ファイバーの次元の上半連続性

被約化しても位相空間は変わらないので $T$ は整としてよい。$T$ の空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec}C$ はすべて同じ関数体 $\operatorname{Frac}C$ をもつので、Krull次元の定理「体上有限生成な環の次元」の 2 により次元はすべて $\operatorname{trdeg}_K\operatorname{Frac}C$ に等しい。$T$ の既約閉集合の鎖 $Z_0\subsetneq\cdots\subsetneq Z_m$ は、$Z_0$ と交わるアフィン開集合に制限しても真の鎖のまま（既約閉集合は空でない開集合で稠密）なので、$\dim T$ はアフィン開集合の次元の最大値であり、1 が成り立つ。2：$F$ の既約成分 $F'$ と、$F'$ と交わるアフィン開集合 $\operatorname{Spec}C$ をとる。$F'\cap\operatorname{Spec}C=V(P)$（$P\ne0$ は素イデアル）であり、同じ定理の 3 により $\dim C/P=\dim C-\operatorname{ht}P<\dim C$ である。1 を $F'$ にも当てれば $\dim F'<\dim T$ である。$\square$

準備。 $Y$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ と、$f^{-1}(V)$ に含まれる $X$ の空でないアフィン開集合 $W=\operatorname{Spec}B$ をとる。$W$ は $X$ で稠密で $f$ は優勢なので $f(W)$ は $V$ で稠密であり、$A\to B$ は単射である。$A,B$ は $k$ 上有限型の整域で、lem-fd-dimension-facts により $\operatorname{trdeg}_{\operatorname{Frac}A}\operatorname{Frac}B=\dim X-\dim Y=e$ である。$\mathfrak{p}\in V$ のファイバーは $W_{\mathfrak{p}}=\operatorname{Spec}(B\otimes_A\kappa(\mathfrak{p}))$ で、その点は $\mathfrak{q}\cap A=\mathfrak{p}$ となる $B$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ に対応する（スキームのファイバーの命題「アフィン射のファイバー環」）。
1。 $Z$ を $X_y$ の既約成分、$\xi$ をその生成点とし、上の $V\ni y$ と $W\ni\xi$ をとる。$\xi$ は $\mathfrak{q}$、$y$ は $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap A$ に対応し、$Z\cap W$ は $W_{\mathfrak{p}}$ の既約成分で、被約な構造を入れると剰余体 $\kappa(\mathfrak{q})$ を関数体とする $\kappa(\mathfrak{p})$ 上有限型の整スキームである。lem-fd-dimension-facts により $\dim Z=\dim(Z\cap W)=\operatorname{trdeg}_{\kappa(\mathfrak{p})}\kappa(\mathfrak{q})$ である。次元公式の定理「体上有限型整域の次元公式」により
$$ \operatorname{ht}\mathfrak{q}+\operatorname{trdeg}_{\kappa(\mathfrak{p})}\kappa(\mathfrak{q})=\operatorname{ht}\mathfrak{p}+e $$
なので、$\operatorname{ht}\mathfrak{q}\le\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ を示せばよい。$\xi$ が既約成分の生成点であることは、$\mathfrak{q}$ が $\mathfrak{q}'\cap A=\mathfrak{p}$ となる素イデアル $\mathfrak{q}'$ の中で極小であることを意味し、$\mathfrak{p}B\subset\mathfrak{q}'\subset\mathfrak{q}$ なら $\mathfrak{q}'\cap A=\mathfrak{p}$ となるので、$\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{p}B$ の上で極小である。$c=\operatorname{ht}\mathfrak{p}=\dim A_{\mathfrak{p}}$ とし、Krull次元の補題「次元個のパラメータの存在」により $a_1,\dots,a_c\in\mathfrak{p}$ で $(a_1,\dots,a_c)A_{\mathfrak{p}}$ の根基が $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ となるものをとる（分母は単元なので払える）。ある $N$ で $\mathfrak{p}^NA_{\mathfrak{p}}\subset(a_1,\dots,a_c)A_{\mathfrak{p}}$ であり、$A\setminus\mathfrak{p}$ の元は $B_{\mathfrak{q}}$ で単元なので $\mathfrak{p}^NB_{\mathfrak{q}}\subset(a_1,\dots,a_c)B_{\mathfrak{q}}$ である。$(a_1,\dots,a_c)B_{\mathfrak{q}}$ を含む素イデアルは $\mathfrak{p}B_{\mathfrak{q}}$ を含むので、$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$ は $(a_1,\dots,a_c)B_{\mathfrak{q}}$ の上で極小であり、Krullの高さ定理の定理「Krullの一般高さ定理」により $\operatorname{ht}\mathfrak{q}\le c$ である。
2。 $K=\operatorname{Frac}A$ とし、$B_K=B\otimes_AK$ を考える。これは $B$ を $A\setminus\{0\}$ で局所化した整域で、$K$ 上有限生成であり、商体は $\operatorname{Frac}B$ なので $\dim B_K=e$ である。Noether正規化定理により、$B_K$ が $K[z_1,\dots,z_e]$ 上有限になる元 $z_1,\dots,z_e\in B_K$ がある。$A\setminus\{0\}$ の元を掛けて $z_i\in B$ としてよい。$B$ の $A$ 代数としての生成元 $\beta_1,\dots,\beta_m$ はそれぞれ $K[z]$ 上のモニック多項式の根であり、その有限個の係数の分母を払う $a\in A\setminus\{0\}$ をとると、$B_a$ は $A_a[z_1,\dots,z_e]$ 上整で有限生成、すなわち有限である。$U:=\operatorname{Spec}B_a$ は空でない開集合で、$y\in f(U)$ は $\mathfrak{p}\in D(a)$ に対応し、$U_y=\operatorname{Spec}(B_a\otimes_{A_a}\kappa(\mathfrak{p}))$ は $\kappa(\mathfrak{p})[z_1,\dots,z_e]$ の剰余環上有限なので、整拡大の系「整拡大と Krull 次元」により $\dim U_y\le e$ である。一方 $U_y$ は $X_y$ の開集合なので、その既約成分は $X_y$ の既約成分 $Z$ との共通部分 $Z\cap U$ であり、1 と lem-fd-dimension-facts により $\dim(Z\cap U)=\dim Z\ge e$ である。よってすべて $e$ に等しい。
3。 $\dim X$ についての帰納法で示す。$x\in X$ は $X_{f(x)}$ の点なので、1 により $\dim_xX_{f(x)}\ge e$、すなわち $h\le e$ なら $E_h(f)=X$ である。$h>e$ とし、2 の $U$ をとり、$F=X\setminus U$ の既約成分を $F_1,\dots,F_s$ とする（$F=\emptyset$ なら下の議論で $E_h(f)=\emptyset$ となる）。$F_i$ と $Y_i:=\overline{f(F_i)}$ に被約な構造を入れ、$f_i\colon F_i\to Y_i$ を $f$ の制限とすると、$f_i$ は整スキームの間の優勢な $k$ 射で、lem-fd-dimension-facts の 2 により $\dim F_i<\dim X$ である。$f_i$ のファイバーの基礎空間は $f^{-1}(y)\cap F_i$ である。
$$ E_h(f)=E_h(f_1)\cup\cdots\cup E_h(f_s) $$
を示す。$\supset$：$f^{-1}(y)\cap F_i$ の既約成分は $f^{-1}(y)$ の既約閉集合なので、$f^{-1}(y)$ のある既約成分に含まれ、次元は大きくなる。$\subset$：$x\in E_h(f)$ とし、$x$ を含む $f^{-1}(y)$ の既約成分 $Z$ で $\dim Z\ge h$ のものをとる。$Z\cap U\ne\emptyset$ なら $Z\cap U$ は $U_y$ の既約成分で、2 により $\dim Z=\dim(Z\cap U)=e< h$ となり矛盾する。よって $Z\subset F$ で、$Z$ は既約なのである $F_i$ に含まれ、$f^{-1}(y)\cap F_i$ の既約成分でもあるので、$x\in E_h(f_i)$ である。帰納法の仮定により $E_h(f_i)$ は $F_i$ の、したがって $X$ の閉集合であり、$E_h(f)$ は閉集合で $F$ に含まれる。$\square$

$X$ の既約成分 $X_1,\dots,X_m$ に被約な構造を入れ、$Y_j:=\overline{f(X_j)}$ にも被約な構造を入れる。$X_j$ は被約なので $f|_{X_j}$ は閉部分スキーム $Y_j$ を経由し、$f_j\colon X_j\to Y_j$ は整スキームの間の優勢な $k$ 射である。$f_j$ のファイバーの基礎空間は $f^{-1}(y)\cap X_j$ であり、$f^{-1}(y)$ はこれら有限個の閉集合の合併である。$f^{-1}(y)$ の既約成分は既約なのでどれかの $f^{-1}(y)\cap X_j$ に含まれてその既約成分になり、逆に $f^{-1}(y)\cap X_j$ の既約成分は $f^{-1}(y)$ のある既約成分に含まれる。したがって $\dim_xX_{f(x)}$ は、$x\in X_j$ となる $j$ についての $f_j$ の局所次元の最大値であり、$E_h(f)=\bigcup_jE_h(f_j)$ である。thm-fd-main の 3 により右辺の各項は $X_j$ の、したがって $X$ の閉集合である。$\square$

$h\le-1$ ならこの集合は $Y$ 全体である。$h\ge0$ なら、$\dim X_y\ge h$ は $x\in f^{-1}(y)$ で $\dim_xX_y\ge h$ となるものがあることと同値なので、この集合は $f(E_h(f))$ に等しく、cor-fd-general と $f$ が閉写像であることから閉集合である。$\square$

$E_h(f)$ は閉集合なので構成可能であり、Chevalleyの定理（Noether 版）により $f(E_h(f))$ は構成可能である。$h\ge0$ では $\{y\mid\dim X_y\ge h\}=f(E_h(f))$ なので $C_h=f(E_h(f))\setminus f(E_{h+1}(f))$ は構成可能であり、$C_{-1}=Y\setminus f(X)$ も構成可能、$h< -1$ では $C_h=\emptyset$ である。
$C_e$ について。$Y$ の生成点を $\eta$ とする。$x\in f^{-1}(\eta)$ をとり、$x$ を含む $X_\eta$ の既約成分 $Z$ と、$Z$ の生成点を含むアフィン開集合 $W=\operatorname{Spec}B$ を prf-thm-fd-main の準備のとおりにとる。$W_\eta=\operatorname{Spec}(B\otimes_AK)$ は既約で次元 $e$ なので、$Z\cap W=W_\eta$ であり $\dim Z=e$ である。よって $\eta\notin f(E_{e+1}(f))$ である。構成可能集合 $L$ は局所閉集合 $O_l\cap D_l$（$O_l$ 開、$D_l$ 閉）の有限合併で、$\eta\notin L$ なら各 $l$ で $O_l\cap D_l=\emptyset$ か $\eta\notin D_l$（$\eta\in D_l$ なら $D_l=Y$ で、空でない $O_l$ は $\eta$ を含む）である。$Y$ は既約なので、$f(E_{e+1}(f))$ は $Y$ の真の閉集合 $T$ に含まれる。一方 $f(X)$ は稠密なので、Chevalleyの定理の系「像は閉包の稠密な開集合を含む」により空でない開集合 $W'$ を含む。$W'\setminus T$ は空でない開集合で、その点 $y$ では thm-fd-main の 1 により $\dim X_y\ge e$、$y\notin f(E_{e+1}(f))$ により $\dim X_y\le e$ である。$\square$