多様体の二重化

段 1（$W$ と $\Theta$）．$\Theta$ は閉集合 $\partial M\times[0,1)$、$\partial M\times(-1,0]$ の上でそれぞれ連続で、共通部分 $t=0$ で一致するので連続である。$t>0$ の点は $O_0$ に、$t<0$ の点は $O_1$ に、$t=0$ の点は $i_0(\partial M)$ に写り、それぞれの上で $c$ が単射なので、$\Theta$ は単射である。$\sigma(p,t):=(p,-t)$ とおくと、$\partial M\times(-1,1)$ の開集合 $O$ について
$$ \pi^{-1}(\Theta(O))=c\bigl(O\cap(\partial M\times[0,1))\bigr)\times\{0\}\ \cup\ c\bigl(\sigma(O)\cap(\partial M\times[0,1))\bigr)\times\{1\} $$
であり、$c$ は $\partial M\times[0,1)$ から $M$ の開集合 $V$ への同相写像なので右辺は開集合である。よって $\Theta(O)$ は開集合で、$\Theta$ は開写像、したがって開集合 $W=\Theta(\partial M\times(-1,1))$ への同相写像である。
段 2（$O_\epsilon$）．$\pi^{-1}(O_0)=\operatorname{Int}M\times\{0\}$ は開集合なので $O_0$ は開集合で、$i_0$ は $\operatorname{Int}M$ から $O_0$ への連続な全単射、逆写像は $r$ の制限なので同相写像である。$O_1$ も同じ。$D(M)=M_0\cup M_1$ の点は、$\partial M$ の像なら $W$ に、そうでなければ $O_0$ か $O_1$ に属する。
段 3（Hausdorff 性と第 2 可算性）．異なる 2 点 $x,y$ について、$r(x)\ne r(y)$ なら、$M$ で $r(x)$、$r(y)$ を分ける交わらない開集合の $r$ による逆像が $x,y$ を分ける。$r(x)=r(y)=:a$ なら $a\notin\partial M$（$\partial M$ の点なら $x=y$）であり、$x,y$ は $i_0(a)$、$i_1(a)$ なので、交わらない開集合 $O_0$、$O_1$ が分ける。第 2 可算性は、第 2 可算な空間と同相な 3 つの開集合 $O_0,O_1,W$ の可算基の和が $D(M)$ の可算基になることによる。
段 4（座標変換）．$O_0\cap O_1=\emptyset$ である。$O_0\cap W=\Theta(\partial M\times(0,1))$ の上で $\Theta^{-1}\circ i_0=c^{-1}$、$O_1\cap W=\Theta(\partial M\times(-1,0))$ の上で $\Theta^{-1}\circ i_1=\sigma\circ c^{-1}$ であり、$c^{-1}$ は $V\setminus\partial M$ から $\partial M\times(0,1)$ への微分同相写像なので、(ii) の座標近傍どうしの座標変換はすべて $C^\infty$ 級である。これで (i)(ii) が示された。
段 5（$M_\epsilon$）．$M_0$ が閉集合であることは定義の後で見た。$\Theta$ の座標で
$$ M_0\cap W=\Theta\bigl(\partial M\times[0,1)\bigr)=\{\Theta(p,t)\mid t\ge0\} $$
である。したがって $M_0$ の点のうち $W\setminus O_0$ に属するもの、すなわち $i_0(\partial M)$ の点のまわりでは、$\partial M$ の座標 $y$ と $t$ を並べた $D(M)$ の局所座標 $(-t,y)$ で $M_0=\{-t\le0\}$ と表される。$D(M)$ における $M_0$ の内点の全体は $O_0$ である。境界付き多様体 の命題「Stokes の定理の記事の定義との関係」により、$M_0$ は境界 $i_0(\partial M)$ をもつ滑らかな境界付き多様体であり、その座標近傍はこれらの局所座標の制限である。$i_0$ を座標で書くと、$\operatorname{Int}M$ の上では恒等写像、$V$ の上では $\Theta^{-1}\circ i_0\circ c=$（$\partial M\times[0,1)\hookrightarrow\partial M\times(-1,1)$ の包含）なので、$i_0$ と逆写像 $r|_{M_0}$ は滑らかであり、$i_0\colon M\to M_0$ は微分同相写像である。$M_1$ も同じで、$\partial M_0=\partial M_1=i_0(\partial M)=M_0\cap M_1$ である。
段 6（(iv)）．$M$ がコンパクトなら $D(M)=\pi(M\times\{0,1\})$ はコンパクトな空間の連続像なのでコンパクトである。逆に $D(M)$ がコンパクトなら閉集合 $M_0$ はコンパクトで、$M=r(M_0)$ もコンパクトである。$M$ が連結なら、$M_0$ と $M_1$ は連結で、空でない $i_0(\partial M)$ を共有するので、和 $D(M)$ は連結である。逆に $D(M)$ が連結なら、その連続像 $M=r(D(M))$ は連結である。$\square$

$c$ がカラーであること：$\rho\colon[0,1)\to(0,1]$ は滑らかで $\rho'(t)=-1/\bigl((1+t)^2\rho(t)\bigr)<0$ なので、逆写像 $r\mapsto(1-r^2)/(1+r^2)$ も滑らかな全単射である。よって $c$ は $S^{n-1}\times[0,1)$ から開集合 $D^n\setminus\{0\}$ への微分同相写像（逆写像 $x\mapsto\bigl(x/\lvert x\rvert,\ (1-\lvert x\rvert^2)/(1+\lvert x\rvert^2)\bigr)$）で、$c(p,0)=p$ である。
$F$ が全単射であること：$F\circ i_0$ は南極 $(0,-1)$ からの立体射影の逆写像で、$D^n$ を閉じた上半球 $\{z\ge0\}$ の上へ全単射に写す（$z=(1-\lvert x\rvert^2)/(1+\lvert x\rvert^2)\ge0\iff\lvert x\rvert\le1$）。$F\circ i_1$ は同様に $D^n$ を閉じた下半球の上へ写す。$\lvert x\rvert=1$ では両者はともに $(x,0)$ なので $F$ は well-defined であり、上半球と下半球は赤道 $\{z=0\}$ だけを共有するので $F$ は全単射である。
$F$ が微分同相写像であること：$O_0$、$O_1$ の上では $F$ は立体射影の逆写像を開円板に制限したものなので、開半球の上への微分同相写像である。$W$ の上では、$x=\rho(t)p$ とおくと $\lvert x\rvert^2=(1-t)/(1+t)$、$1+\lvert x\rvert^2=2/(1+t)$ なので
$$ F\bigl(\Theta(p,t)\bigr)=\bigl(\sqrt{1-t^2}\,p,\ t\bigr)\qquad(p\in S^{n-1},\ -1< t<1) $$
となる（$t<0$ の側も、$i_1(c(p,-t))$ の第 2 成分が $-(-t)=t$ になって同じ式になる）。これは $S^{n-1}\times(-1,1)$ から $S^n\setminus\{(0,\pm1)\}$ への滑らかな全単射で、逆写像 $(y,z)\mapsto(y/\lvert y\rvert,z)$ も滑らかである。$F$ は 3 つの開集合の上でそれぞれ開集合への微分同相写像に一致する全単射なので、微分同相写像である。$\square$

$D(M)$ が向き付け可能なら、その開集合 $O_0$ も向き付け可能であり、$O_0$ は $\operatorname{Int}M$ と微分同相なので $M$ は向き付け可能である。
逆を示す。要点は、$W\cong\partial M\times(-1,1)$ に「$\partial M$ の向き $\times$ $t$ の増える向き」という積の向き $o_W$ を入れると、$t>0$ の側では $\Theta=i_0\circ c$ が $o$ と合い、$t<0$ の側では $\Theta=i_1\circ c\circ\sigma$（$\sigma(p,t)=(p,-t)$ は $t$ の向きを反転する）が $-o$ と合うことである。

$r$ の連続性と $r\circ i_0=\mathrm{id}_M$ は定義の後で見た。関手性から $r_*\circ(i_0)_*=\mathrm{id}$ なので $(i_0)_*$ は単射であり、$x\mapsto\bigl(r_*x,\ x-(i_0)_*r_*x\bigr)$ が $H_k(D(M))$ から $H_k(M)\oplus\ker r_*$ への同型を与える（逆写像は $(a,b)\mapsto(i_0)_*a+b$）。$\square$

$\partial M=\emptyset$ なら $D(M)=M\sqcup M$ で両辺は $2\chi(M)$ である。$\partial M\ne\emptyset$ とし、
$$ A:=M_0\cup\Theta\bigl(\partial M\times(-\tfrac12,0]\bigr),\qquad B:=M_1\cup\Theta\bigl(\partial M\times[0,\tfrac12)\bigr) $$
とおく。$\pi^{-1}(A)=M\times\{0\}\cup c(\partial M\times[0,1/2))\times\{1\}$ は開集合なので $A$ は開集合であり、$B$ も同じである。$A\cup B=D(M)$、$A\cap B=\Theta(\partial M\times(-1/2,1/2))$ である。
$A$ は $M_0$ に変形レトラクトする：$h_s$ を $M_0$ の上で恒等写像、$\Theta(p,t)$（$-1/2< t\le0$）に対して $h_s(\Theta(p,t))=\Theta(p,(1-s)t)$ と定める。$M_0$ と $\Theta(\partial M\times(-1/2,0])$ はそれぞれ $A$ の開集合 $\Theta(\partial M\times(-1/2,0))$ と $O_0$ の補集合なので $A$ の閉集合であり、共通部分 $i_0(\partial M)$ の上で 2 つの定義は一致するので、$h$ は連続である。同様に $B$ は $M_1$ に、$A\cap B$ は $\Theta(\partial M\times\{0\})\cong\partial M$ に変形レトラクトする。ホモトピー同値な空間のホモロジーは同型なので、$H_k(A)\cong H_k(M)$、$H_k(B)\cong H_k(M)$、$H_k(A\cap B)\cong H_k(\partial M)$ である（$\partial M$ はコンパクトな多様体 $M$ の閉集合なので、コンパクトな境界のない多様体であり、ホモロジーは有限生成）。
Mayer–Vietoris完全列 の定理「Mayer–Vietoris 完全列」により、有限生成アーベル群の完全列
$$ \cdots\to H_k(A\cap B)\to H_k(A)\oplus H_k(B)\to H_k(D(M))\to H_{k-1}(A\cap B)\to\cdots\to H_0(D(M))\to0 $$
があり、十分大きい $k$ では $0$ である。有限個の項をもつ有限生成アーベル群の完全列では、階数の交代和は $0$ である。

境界のない閉多様体で次元が奇数のものの Euler 標数は $0$ である（Hat02 Corollary 3.37、p. 249。Poincaré 双対による）。1：$D(M)$ は $n$ 次元の閉多様体なので $\chi(D(M))=0$ であり、thm-dbl-euler から $\chi(\partial M)=2\chi(M)$ である。2：$\partial M$ は $n-1$ 次元（奇数）の閉多様体なので $\chi(\partial M)=0$ である。$\square$