって $W$ は $\overline W$ の空でない開集合で、lem-zar-generic-open により $\xi\in W$ である。$\xi$ の $Y$ での閉包は $Y\cap\overline{\{\xi\}}=Y\cap\overline W=W$ なので、$\xi$ は $W$ の生成点である。$\eta\in W$ も $W$ の生成点なら、$\overline{\{\eta\}}$ は $W$ を含む閉集合だから $\overline W$ に等しく、$X$ での一意性から $\eta=\xi$ である。$\square$

Noether スキームの底空間は Noether 空間である（Noetherスキーム の定理「Noetherスキームの底空間は Noether 位相空間」）。また、スキームの空でない既約な閉集合はただ 1 つの生成点をもつ（生成点 の命題「スキームの点と既約閉集合」）。この 2 つが def-zar-main の条件 1・2 である。$\square$

1：反射性と推移性は一般の位相空間で成り立つ（生成点 の補題「1 点の閉包は既約」）。$x\rightsquigarrow y$ かつ $y\rightsquigarrow x$ なら $\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}$ であり、$x,y$ はともにこの既約な閉集合の生成点なので、一意性から $x=y$ である。
2：$F$ を空でない閉集合とする。Noether 性により、$F$ に含まれる空でない閉集合の族は極小元 $M$ をもつ。$m\in M$ について $\overline{\{m\}}$ は $M$ に含まれる空でない閉集合なので、極小性から $\overline{\{m\}}=M$ である。よって $M$ は既約で、$M$ のすべての点が $M$ の生成点になる。一意性から $M=\{m\}$ であり、$m$ は $F$ に含まれる閉点である。この議論は、極小な空でない閉集合が 1 点集合であることも示している。点 $x$ が $\ge$ の極小元であることは、$\overline{\{x\}}$ が $x$ 以外の点を含まないこと、すなわち $x$ が閉点であることと同じである。最後の主張は $F=\overline{\{x\}}$ に適用すればよい。
3：Noether 空間は有限個の既約成分の和である（既約成分 の命題「Noether位相空間の既約分解」）。各点 $x$ について、既約な $\overline{\{x\}}$ は有限個の閉集合 $\overline{\{x\}}\cap X_i$ の和なので、ある $i$ について $\overline{\{x\}}\subset X_i=\overline{\{\eta_i\}}$、すなわち $\eta_i\rightsquigarrow x$ である。したがって極大元はどれかの $\eta_i$ に等しい。逆に $y\rightsquigarrow\eta_i$ なら $X_i\subset\overline{\{y\}}$ であり、$\overline{\{y\}}$ は既約なので、既約成分の極大性から $\overline{\{y\}}=X_i$、一意性から $y=\eta_i$ となる。よって $\eta_i$ は極大元である。
4：$x\in F$ で $F$ が閉なら $\overline{\{x\}}\subset F$ である。開集合 $V$ について、$y\in V$ で $x\rightsquigarrow y$ のとき $x\notin V$ なら、$x$ は閉集合 $X\setminus V$ に属するので $y$ も属し、矛盾する。$\square$

$E\subset\bigcup_jZ_j$ なので $\overline E=\bigcup_j\overline{E\cap Z_j}$ であり、既約な $Z_i$ はこの有限和の 1 つ $\overline{E\cap Z_j}\subset Z_j$ に含まれる。既約成分は互いに含まれないので $j=i$ であり、$E\cap Z_i$ は $Z_i$ で稠密である。$E$ は有限個の局所閉集合の和なので、生成点 の命題「生成点を含む集合と稠密な開集合」（2 ⇒ 3）により $\xi_i\in E$ である。よって $\overline E=\bigcup_iZ_i=\bigcup_i\overline{\{\xi_i\}}$ は、$E$ の点の特殊化の全体に含まれる。逆に $x\in E$ の特殊化はどれも閉集合 $\overline E$ に属する（thm-zar-order の 4）。$\square$

1：閉集合は構成可能で、thm-zar-order の 4 により特殊化で閉じている。逆に $E$ が構成可能で特殊化で閉じているとする。$E=\emptyset$ なら閉である。そうでなければ lem-zar-closure-generic により、$\overline E$ の点はどれも $E$ の点の特殊化なので $E$ に属し、$\overline E=E$ である。
2：$E$ が一般化で閉じていることは、補集合 $X\setminus E$ が特殊化で閉じていることと同じである。実際、$x\rightsquigarrow y$、$y\in E$、$x\notin E$ となる組があることは、$X\setminus E$ の点 $x$ の特殊化 $y$ が $X\setminus E$ に属さないことと同じである。また $E$ が構成可能であることは補集合が構成可能であることと同じなので、1 を $X\setminus E$ に適用すればよい。$\square$

1：$t(\emptyset)=\emptyset$、$t(X)$ は全体であり、$t(\bigcap_\lambda Y_\lambda)=\bigcap_\lambda t(Y_\lambda)$ は定義から明らかである。既約な $Z\subset Y_1\cup Y_2$ は $Z=(Z\cap Y_1)\cup(Z\cap Y_2)$ と $Z$ の 2 つの閉集合の和に書けるので、どちらかに含まれ、$t(Y_1\cup Y_2)=t(Y_1)\cup t(Y_2)$ である。よって位相が定まる。各点 $y\in Y$ について $\overline{\{y\}}\in t(Y)$ なので $Y=\bigcup_{Z\in t(Y)}Z$ であり、$Y\subset Y'$ と $t(Y)\subset t(Y')$ は同値である。とくに $Y\mapsto t(Y)$ は単射で、定義から全射である。$\alpha^{-1}(t(Y))=\{x\mid\overline{\{x\}}\subset Y\}=Y$ なので $\alpha$ は連続である。
2：1 の対応は包含を保つので、閉集合の降鎖は $X$ と $t(X)$ で対応し、$t(X)$ は Noether 空間である。既約性は閉集合の包含と和だけで定まるので、$t(Y)$ が既約であることと $Y$ が既約であることは同値である。点 $Z\in t(X)$ を含む最小の閉集合は、$Z\in t(Y)\iff Z\subset Y$ なので $t(Z)$ であり、$\overline{\{Z\}}=t(Z)$ となる。したがって既約な閉集合 $t(Y)$ の生成点は $t(Z)=t(Y)$、すなわち $Z=Y$ となる点 $Z$ であり、ちょうど 1 つ存在する。
3：$\alpha$ が単射であることは $x\mapsto\overline{\{x\}}$ が単射であること、すなわち $X$ の既約な閉集合の生成点が高々 1 つであることと同じであり、全射であることは、空でない既約な閉集合がどれも生成点をもつことと同じである。よって $\alpha$ が全単射であることと $X$ が Zariski 空間であることは同値である。$\alpha$ が全単射なら、1 により $\alpha(Y)=t(Y)$ となって $\alpha$ は閉写像でもあり、同相写像である。逆に同相写像なら全単射である。$\square$