積分幾何学

同義語：integral geometry積分幾何

概要

前提知識: 凸集合, 媒介変数表示と曲線の長さ, Lebesgue測度, Fubiniの定理

積分幾何学（integral geometry）は、直線・平面・合同な図形の位置といった「幾何学的な対象の集まり」の上に、合同変換で変わらない測度を入れ、図形の長さ・面積などの量をその測度による積分で表す幾何学の分野である。積分幾何ともいう。代表的な結果が Cauchy–Crofton の公式 で、自分自身と交わらない平面曲線の長さは、その曲線と交わる直線を「交点の個数を重みにして」数えた量に等しい。
$$ 2\times(\text{曲線の長さ})=\int_{\text{直線全体}}(\text{直線と曲線の交点の個数})\,d(\text{直線}) $$
この公式から、凸図形の周の長さは各向きの幅の平均で決まること（Cauchy の周長公式）や、定幅図形の周の長さが $\pi\times$（幅）であること（Barbier の定理）が導ける。床に落とした針が平行線と交わる確率を求める Buffonの針も、同じ考え方の例である。
この記事では、平面の直線全体に合同変換で変わらない測度を入れ、Cauchy–Crofton の公式と Cauchy の周長公式を証明し、幾何確率への応用を述べる。最後に高次元への広がりを紹介する。

直線の空間と不変な測度

$\theta\in\mathbb{R}$ について $u_\theta:=(\cos\theta,\sin\theta)$ とおく。$\theta\in[0,\pi)$、$p\in\mathbb{R}$ について
$$ G(\theta,p):=\{x\in\mathbb{R}^2\mid\langle x,u_\theta\rangle=p\} $$
は単位法線 $u_\theta$ をもち、原点からの符号つきの距離が $p$ の直線である。平面の直線は単位法線を二つ（$\pm u$）もち、そのうち $[0,\pi)$ の角で表せるものはちょうど一つなので、$(\theta,p)\mapsto G(\theta,p)$ は $[0,\pi)\times\mathbb{R}$ から平面の直線全体の集合 $\mathcal{G}$ への全単射である。

直線の測度

$\mathcal{G}$ の上の関数 $f\colon\mathcal{G}\to[0,\infty]$ を $(\theta,p)$ の関数とみて、
$$ \int_{\mathcal{G}}f\,d\mu:=\int_0^\pi\Bigl(\int_{-\infty}^\infty f(G(\theta,p))\,dp\Bigr)d\theta $$
と定める（内側の積分が $\theta$ の可測関数になるときに考える）。集合 $A\subset\mathcal{G}$ の測度は $\mu(A):=\int_{\mathcal{G}}1_A\,d\mu$ である。

合同変換での不変性

$T$ を平面の合同変換（回転・平行移動・折り返しの合成）とすると、$\int_{\mathcal{G}}f(T(G))\,d\mu(G)=\int_{\mathcal{G}}f\,d\mu$ が成り立つ。

座標の変換が測度を保つ

回転・平行移動・原点を通る直線についての折り返しの場合に示せば、合成についても成り立つ。
平行移動 $T(x)=x+a$ では $T(G(\theta,p))=G(\theta,p+\langle a,u_\theta\rangle)$ なので、$\theta$ を固定した内側の積分は $p$ の平行移動で変わらない。
角 $\alpha$ の回転 $R_\alpha$ では $\langle R_\alpha x,u_{\theta+\alpha}\rangle=\langle x,u_\theta\rangle$ なので $R_\alpha(G(\theta,p))=\{y\mid\langle y,u_{\theta+\alpha}\rangle=p\}$ である。$\theta+\alpha$ を $\pi$ の整数倍だけずらして $[0,\pi)$ に入れた値を $\theta'$ とすると、$u_{\theta+\alpha}=\pm u_{\theta'}$ なので、これは $G(\theta',\pm p)$ である。$\theta$ を固定すれば $p\mapsto\pm p$ は内側の積分を変えない。また $\theta\mapsto\theta'$ は $[0,\pi)$ を有限個の区間に分けてそれぞれを平行移動し、$[0,\pi)$ に並べ直す写像なので、外側の積分も変えない。
角 $\beta$ の向きの直線についての折り返し $S$ では $S(u_\theta)=u_{2\beta-\theta}$ なので、同じく $S(G(\theta,p))=G(\theta'',\pm p)$（$\theta''$ は $2\beta-\theta$ を $[0,\pi)$ に入れた値）であり、$\theta\mapsto\theta''$ も区間ごとの平行移動と向きの反転で測度を保つ。$\square$

合同変換で変わらない滑らかな密度は、この $\mu$ の定数倍に限る（Nic26 Corollary 9.1.7、p. 384。この記事では証明しない）。この意味で $d\mu=dp\,d\theta$ は直線の空間の自然な測度であり、文献によって定数倍の正規化が異なる。

Cauchy–Crofton の公式

曲線 $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^2$ が 区分的に $C^1$ 級 であるとは、分点 $a=a_0< a_1<\cdots< a_k=b$ があって、各 $[a_{j-1},a_j]$ の上で $\gamma$ が $C^1$ 級であることをいう。その長さは $L(\gamma)=\int_a^b\lvert\gamma'(t)\rvert\,dt$ である（媒介変数表示と曲線の長さの定理「曲線の長さの公式」を各区間に使って足す）。直線 $G=G(\theta,p)$ について
$$ n_\gamma(G):=\#\{t\in[a,b]\mid\gamma(t)\in G\}=\#\{t\in[a,b]\mid\langle\gamma(t),u_\theta\rangle=p\}\in\{0,1,2,\dots,\infty\} $$
とおく。$\gamma$ が単射なら、これは直線と曲線の交点の個数である。
鍵になるのは、1 変数の関数の「値ごとの逆像の個数」を積分する次の補題である。

逆像の個数の積分

$\varphi\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ を $C^1$ 級とし、$N(p):=\#\varphi^{-1}(p)$ とおく。$N$ は Lebesgue 可測で
$$ \int_{-\infty}^\infty N(p)\,dp=\int_a^b\lvert\varphi'(t)\rvert\,dt $$
が成り立つ。

単調な区間に分ける

$Z:=\{t\in[a,b]\mid\varphi'(t)=0\}$ は閉集合で、$(a,b)\setminus Z$ は互いに交わらない高々可算個の開区間 $I_1,I_2,\dots$ の和集合である。各 $I_k$ の上で $\varphi'$ は連続で $0$ にならないので符号が一定で、$\varphi$ は $I_k$ で狭義単調である。よって $\varphi(I_k)$ は開区間で、微分積分学の基本定理からその長さは $\int_{I_k}\lvert\varphi'\rvert\,dt$ である。
次に $\varphi(Z)$ の Lebesgue 測度が $0$ であることを示す。$\varepsilon>0$ について $U:=\{t\in[a,b]\mid\lvert\varphi'(t)\rvert<\varepsilon\}$ は $[a,b]$ の相対開集合で $Z$ を含み、互いに交わらない高々可算個の（$[a,b]$ の中の）区間 $J_m$ の和集合である。平均値の定理により $\varphi(J_m)$ は長さ $\varepsilon\lvert J_m\rvert$ 以下の区間なので、$\varphi(Z)$ は全長 $\varepsilon(b-a)$ 以下の区間の族で覆われる。$\varepsilon$ は任意である。
$E:=\varphi(Z)\cup\{\varphi(a),\varphi(b)\}$ は測度 $0$ である。$p\notin E$ なら、$\varphi^{-1}(p)$ の各点はちょうど一つの $I_k$ に入り、$\varphi$ は $I_k$ で単射なので、$N(p)=\sum_k1_{\varphi(I_k)}(p)$ である。右辺は可測関数で、$N$ はそれと測度 $0$ の集合の外で一致するので可測であり、項別に積分して
$$ \int N(p)\,dp=\sum_k\lvert\varphi(I_k)\rvert=\sum_k\int_{I_k}\lvert\varphi'\rvert\,dt=\int_a^b\lvert\varphi'\rvert\,dt $$
を得る（最後は $Z$ の上で $\varphi'=0$ であることによる）。$\square$

Cauchy–Crofton の公式

$\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^2$ を区分的に $C^1$ 級の曲線とすると
$$ \int_{\mathcal{G}}n_\gamma\,d\mu=\int_0^\pi\Bigl(\int_{-\infty}^\infty n_\gamma(G(\theta,p))\,dp\Bigr)d\theta=2L(\gamma) $$
が成り立つ。

まず $\gamma$ が $C^1$ 級の場合を示す。$\theta$ を固定し、$\varphi_\theta(t):=\langle\gamma(t),u_\theta\rangle$ とおくと $n_\gamma(G(\theta,p))=\#\varphi_\theta^{-1}(p)$ なので、lem-ig-banach により
$$ \int_{-\infty}^\infty n_\gamma(G(\theta,p))\,dp=\int_a^b\lvert\langle\gamma'(t),u_\theta\rangle\rvert\,dt $$
である。右辺は $\theta$ の連続関数である。$v\ne0$ を $v=\lvert v\rvert u_\psi$ と書くと、$\lvert\cos\rvert$ の周期が $\pi$ なので
$$ \int_0^\pi\lvert\langle v,u_\theta\rangle\rvert\,d\theta=\lvert v\rvert\int_0^\pi\lvert\cos(\theta-\psi)\rvert\,d\theta=\lvert v\rvert\int_0^\pi\lvert\cos s\rvert\,ds=2\lvert v\rvert $$
であり、$v=0$ でも成り立つ。被積分関数 $(t,\theta)\mapsto\lvert\langle\gamma'(t),u_\theta\rangle\rvert$ は長方形 $[a,b]\times[0,\pi]$ の上で連続なので、Fubiniの定理で積分の順序を交換して
$$ \int_0^\pi\int_a^b\lvert\langle\gamma'(t),u_\theta\rangle\rvert\,dt\,d\theta=\int_a^b2\lvert\gamma'(t)\rvert\,dt=2L(\gamma) $$
を得る。
区分的に $C^1$ 級の場合は、分点で $\gamma$ を $C^1$ 級の曲線 $\gamma_j:=\gamma|_{[a_{j-1},a_j]}$ に分ける。$\theta$ を固定すると、分点 $a_j$ の像を通る直線 $G(\theta,\langle\gamma(a_j),u_\theta\rangle)$ は有限個しかなく、それ以外の $p$ では $n_\gamma=\sum_jn_{\gamma_j}$ である。有限個の $p$ は内側の積分に影響しないので、各 $\gamma_j$ についての等式を足せばよい。$\square$

円と線分

半径 $r$ の円を 1 周する曲線 $\gamma(t)=r(\cos t,\sin t)$（$0\le t\le2\pi$）では、$t=0$ と $t=2\pi$ が同じ点を表すが、その点を通る直線は各 $\theta$ について 1 本なので積分に影響しない。各 $\theta$ について $\lvert p\rvert< r$ なら交点は $2$ 個、$\lvert p\rvert>r$ なら $0$ 個なので、$\int n\,d\mu=\pi\cdot2\cdot2r=4\pi r=2\cdot2\pi r$ である。
長さ $\ell$、向き $u_\psi$ の線分では、直線 $G(\theta,p)$ が線分と交わるのは $p$ が長さ $\ell\lvert\cos(\theta-\psi)\rvert$ の区間に入るときなので、$\int n\,d\mu=\ell\int_0^\pi\lvert\cos(\theta-\psi)\rvert\,d\theta=2\ell$ である。

凸図形の周の長さ：Cauchy の周長公式

$K\subset\mathbb{R}^2$ を内点をもつコンパクトな凸集合とする。向き $\theta$ の幅を
$$ w_K(\theta):=\max_{x\in K}\langle x,u_\theta\rangle-\min_{x\in K}\langle x,u_\theta\rangle $$
とおく。これは $K$ を $u_\theta$ の向きの直線に正射影した影の長さであり、定幅図形の定義「支持線・幅・定幅図形」の幅と同じものである。

凸集合と直線の交わり

$K$ を内点をもつコンパクトな凸集合、$m(\theta):=\min_K\langle x,u_\theta\rangle$、$M(\theta):=\max_K\langle x,u_\theta\rangle$ とする。

$c$ が $K$ の内点、$x\in K$ なら、$c$ と $x$ を結ぶ線分のうち $x$ を除く部分は $K$ の内点からなる。
$m(\theta)< p< M(\theta)$ なら、直線 $G(\theta,p)$ は $K$ の境界 $\partial K$ とちょうど 2 点で交わる。$p< m(\theta)$ または $p>M(\theta)$ なら $G(\theta,p)$ は $K$ と交わらない。

1。$B(c,\delta)\subset K$ とする。$0< s\le1$、$z:=(1-s)x+sc$ について、$B(z,s\delta)=(1-s)x+sB(c,\delta)$ は凸性により $K$ に含まれる。
2。後半は $m,M$ の定義から明らかである。前半を示す。$K$ の内点 $c$ と、$\langle x_1,u_\theta\rangle=m(\theta)$、$\langle x_2,u_\theta\rangle=M(\theta)$ となる $x_1,x_2\in K$ をとる。1 により、$s>0$ が小さければ $y_i:=(1-s)x_i+sc$ は内点で、$\langle y_1,u_\theta\rangle< p<\langle y_2,u_\theta\rangle$ である。$K$ の内点の集合は凸なので（1 から従う）、線分 $[y_1,y_2]$ の上の $\langle\cdot,u_\theta\rangle=p$ となる点 $c'$ は $K$ の内点で、$G:=G(\theta,p)$ の上にある。$G\cap K$ はコンパクトな凸集合なので $G$ の線分 $[A,B]$ であり、$c'$ のまわりの小さな円板が $K$ に入るので $A\ne B$ である。$A,B$ は $G$ の上でその先に $K$ の点がないので境界点である。一方、$A$ と $B$ の間の点は $[c',A)$ か $[c',B)$ に入るので、1 により内点である。よって $G\cap\partial K=\{A,B\}$ である。$\square$

Cauchy の周長公式

$K\subset\mathbb{R}^2$ を内点をもつコンパクトな凸集合とし、境界 $\partial K$ が、区分的に $C^1$ 級の曲線 $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^2$ で $[a,b)$ の上で単射、$\gamma(a)=\gamma(b)$、像が $\partial K$ となるもので表されるとする。$\partial K$ の長さを $L(\partial K):=L(\gamma)$ とすると
$$ L(\partial K)=\int_0^\pi w_K(\theta)\,d\theta $$
が成り立つ。

交点はほとんどいつも 2 個

$\theta$ を固定する。lem-ig-convex-line により、$m(\theta)< p< M(\theta)$ なら $G(\theta,p)$ と $\partial K$ の交点は 2 個である。$\gamma$ は $[a,b)$ で単射で $\gamma(b)=\gamma(a)$ なので、$n_\gamma(G(\theta,p))$ は、$G(\theta,p)$ が $\gamma(a)$ を通らなければ $2$、通れば $3$ である。後者の $p$ は一つしかない。$p< m(\theta)$ または $p>M(\theta)$ なら $n_\gamma=0$ である。$p=m(\theta),M(\theta)$ の 2 つの値は内側の積分に影響しない。したがって
$$ \int_{-\infty}^\infty n_\gamma(G(\theta,p))\,dp=2\bigl(M(\theta)-m(\theta)\bigr)=2w_K(\theta) $$
であり、thm-ig-crofton から $2L(\gamma)=\int_0^\pi2w_K(\theta)\,d\theta$ を得る。$\square$

右辺は境界の径数付けによらないので、$L(\partial K)$ も径数付けによらない。

Barbier の定理

thm-ig-cauchy の $K$ が幅 $w$ の定幅図形（すべての $\theta$ について $w_K(\theta)=w$）なら、$L(\partial K)=\pi w$ である。

thm-ig-cauchy の右辺が $\int_0^\pi w\,d\theta=\pi w$ になる。$\square$

周長公式の確かめ

辺の長さ $a,b$ の長方形 $[0,a]\times[0,b]$ では $w(\theta)=a\lvert\cos\theta\rvert+b\lvert\sin\theta\rvert$ で、$\int_0^\pi w\,d\theta=2a+2b$ は周の長さに一致する。
幅 $w$ の Reuleaux の三角形（定幅図形）の境界は半径 $w$、中心角 $\frac\pi3$ の円弧 3 本からなる区分的に $C^1$ 級の曲線なので、cor-ig-barbier により周の長さは $\pi w$ である。直接計算しても $3\cdot w\cdot\frac\pi3=\pi w$ である。

幾何確率への応用

$K$ と交わる直線の集合の測度は、$\theta$ ごとに $p\in[m(\theta),M(\theta)]$ の長さを積分したものなので、thm-ig-cauchy により $\mu(\{G\mid G\cap K\ne\emptyset\})=\int_0^\pi w_K\,d\theta=L(\partial K)$ である。この測度を全体の大きさで割れば、「$K$ と交わる直線を無作為に選ぶ」確率が定まる。

凸図形と交わる直線

$K'\subset K$ を、どちらも thm-ig-cauchy の仮定を満たす凸集合とする。$K$ と交わる直線を $\mu$ に従って無作為に選ぶとき、それが $K'$ とも交わる確率は $L(\partial K')/L(\partial K)$ である。

$K'\subset K$ なので、$K'$ と交わる直線は $K$ と交わる。確率は $\mu(\{G\mid G\cap K'\ne\emptyset\})/\mu(\{G\mid G\cap K\ne\emptyset\})$ であり、上で述べたことから $L(\partial K')/L(\partial K)$ に等しい。$\square$

たとえば単位円板と交わる直線が、その中の 1 辺 $1$ の正三角形（の閉包）とも交わる確率は $\frac3{2\pi}$ である。平行線の床に針を落とす Buffonの針の期待値の計算や、曲がった針についての Barbier の観察も、直線の測度が合同変換で変わらないことを使う同じ型の議論である。

高次元への広がり

この記事では次を証明しない。

Crofton の公式（高次元）：$\mathbb{R}^n$ のコンパクトな部分多様体や領域の体積・曲率の積分（曲率測度）は、余次元 $c$ のアフィン部分空間との交わりの量を、部分空間全体の不変な測度で積分したもので表される（Nic26 Theorem 9.3.20、p. 439、Theorem 9.3.29、p. 448。平面曲線の場合は Corollary 9.3.32、p. 452 で、測度の正規化が本記事と定数倍だけ異なる）。
管の公式：$\mathbb{R}^n$ の閉部分多様体の半径 $r$ の管状近傍の体積は、十分小さい $r$ について $r$ の多項式で、係数は曲率の積分で書ける（Nic26 Theorem 9.3.11、p. 430）。
運動公式：コンパクトな部分多様体と半径 $R$ の球の交わりの Euler 標数を球の中心の位置について積分すると、曲率測度に $R$ の冪を掛けた 1 次結合になる。Crofton の公式がこうした運動公式の特別な場合であることは S.-S. Chern が見いだした（Nic26 Remark 9.3.36、pp. 454–455）。
射影の平均：凸体の quermassintegral（混合体積の特別な場合）は、部分空間への射影の体積の平均で表される（Gar02 式 (73)、pp. 392–393）。thm-ig-cauchy はその平面での最も簡単な場合である。

反例：条件を外すと成り立たない

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-ig-crofton で交わりを径数の個数で数えること	線分 $[0,1]\times\{0\}$ を往復する曲線（長さ $2$）	交点の個数で数えると積分は $2$ で、$2L=4$ と合わない
def-ig-line-measure で向き $\theta$ を $[0,\pi)$ 全体で積分すること	$\theta$ を $[0,\frac\pi4]$ に制限し、長さ $1$ の水平な線分と垂直な線分を比べる	積分が $\frac{\sqrt2}2$ と $1-\frac{\sqrt2}2$ になり、長さで決まらない
thm-ig-cauchy の凸性	4 頂点 $(-1,0),(0,3),(1,0),(0,1)$ の凹四角形	周 $2\sqrt{10}+2\sqrt2$ だが $\int_0^\pi w\,d\theta=2\sqrt{10}+2$
cor-ig-sylvester の $K'$ の凸性	$K'$ を上の凹四角形、$K$ をそれを含む大きな円板	確率は $L(\partial K')/L(\partial K)$ でなく、凸包の周を使った値になる

表の反例の確かめ

各行で外れているのは一つの条件だけであることを確かめる。

確かめを開く

1 行目：$\gamma(t)=(t,0)$（$0\le t\le1$）、$\gamma(t)=(2-t,0)$（$1\le t\le2$）は区分的に $C^1$ 級で長さ $2$ である。$x$ 軸以外の直線は線分と高々 1 点で交わり、その点を通る $t$ は 2 つ（$t=1$ に当たる点 $(1,0)$ を通る直線を除く）なので $n_\gamma$ はその直線で $2$ であり、thm-ig-crofton のとおり $\int n_\gamma\,d\mu=4$ である。交点の個数（$1$）で数えると ex-ig-crofton-examples の 2 と同じく $2$ になる。

2 行目：向き $u_\psi$ の長さ $1$ の線分では内側の積分が $\lvert\cos(\theta-\psi)\rvert$ である（ex-ig-crofton-examples の 2）。水平（$\psi=0$）なら $\int_0^{\pi/4}\cos\theta\,d\theta=\frac{\sqrt2}2$、垂直（$\psi=\frac\pi2$）なら $\int_0^{\pi/4}\sin\theta\,d\theta=1-\frac{\sqrt2}2$ である。

3 行目：辺の長さは $\sqrt{10}$ が 2 本と $\sqrt2$ が 2 本である。$\langle\cdot,u_\theta\rangle$ の最大・最小は凸包の頂点でとられるので、幅は凸包（3 頂点 $(-1,0),(0,3),(1,0)$ の三角形）の幅に等しく、thm-ig-cauchy を三角形に使うと $\int_0^\pi w\,d\theta=2\sqrt{10}+2$ である。境界は区分的に $C^1$ 級の単純閉曲線で、外れているのは凸性だけである。

4 行目：連結な集合 $K'$ と交わらない直線について、$K'$ は直線の片側の開半平面に入り、その凸包も同じ側に入る。よって $K'$ と交わる直線と凸包と交わる直線は同じで、確率は（凸包の周）$/L(\partial K)=(2\sqrt{10}+2)/L(\partial K)$ であり、$L(\partial K')/L(\partial K)$ より小さい。