スマッシュ積(単体的集合)

要点：各次数で商集合の普遍性を使い、単体性は商写像が全射であることから確かめる。

各次数で写像 $\Phi_n\colon X_n\times Y_n\times Z_n\to((X\wedge Y)\wedge Z)_n$、$(u,v,w)\mapsto(u\wedge v)\wedge w$ を考える。これは 2 つの商写像と恒等写像の積の合成なので全射であり、$\alpha^{*}$ と可換である。
$\Phi_n(u,v,w)$ が基点であることは、$u\wedge v$ が基点であるか $w=z_n$ であること、すなわち $u=x_n$ または $v=y_n$ または $w=z_n$ であること、すなわち $(u,v,w)\in T_n$ と同値である。$(u,v,w)\notin T_n$ のとき、$u\wedge v$ は基点でない元としてただ 1 つの $(u,v)$ から来るので、$\Phi_n(u,v,w)=\Phi_n(u',v',w')$（どちらも $T_n$ の外）なら $(u,v,w)=(u',v',w')$ である。したがって $\Phi_n$ は全単射 $\bar\Phi_n\colon(X\times Y\times Z)_n/T_n\to((X\wedge Y)\wedge Z)_n$ を誘導する。$T$ が部分単体的集合であることは $\alpha^{*}(x_n)=x_m$ などによる。$\bar\Phi=(\bar\Phi_n)$ は、商写像との合成が $\alpha^{*}$ と可換なので単体的写像であり（商写像が全射であることを使う）、各次数で全単射な単体的写像の逆写像は単体的なので、$\bar\Phi$ は同型である。基点は基点に写る。
$X\wedge(Y\wedge Z)$ についても、$(u,v,w)\mapsto u\wedge(v\wedge w)$ に同じ議論を当てはめればよい。$\square$

ウェッジ和の余積としての普遍性（ウェッジ和(単体的集合) の定理「点付き単体的集合の圏の余積」）により、包含 $Y\to Y\vee Z$、$Z\to Y\vee Z$ と恒等写像の $\wedge$ から点付き単体的写像 $\Psi\colon(X\wedge Y)\vee(X\wedge Z)\to X\wedge(Y\vee Z)$ が定まる。これが各次数で全単射であることを確かめる。

まず、$n\ge1$ では基点の単体 $\ast_n$ は退化である。実際 $A_{n-1}$ の元 $a$ をとると（$A$ は空でないので、ある $A_m$ の元に $[0]\to[m]$ が定める写像を当てて $A_0$ の元を得、さらに $[n-1]\to[0]$ が定める写像を当てれば $A_{n-1}$ の元が得られる）、$s_0(a)\in A_n$ なので $\ast_n=q_n(s_0(a))=s_0(q_{n-1}(a))$ である。
1：$q_n(s)$ が退化、すなわち $q_n(s)=s_i(p)$（$p\in(K/A)_{n-1}$）と仮定する。$q_n(s)$ は基点でないので $p$ も基点でなく（$s_i$ は基点を基点に写す）、$p=q_{n-1}(t)$、$t\notin A_{n-1}$ と書ける。$q$ は単体的なので $q_n(s)=q_n(s_i(t))$ であり、$s_i(t)\notin A_n$ である（$A_n$ に入れば $q_n(s)$ が基点になる）。$q_n$ は $A_n$ の外で単射なので $s=s_i(t)$ となり、$s$ が非退化であることに反する。
2：1 により写像は定まり、$A_n$ の外での単射性から単射である。全射性：$K/A$ の非退化 $n$ 単体 $p$ は、上で見たとおり基点でないので $p=q_n(s)$、$s\notin A_n$ と書ける。$s$ が退化、$s=s_i(t)$ なら $p=s_i(q_{n-1}(t))$ も退化になるので、$s$ は非退化である。$\square$

$n\ge1$ の主張は、lem-sss-quotient-nondegenerate の 2 を $K=X\times Y$、$A=X\vee Y$ に当てはめ、$(u,v)\notin X\vee Y$ が $u\neq x_n$ かつ $v\neq y_n$ と同値であること、積の単体 $(u,v)$ が退化であることが「ある $i$ で $u\in s_i(X_{n-1})$ かつ $v\in s_i(Y_{n-1})$」と同値であること（節「定義」）を使えばよい。$0$ 次では、$(X\wedge Y)_0$ は基点と、$u\neq x$、$v\neq y$ の組の類からなる。$[0]$ から出る余退化はないので、$0$ 単体はすべて非退化である。$\square$

段 1：押し出しとしての表示。 $X\wedge Y$ は、単体的集合の図式 $\Delta^0\leftarrow X\vee Y\hookrightarrow X\times Y$ の押し出しである。実際、余極限は次数ごとに計算され（単体的集合 の定理「極限と余極限の次数ごとの計算」）、各次数での押し出しは $(X\times Y)_n$ の部分集合 $(X\vee Y)_n$ を一点に潰した集合だからである（$(X\vee Y)_n$ は空でない）。幾何学的実現は余極限を保つので（幾何学的実現 の系「余極限の保存」）、$\lvert X\wedge Y\rvert$ は一点空間と $\lvert X\times Y\rvert$ の $\lvert X\vee Y\rvert$ に沿った押し出し、すなわち $\lvert X\vee Y\rvert$ の像 $\lvert X\times Y\rvert_{X\vee Y}$ を一点に潰した商空間 $\lvert X\times Y\rvert/\lvert X\times Y\rvert_{X\vee Y}$ と同相である。
段 2：積の実現。 比較写像 $\pi\colon\lvert X\times Y\rvert\to\lvert X\rvert\times_k\lvert Y\rvert$、$[(u,v),t]\mapsto([u,t],[v,t])$ は同相写像である（幾何学的実現と積(Milnorの定理) の定理「幾何学的実現と積」）。$X\times\{y_\bullet\}$（各次数 $X_n\times\{y_n\}$）の単体 $(u,y_n)$ の上の点は $\pi$ で $([u,t],[y_n,t])=([u,t],\bar y)$ に写る。ここで $\bar y$ は $y$ の実現の点であり、$[y_n,t]=\bar y$ は $y_n$ が $y$ の退化であることによる。$u$ と $t$ を動かすと $[u,t]$ は $\lvert X\rvert$ 全体を動くので、$\pi(\lvert X\times Y\rvert_{X\times\{y_\bullet\}})=\lvert X\rvert\times\{\bar y\}$ である。同様に $\pi(\lvert X\times Y\rvert_{\{x_\bullet\}\times Y})=\{\bar x\}\times\lvert Y\rvert$ であり、$X\vee Y$ はこの 2 つの部分単体的集合の和なので、$\pi$ は $\lvert X\times Y\rvert_{X\vee Y}$ を $\lvert X\rvert\vee\lvert Y\rvert$ の上に写す。
段 3：商の同相。 同相写像 $\pi$ が部分集合 $B$ を部分集合 $B'$ の上に写すとき、$\pi$ は商空間の同相 $\lvert X\times Y\rvert/B\to(\lvert X\rvert\times_k\lvert Y\rvert)/B'$ を誘導する（$\pi$ と $\pi^{-1}$ がそれぞれ商写像と合成して潰す点を潰す点に写すので、商位相の普遍性から両方向の連続写像が得られ、互いに逆である）。段 1 と合わせて主張の同相を得る。基点は潰した点どうしが対応する。
段 4：局所コンパクトな場合。 $\lvert X\rvert$ は CW 複体なので $k$-空間であり（幾何学的実現 の定理「幾何学的実現の CW 構造」）、$\lvert Y\rvert$ が局所コンパクトなら $\lvert X\rvert\times_k\lvert Y\rvert$ は直積位相の $\lvert X\rvert\times\lvert Y\rvert$ に等しい（コンパクト生成空間 の命題「$k$-空間の圏の直積」）。非退化単体が有限個なら $\lvert Y\rvert$ はコンパクト Hausdorff であり（幾何学的実現 の系「実現の位相的性質」）、局所コンパクトである。$\square$

$n=1$。 $S^1=\Delta^1/\partial\Delta^1$ は図式 $\Delta^0\leftarrow\partial\Delta^1\hookrightarrow\Delta^1$ の押し出しなので、prf-sss-realization の段 1 と同じく、$\lvert S^1\rvert$ は $\lvert\Delta^1\rvert=[0,1]$ から $\lvert\partial\Delta^1\rvert$ の像 $\{0,1\}$ を一点に潰した空間である。$e(t):=\exp(2\pi it)$ は $\{0,1\}$ を $1$ に写す $[0,1]$ から円周への商写像なので（スマッシュ積 の注意「被約懸垂の記述」）、$[0,1]/\{0,1\}$ は円周と点付き同相である。
帰納法。 $W_n:=S^1\wedge\dots\wedge S^1$（$n$ 個）とおくと、thm-sss-associative により $W_n\cong W_{n-1}\wedge S^1$ であり、thm-sss-realization と球面のスマッシュ積に帰着する。

要点：積と写像の単体的集合の随伴で $F=f\circ q\colon K\times X\to Y$ と $G\colon X\to\operatorname{Map}(K,Y)$ を対応させ、「$K\vee X$ を基点へ送る」という条件が「$G$ が $\operatorname{Map}_*(K,Y)$ に値をとり基点を保つ」に一致することを確かめる。

基点の包含 $i\colon\Delta^0\to K$ は単射で、$p\colon Y\to\Delta^0$ は Kan ファイブレーションである（$Y$ が Kan 複体であることの言い換え）。単体的集合のKan–Quillenモデル構造 の系「単体的モデル構造」の 2 により、$r_{i,p}\colon\operatorname{Map}(K,Y)\to\operatorname{Map}(\Delta^0,Y)\times_{\operatorname{Map}(\Delta^0,\Delta^0)}\operatorname{Map}(K,\Delta^0)$ は Kan ファイブレーションである。$\operatorname{Map}(K,\Delta^0)$ と $\operatorname{Map}(\Delta^0,\Delta^0)$ は各次数で一点なので、右辺は $\operatorname{Map}(\Delta^0,Y)\cong Y$ であり、$r_{i,p}$ は評価 $\mathrm{ev}$ である。
$\operatorname{Map}_*(K,Y)$ は $\mathrm{ev}$ の $y$ の上のファイバーなので、Kan 複体である。実際、ホーン $h\colon\Lambda^n_j\to\operatorname{Map}_*(K,Y)$ について、$\mathrm{ev}\circ h$ は $y$ の退化への定値写像なので、$y$ の退化への定値写像 $\Delta^n\to Y$ と合わせて $\mathrm{ev}$ の持ち上げの問題ができる。その解 $\tilde h\colon\Delta^n\to\operatorname{Map}(K,Y)$ は $\mathrm{ev}\circ\tilde h$ が定値なので $\operatorname{Map}_*(K,Y)$ に値をとり、$h$ を延長する。$\square$