等周不等式

1：$x=y+\varepsilon u$（$y\in K$、$u\in U$）なら $\lvert x-y\rvert\le\varepsilon$ である。逆に $\operatorname{dist}(x,K)\le\varepsilon$ なら、$K$ がコンパクトなので $\lvert x-y\rvert=\operatorname{dist}(x,K)$ となる $y\in K$ があり、$x=y+(x-y)$、$x-y\in\varepsilon U$ である。
2：包含は 1 から明らかである。$x$ がすべての $K+\varepsilon U$ に入れば $\operatorname{dist}(x,K)=0$ で、$K$ は閉なので $x\in K$ である。$K+U$ は有界で測度が有限なので、測度の上からの連続性（Lebesgue測度 の命題「測度の単調性と連続性」と同じ性質）により、減少列 $\varepsilon=1/j$ について $\lvert K+\varepsilon U\rvert\to\lvert K\rvert$ となり、単調性から $\varepsilon\to0+$ の極限も同じである。$\square$

段 1（$X,Y$ が箱）。$X$、$Y$ の辺の長さを $x_i$、$y_i$ とすると、$X+Y$ は辺の長さ $x_i+y_i$ の箱である。重み付きの相加相乗平均の不等式 の定理（重み $1/n$）により
$$ \prod_{i=1}^n\Bigl(\frac{x_i}{x_i+y_i}\Bigr)^{1/n}+\prod_{i=1}^n\Bigl(\frac{y_i}{x_i+y_i}\Bigr)^{1/n}\le\frac1n\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{x_i+y_i}+\frac1n\sum_{i=1}^n\frac{y_i}{x_i+y_i}=1 $$
で、両辺に $\prod(x_i+y_i)^{1/n}=\lvert X+Y\rvert^{1/n}$ を掛ければよい。
段 2（$X,Y$ が箱の有限和集合）。内部が互いに交わらない有限個の箱の和集合として $X$、$Y$ を表し、箱の個数を $m(X)$、$m(Y)$ とする。$m(X)+m(Y)$ についての帰納法で示す。$m(X)=m(Y)=1$ は段 1 である。主張は $X,Y$ について対称なので、$m(X)\ge2$ としてよい。
(a) 2 つの箱 $P_1,P_2\subset X$ をとる。すべての座標 $i$ で $P_1,P_2$ の第 $i$ 辺の開区間が交われば、その共通部分の直積は $P_1,P_2$ の内部の共通部分に入って空でないので、ある $i$ で開区間が交わらない。すると $P_1\subset\{x_i\le c\}$、$P_2\subset\{x_i\ge c\}$ となる $c$ がある。$X$ を平行移動して $c=0$ としてよい（体積も、Minkowski 和の体積も変わらない）。
(b) $X$ の各箱 $P$ について $P\cap\{x_i\ge0\}$ のうち体積が正のものを集めた和集合を $X^+$、$P\cap\{x_i\le0\}$ について同様にしたものを $X^-$ とする。これらも内部が交わらない箱の和集合で、$P_1$ は $X^+$ に、$P_2$ は $X^-$ に寄与しないので $m(X^\pm)\le m(X)-1$ である。$X^+\supset P_2$、$X^-\supset P_1$ なので $\lambda:=\lvert X^+\rvert/\lvert X\rvert$ は $0<\lambda<1$ をみたし、$\lvert X^-\rvert=(1-\lambda)\lvert X\rvert$ である（$X^+\cap X^-$ と、捨てた体積 $0$ の部分は超平面 $\{x_i=0\}$ に入る）。
(c) $g(t):=\lvert(Y+te_i)\cap\{x_i\ge0\}\rvert$ は $t$ について連続である（超平面の測度は $0$ なので、測度の連続性から $t$ の増減で跳びがない）。$Y$ は有界なので、$t$ が十分小さければ $g(t)=0$、十分大きければ $g(t)=\lvert Y\rvert$ である。中間値の定理 により $g(t)=\lambda\lvert Y\rvert$ となる $t$ があるので、$Y$ をその平行移動に取り替える。$Y^\pm$ を $X^\pm$ と同様に定めると $\lvert Y^+\rvert=\lambda\lvert Y\rvert$、$\lvert Y^-\rvert=(1-\lambda)\lvert Y\rvert$ はどちらも正で、$m(Y^\pm)\le m(Y)$ である。
(d) $X^++Y^+\subset\{x_i\ge0\}$、$X^-+Y^-\subset\{x_i\le0\}$ はどちらも $X+Y$ に含まれ、共通部分は超平面に入る。$m(X^\pm)+m(Y^\pm)< m(X)+m(Y)$ なので帰納法の仮定が使え、
$$ \begin{aligned} \lvert X+Y\rvert&\ge\lvert X^++Y^+\rvert+\lvert X^-+Y^-\rvert\\ &\ge\bigl(\lvert X^+\rvert^{1/n}+\lvert Y^+\rvert^{1/n}\bigr)^n+\bigl(\lvert X^-\rvert^{1/n}+\lvert Y^-\rvert^{1/n}\bigr)^n\\ &=\lambda\bigl(\lvert X\rvert^{1/n}+\lvert Y\rvert^{1/n}\bigr)^n+(1-\lambda)\bigl(\lvert X\rvert^{1/n}+\lvert Y\rvert^{1/n}\bigr)^n \end{aligned} $$
である。$n$ 乗根をとれば主張になる。
段 3（コンパクト集合）。$j\ge1$ について、1 辺 $2^{-j}$ の格子 $2^{-j}\mathbb{Z}^n$ の閉立方体のうち $X$ と交わるもの（有限個）の和集合を $X_j$ とし、$Y_j$ も同様にとる。$\delta_j=\sqrt n\,2^{-j}$（立方体の対角線の長さ）とおくと $X\subset X_j\subset X+\delta_jU$、$Y\subset Y_j\subset Y+\delta_jU$ なので
$$ X_j+Y_j\subset(X+Y)+2\delta_jU $$
である。段 2 と $\lvert X_j\rvert\ge\lvert X\rvert$、$\lvert Y_j\rvert\ge\lvert Y\rvert$ から
$$ \bigl\lvert(X+Y)+2\delta_jU\bigr\rvert^{1/n}\ge\lvert X_j+Y_j\rvert^{1/n}\ge\lvert X\rvert^{1/n}+\lvert Y\rvert^{1/n} $$
が成り立つ。$X+Y$ はコンパクトなので、lem-iso-parallel の 2 により $j\to\infty$ で左辺は $\lvert X+Y\rvert^{1/n}$ に収束する。$\square$

$s,t\in J$、$0<\lambda<1$ とする。$y\in K_s$、$z\in K_t$ なら、$K$ の凸性から $\bigl((1-\lambda)y+\lambda z,\ (1-\lambda)s+\lambda t\bigr)\in K$ なので
$$ (1-\lambda)K_s+\lambda K_t\subset K_{(1-\lambda)s+\lambda t} $$
である。切り口はコンパクトで、$(1-\lambda)K_s$、$\lambda K_t$ も空でないコンパクト集合である。$\mathbb{R}^{n-1}$ の thm-iso-bm と $\lvert cZ\rvert_{n-1}^{1/(n-1)}=c\,\lvert Z\rvert_{n-1}^{1/(n-1)}$ から
$$ \varphi\bigl((1-\lambda)s+\lambda t\bigr)\ge\bigl\lvert(1-\lambda)K_s\bigr\rvert_{n-1}^{1/(n-1)}+\lvert\lambda K_t\rvert_{n-1}^{1/(n-1)}=(1-\lambda)\varphi(s)+\lambda\varphi(t) $$
である。$\square$

$K=\emptyset$ なら両辺は $0$ である。$K\ne\emptyset$ とし、$\varepsilon>0$ とする。$\lvert\varepsilon U\rvert=\varepsilon^n\omega_n$ なので、thm-iso-bm を $X=K$、$Y=\varepsilon U$ に使うと
$$ \lvert K+\varepsilon U\rvert\ge\bigl(\lvert K\rvert^{1/n}+\varepsilon\,\omega_n^{1/n}\bigr)^n\ge\lvert K\rvert+n\,\lvert K\rvert^{(n-1)/n}\omega_n^{1/n}\,\varepsilon $$
である（2 つめの不等号は 2 項展開の残りの項が $0$ 以上であることによる）。$\lvert K\rvert$ を引いて $\varepsilon$ で割り、$\varepsilon\to0+$ の下極限をとれば不等式になる。
等号：半径 $r$ の閉球では ex-iso-content の 1 から $\mathcal{M}(rU)=n\omega_nr^{n-1}$ で、右辺も $n\omega_n^{1/n}(\omega_nr^n)^{(n-1)/n}=n\omega_nr^{n-1}$ である。後半は、$\lvert B\rvert=\lvert K\rvert$ のとき右辺が $\mathcal{M}(B)$ に等しいことの言い換えである。$\square$