Atiyah–Singerの指数定理

$g\in C^\infty(S^1)$ について $D_af=g$ は $(e^{ia\theta}f)'=i\,e^{ia\theta}g$ と同値なので、$\mathbb{R}$ 上の解はちょうど
$$ f_c(\theta)=e^{-ia\theta}\Bigl(c+i\int_0^\theta e^{iat}g(t)\,dt\Bigr)\qquad(c\in\mathbb{C}) $$
である。$f_c$ が $2\pi$ 周期になるのは $f_c(2\pi)=f_c(0)$ のときに限る（$\theta\mapsto f_c(\theta+2\pi)$ も同じ方程式の解で、初期値が等しければ解は一致する）。この条件は $e^{-2\pi ia}(c+iG)=c$、$G:=\int_0^{2\pi}e^{iat}g(t)\,dt$ である。$e^{-2\pi ia}\ne1$（$a\notin\mathbb{Z}$）なら $c$ はただ一つ決まるので、$D_a$ は全単射で指数は $0$ である。$a\in\mathbb{Z}$ なら条件は $G=0$ で、そのとき $c$ は任意である。$g=0$ として $\ker D_a=\mathbb{C}e^{-ia\theta}$、また像は $0$ でない線形汎関数 $g\mapsto G$ の核なので余核は $1$ 次元であり、指数は $1-1=0$ である。$\square$

段 1（$\ker D=\mathcal{H}$）．$D\omega=0$ なら $\Delta\omega=D^2\omega=0$ である。逆に $\Delta\omega=0$ なら $0=\langle\!\langle\Delta\omega,\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle D\omega,D\omega\rangle\!\rangle$ なので $D\omega=0$ である。
段 2（$\tau$ と $\Delta$ の可換性）．$\tau\Delta=\tau DD=-D\tau D=DD\tau=\Delta\tau$ である。よって $\tau$ は $\mathcal{H}$ を保ち、$P_\pm:=\tfrac12(1\pm\tau)$ は $\Omega^\pm$ への射影で $\Delta$ と可換である。$\mathcal{H}=\mathcal{H}^+\oplus\mathcal{H}^-$ である。また $\tau\omega=\omega$ なら $\tau D\omega=-D\tau\omega=-D\omega$ なので、$D$ は $\Omega^+$ を $\Omega^-$ に写し、同様に $\Omega^-$ を $\Omega^+$ に写す。
段 3（核）．段 1 より $\ker D_+=\ker D\cap\Omega^+=\mathcal{H}^+$ である。
段 4（余核）．Hodgeの定理 の命題「Green作用素」（複素数値の形式でも成り立つ）により、各次数で $\Omega^p=\mathcal{H}^p\oplus\Delta\Omega^p$ であり、$\Omega=\mathcal{H}\oplus\Delta\Omega$ である。$\omega\in\Omega^-$ を $\omega=h+\Delta\eta$ と分け、$P_-$ を当てると $\omega=P_-h+\Delta P_-\eta$ である。$P_-h\in\mathcal{H}^-$ であり、$\Delta P_-\eta=D_+(DP_-\eta)$、$DP_-\eta\in\Omega^+$ なので $\Delta P_-\eta\in D_+(\Omega^+)$ である。また $\alpha\in\Omega^+$、$h'\in\mathcal{H}^-$ について $\langle\!\langle D\alpha,h'\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\alpha,Dh'\rangle\!\rangle=0$ なので、$D_+(\Omega^+)\perp\mathcal{H}^-$ である。よって $\Omega^-=\mathcal{H}^-\oplus D_+(\Omega^+)$ は直交直和で、$\operatorname{coker}D_+\cong\mathcal{H}^-$ である。$\mathcal{H}$ は有限次元（Hodgeの定理 の定理「Hodgeの定理」の 1）なので、$\operatorname{ind}D_+=\dim\mathcal{H}^+-\dim\mathcal{H}^-$ である。$\square$

$\tau:=(-1)^p$（$\Omega^p$ の上で）とおくと $\tau^2=1$ であり、$d$ は次数を 1 上げ $d^*$ は 1 下げるので $\tau D=-D\tau$ である。$\Omega^+=\Omega^{\mathrm{ev}}$、$\Omega^-=\Omega^{\mathrm{od}}$ なので、lem-asi-involution により $\operatorname{ind}D_{\mathrm{ev}}=\dim\mathcal{H}^{\mathrm{ev}}-\dim\mathcal{H}^{\mathrm{od}}$ である。$\Delta$ は次数を保つので $\mathcal{H}=\bigoplus_p\mathcal{H}^p$ であり、Hodgeの定理 の定理「Hodgeの定理」の 3 により $\dim_{\mathbb{C}}\mathcal{H}^p=\dim_{\mathbb{R}}H^p_{\mathrm{dR}}(X)$、de Rhamの定理 により これは $b_p(X)$ に等しい。よって $\operatorname{ind}D_{\mathrm{ev}}=\sum_p(-1)^pb_p(X)=\chi(X)$ である（Euler標数）。$\square$

要点：$**=(-1)^{p(n-p)}$ と $d^*=-*d*$（$n$ が偶数）を使って、$i$ の冪の指数を比べる。

lem-asi-tau と lem-asi-involution により $\operatorname{ind}D_+=\dim\mathcal{H}^+-\dim\mathcal{H}^-$ である。$\tau$ は $\Delta$ と可換なので $\mathcal{H}^p$ を $\mathcal{H}^{n-p}$ に写す。
段 1（$p\ne2k$ の打ち消し）．$p<2k$ について $W_p:=\mathcal{H}^p\oplus\mathcal{H}^{n-p}$ は $\tau$ で保たれる。$\omega\mapsto\omega\pm\tau\omega$ は $\mathcal{H}^p$ から $W_p^\pm:=W_p\cap\Omega^\pm$ への線形写像で、次数の成分を見れば単射である。$a+b\in W_p^\pm$（$a\in\mathcal{H}^p$、$b\in\mathcal{H}^{n-p}$）なら $\tau(a+b)=\tau a+\tau b$ の次数の成分を比べて $\tau a=\pm b$、すなわち $a+b=a\pm\tau a$ なので全射でもある。よって $\dim W_p^+=\dim W_p^-=\dim\mathcal{H}^p$ であり、$\mathcal{H}=\mathcal{H}^{2k}\oplus\bigoplus_{p<2k}W_p$ から
$$ \operatorname{ind}D_+=\dim\mathcal{H}^{2k}_+-\dim\mathcal{H}^{2k}_-,\qquad\mathcal{H}^{2k}_\pm:=\{\omega\in\mathcal{H}^{2k}\mid*\omega=\pm\omega\} $$
である。
段 2（実の調和形式での符号数）．$*$ は実の作用素なので、$\mathcal{H}^{2k}_\pm$ は実数値の調和 $2k$ 形式の空間 $\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R}}$ の中の $*$ の $\pm1$ 固有空間 $\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},\pm}$ の複素化であり、次元は等しい。実数値の $2k$ 次形式 $\alpha,\beta$ について、Hodgeのスター作用素 の定理「スター作用素と内積」の 1 と $**=(-1)^{2k\cdot2k}=1$ により
$$ \int_X\alpha\wedge\beta=\int_X\alpha\wedge*(*\beta)=\langle\!\langle\alpha,*\beta\rangle\!\rangle $$
である。$B(\alpha,\beta):=\int_X\alpha\wedge\beta$ を $\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R}}$ 上の対称双線形形式とすると、$\alpha\in\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},+}$、$\alpha\ne0$ なら $B(\alpha,\alpha)=\|\alpha\|^2>0$、$\beta\in\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},-}$、$\beta\ne0$ なら $B(\beta,\beta)=-\|\beta\|^2<0$、$\alpha\in\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},+}$、$\beta\in\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},-}$ なら $B(\alpha,\beta)=-\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle$ で、一方 $B(\alpha,\beta)=B(\beta,\alpha)=\langle\!\langle\beta,\alpha\rangle\!\rangle$ なので $B(\alpha,\beta)=0$ である。$\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R}}=\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},+}\oplus\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},-}$（$*$ は対合）は $B$ について直交し、$B$ は前者で正定値、後者で負定値なので、$B$ の符号数は $\dim\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},+}-\dim\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R},-}$ である（二次形式 の定理「実2次形式の係数の符号の不変性」）。
段 3（交叉形式との一致）．Hodgeの定理 の同型 $\mathcal{H}^{2k}_{\mathbb{R}}\cong H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X)$ と de Rhamの定理 の定理「外積とカップ積の対応」により、$B$ は $H^{2k}(X;\mathbb{R})$ の上の形式 $(a,b)\mapsto\langle a\smile b,[X]\rangle$ に移る。ここで最高次の形式の積分が基本類での値に対応することを使った（Gil84 §3.1、pp. 151–152）。よって $B$ の符号数は $\sigma(X)$ であり、段 1・2 と合わせて $\operatorname{ind}D_+=\sigma(X)$ である。$\square$