解析的同型(代数幾何学)

$\theta\colon\widehat{\mathcal{O}}_P\to\widehat{\mathcal{O}}_Q$ を $k$ 代数の同型とする。$\theta(\widehat{\mathfrak{m}}_P^n)=\widehat{\mathfrak{m}}_Q^n$ なので、$\theta$ は $k$ 代数の同型 $\widehat{\mathcal{O}}_P/\widehat{\mathfrak{m}}_P^n\cong\widehat{\mathcal{O}}_Q/\widehat{\mathfrak{m}}_Q^n$ と、次数付き $k$ 代数の同型 $\operatorname{gr}\widehat{\mathcal{O}}_P\cong\operatorname{gr}\widehat{\mathcal{O}}_Q$ を引き起こす。定義の直後に述べた同型 $\mathcal{O}_P/\mathfrak{m}_P^n\cong\widehat{\mathcal{O}}_P/\widehat{\mathfrak{m}}_P^n$ と $\operatorname{gr}\mathcal{O}_P\cong\operatorname{gr}\widehat{\mathcal{O}}_P$（AM69 Proposition 10.22、p. 111）を合わせると、1 の等式と 3 が従う。
1 の残り：$n\mapsto\dim_k\mathcal{O}_P/\mathfrak{m}_P^n$ は $n$ が大きいとき多項式で、その次数が $\dim\mathcal{O}_P$（Hilbert–Samuel多項式 の定理「Hilbert–Samuel 次元定理」、AM69 Theorem 11.14、p. 121）、最高次の係数に $(\dim\mathcal{O}_P)!$ を掛けたものが $e(\mathcal{O}_P)$ である（Hilbert–Samuel多項式 の定義「Hilbert–Samuel 重複度」）。埋め込み次元は $n=2$ の値から $1$ を引いたものである。2：非特異は $\dim\mathcal{O}_P=\dim_k\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$（正則局所環）なので 1 から従う。4：平面曲線の点の重複度 $r$ は Hilbert–Samuel 重複度に等しい（接錐 の定理「超曲面の点の重複度」）。$\square$

冪級数環 $k[\![x_1,\dots,x_n]\!]$ は多様体 $\mathbb{A}^n$ の原点の局所環 $k[x]_{(x)}$ の完備化であり、原点は非特異なので、「同型 ⇒ 非特異」は prop-ai-invariants の 2 から従う。
逆に $P$ を非特異とし、$\mathfrak{m}_P$ を生成する $t_1,\dots,t_n$（正則パラメータ系）をとる。$k$ 代数の準同型 $\varphi\colon k[x_1,\dots,x_n]\to\mathcal{O}_P$、$x_i\mapsto t_i$ は $(x)^j$ を $\mathfrak{m}_P^j$ に写す。随伴次数環の写像 $\operatorname{gr}\varphi\colon k[x]\to\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}_P}\mathcal{O}_P$ は、$\mathfrak{m}_P^j/\mathfrak{m}_P^{j+1}$ が $t$ の $j$ 次の単項式の像で張られるので全射である。AM69 Lemma 10.23 (ii)（p. 112）により、完備化の写像 $\hat\varphi\colon k[\![x]\!]\to\widehat{\mathcal{O}}_P$ は全射である。
$\ker\hat\varphi\neq0$ と仮定する。$k[\![x]\!]$ は整域で（最低次の斉次成分の積は $0$ でない）、$\dim k[\![x]\!]=n$ である（$\dim k[x]_{(x)}=n$ であり（AM69 p. 121 の例）、完備化で次元が変わらないことは prf-ai-invariants と同じ議論による）。$\ker\hat\varphi$ を含む素イデアル $\mathfrak{p}$ は $0$ でないので、$k[\![x]\!]/\mathfrak{p}$ の素イデアルの鎖の前に $0\subsetneq\mathfrak{p}$ を付け足すと、$\dim k[\![x]\!]/\mathfrak{p}\le n-1$ である。よって $\dim\widehat{\mathcal{O}}_P=\dim k[\![x]\!]/\ker\hat\varphi\le n-1$ となるが、prop-ai-invariants の証明により $\dim\widehat{\mathcal{O}}_P=\dim\mathcal{O}_P=n$ であり、矛盾する。ゆえに $\hat\varphi$ は同型である。$\square$

要点：互いに素なので核は $(ch,-cg)$ の形に限られ、次元を数えると像が $S_d$ 全体になる。

$g_s:=g$、$h_t:=h$ とする。$f=\tilde g\tilde h$ の次数 $r+j$ の部分は
$$ g_sh_{t+j}+h_tg_{s+j}=f_{r+j}-\sum_{\substack{i+i'=j\\ i,i'\ge1}}g_{s+i}h_{t+i'}\qquad(j\ge1) $$
であり、$j=0$ の部分は $f_r=gh$ で成り立っている。$j\ge1$ について、右辺は $j-1$ 以下の段で決めた $g_{s+i},h_{t+i'}$ だけで決まる $r+j$ 次の斉次式である。$r+j\ge s+t-1$ なので、lem-ai-forms により $h_{t+j}\in S_{t+j}$、$g_{s+j}\in S_{s+j}$ を選んで等式を成り立たせられる。こうして帰納的に定めた $\tilde g,\tilde h$ について、$\tilde g\tilde h$ と $f$ はすべての次数で一致する。$\square$

準備。$u,v\in(x,y)\subset k[\![x,y]\!]$ の 1 次の部分が一次独立なら、$x\mapsto u$、$y\mapsto v$ で定まる $k$ 代数の準同型 $\sigma\colon k[\![x,y]\!]\to k[\![x,y]\!]$ は同型である。実際、$\sigma$ が随伴次数環に引き起こす写像は 1 次の変数変換なので全単射であり、AM69 Lemma 10.23（p. 112）により $\sigma$ は全単射である（通常2重点 の補題「形式的な座標変換」と同じ）。このとき $\sigma$ はイデアル $(F)$ を $(\sigma(F))$ に写すので、$k[\![x,y]\!]/(F)\cong k[\![x,y]\!]/(\sigma(F))$ である。
通常 $r$ 重点では $f_r=\ell_1\cdots\ell_r$（相異なる 1 次式）であり、thm-ai-splitting を $\ell_1$ と $\ell_2\cdots\ell_r$ に当て、残りに繰り返すと、$f=u_1\cdots u_r$（$u_i$ の 1 次の部分が $\ell_i$）と書ける。
1：$\sigma\colon x\mapsto u_1$、$y\mapsto u_2$ は同型で $\sigma(xy)=f$ なので、$\widehat{\mathcal{O}}\cong k[\![x,y]\!]/(f)\cong k[\![x,y]\!]/(xy)$ である。
2：$\sigma\colon x\mapsto u_1$、$y\mapsto u_2$ をとり、$u_3=\sigma(G)$ とする。$G$ の各単項式を $x$ を含むものと $y$ の冪だけのものに分けて $G=xA_0+yB_0$ と書くと、$u_3=u_1A+u_2B$（$A:=\sigma(A_0)$、$B:=\sigma(B_0)$）であり、1 次の部分を比べて $\ell_3=a\ell_1+b\ell_2$（$a=A(0)$、$b=B(0)$）である。$\ell_3$ は $\ell_1,\ell_2$ のどちらとも比例しないので $a,b\neq0$ であり、$A,B$ は単元である。$X:=u_1A$、$Y:=u_2B$ の 1 次の部分 $a\ell_1,b\ell_2$ は一次独立なので、$\tau\colon x\mapsto X$、$y\mapsto Y$ は同型で、
$$ \tau\bigl(xy(x+y)\bigr)=XY(X+Y)=AB\cdot u_1u_2u_3=AB\cdot f $$
である。$AB$ は単元なので $(\tau(xy(x+y)))=(f)$ であり、$\widehat{\mathcal{O}}\cong k[\![x,y]\!]/(xy(x+y))$ である。
3：$\theta\colon\widehat{\mathcal{O}}_P\to\widehat{\mathcal{O}}_Q$ を同型とし、$P,Q$ の方程式の最低次の部分を $f_4,g_4$ とする。prop-ai-invariants の 3 と 接錐 の系「超曲面の接錐」により、$\theta$ は次数付き $k$ 代数の同型 $k[x,y]/(f_4)\to k[x,y]/(g_4)$ を引き起こす。両辺は 1 次の部分で生成され、1 次の部分は $kx\oplus ky$ そのものなので、この同型は可逆な線形変換 $L$ による変数の代入 $F\mapsto F\circ L$ から来ており、$f_4\circ L$ は $(g_4)$ の 4 次の部分 $kg_4$ に入る。よって $f_4\circ L=cg_4$（$c\neq0$）であり、$L$ が引き起こす $\mathbb{P}^1$ の射影変換は $g_4$ の 4 つの零点を $f_4$ の 4 つの零点に移す。$xy(x-y)(x-\lambda y)$ の零点は $\mathbb{P}^1$ の $\{0,\infty,1,\lambda\}$（の並べ替え）である。射影変換が 4 点の集合を 4 点の集合に移すとき、移った先の 4 点を並べた複比は、もとの 4 点をある順に並べた複比に等しい（複比 の定理「複比の基本定理」の 1）。同定理の 2 により $(\infty,0;1,d)=d$ なので、$\{0,\infty,1,\lambda'\}$ が $\{0,\infty,1,\lambda\}$ の像なら、$\lambda'=(\infty,0;1,\lambda')$ は $0,\infty,1,\lambda$ をある順に並べた複比に等しく、複比 の定理「並べ替えと 6 つの値」によりその値は高々 6 個である。$k$ は無限体なので、無限個の型がある。$\square$

$P$ のアフィン近傍を $V(F_1,\dots,F_s)\subset\mathbb{A}^N$、$P=0$ とすると、$\mathcal{O}_P=\mathbb{C}[z]_{(z)}/(F)$、$\mathcal{O}^{\mathrm{an}}_P=\mathbb{C}\{z\}/(F)$ である（解析化 の定義「アフィンスキームの解析化」）。$\mathbb{C}\{z\}/(z)^n=\mathbb{C}[z]/(z)^n$ なので（解析代数 の補題「単項式による分割」。1 変数では 完備化 の例「収束冪級数環との違い」）、$\mathbb{C}[z]_{(z)}$ と $\mathbb{C}\{z\}$ はどちらも同じ逆系の極限として $\mathbb{C}[\![z]\!]$ を完備化にもち、完備化は有限生成加群の完全列を保つので、どちらの完備化も $\mathbb{C}[\![z]\!]/(F)$ である。後半：同型 $(X^{\mathrm{an}},P)\cong(Y^{\mathrm{an}},Q)$ は $\mathbb{C}$ 代数の同型 $\mathcal{O}^{\mathrm{an}}_Q\cong\mathcal{O}^{\mathrm{an}}_P$ を引き起こし、それは極大イデアルを保つので完備化の同型を引き起こす。$\square$

要点：1 の「解析的に同型 ⇒ エタール局所的に同型」は Artin の近似定理の帰結で、この記事では証明しない。逆向きはエタール射が完備局所環の同型を引き起こすことから従い、2 はこれを Weierstrass の有限性定理で解析局所環に持ち上げる。