Buchsbaum環
概要
Buchsbaum環（Buchsbaum ring）とは、すべてのパラメータ系が弱列であるネーター局所環であり、各段のcolon加群 $((x_1,\ldots,x_{i-1}):x_i)/(x_1,\ldots,x_{i-1})$ が極大イデアルで消える、つまり正則列からのずれが剰余体上にしか残らない環である。Cohen–Macaulay 環は Buchsbaum 環だが、$k[\![x,y]\!]/(x^2,xy)$ のように Cohen–Macaulay でない例もあり、長さと重複度の差 $\ell_A(A/Q)-e(Q,A)$ がパラメータ・イデアル $Q$ によらないことでも特徴づけられる。下位局所コホモロジーは極大イデアルで消え、一次元ではこれで判定できるが、一つのパラメータ系が弱列であるだけでは Buchsbaum とは限らない。
定義：パラメータ列の零因子を一様に制御する
$(A,\mathfrak m,k)$ を $d$ 次元ネーター局所環とする。$x_1,\ldots,x_d\in\mathfrak m$ が パラメータ系であるとは、$(x_1,\ldots,x_d)$ が $\mathfrak m$-準素イデアルであることをいう。
$x_1,\ldots,x_r\in\mathfrak m$ が $A$ の 弱列（weak $A$-sequence）であるとは、$I_{i-1}=(x_1,\ldots,x_{i-1})$ とおいたとき、すべての $1\leq i\leq r$ について
$$
\mathfrak m(I_{i-1}:x_i)\subseteq I_{i-1}
$$
が成り立つことをいう。
$x_i\in\mathfrak m$ なので $I_{i-1}:\mathfrak m\subseteq I_{i-1}:x_i$ である。従って弱列の条件は
$$
I_{i-1}:x_i=I_{i-1}:\mathfrak m
$$
と同値である。
ネーター局所環 $(A,\mathfrak m)$ が Buchsbaum環（Buchsbaum ring、ブックスバウム環）であるとは、$A$ のすべてのパラメータ系が弱列であることをいう。
零次元のネーター局所環はCohen–Macaulay環なのでBuchsbaum環である。以下では、この条件が非自明になる正次元の場合を主に扱う。
弱列による定義とパラメータ・イデアルの数値的不変性はStückrad–Vogelの原論文に遡る。$d$-列との関係はHunekeの論文を参照。StuckradVogel1973 Huneke1982
直感：零因子の「ずれ」は剰余体上にしか残らない
正則列なら $I_{i-1}:x_i=I_{i-1}$ であり、$x_i$ はそれ以前の元で割った環上の非零因子である。弱列では零因子を許すが、余分な部分
$$
(I_{i-1}:x_i)/I_{i-1}
$$
は $\mathfrak m$ で消える。つまり正則性からのずれは剰余体 $k=A/\mathfrak m$ 上のベクトル空間として現れ、どのパラメータ系を選んでも同じ強さで制御される。
この「どのパラメータ系でも」という全称条件が重要である。一つの都合のよいパラメータ系だけが弱列でも、一般にはBuchsbaum性は従わない。
例と反例
以下で $k$ は体、$\mathfrak m$ は表示された局所環の極大イデアルとする。
| 局所環 | 次元・深さ | 欠陥の様子 | 判定 |
|---|---|---|---|
| $k[\![t]\!]$ | $\dim=\operatorname{depth}=1$ | パラメータは非零因子 | Cohen–Macaulay、従ってBuchsbaum |
| $k[\![x,y]\!]/(x^2,xy)$ | $\dim=1$, $\operatorname{depth}=0$ | $H^0_{\mathfrak m}(A)=(x)$、$\mathfrak m(x)=0$ | BuchsbaumだがCohen–Macaulayでない |
| $k[\![x,y]\!]/(x^3,xy)$ | $\dim=1$, $\operatorname{depth}=0$ | $H^0_{\mathfrak m}(A)=(x)$、$\mathfrak m(x)=(x^2)\neq0$ | 一般化Cohen–MacaulayだがBuchsbaumでない |
Cohen–Macaulay局所環のすべてのパラメータ系は正則列である。従ってすべてのCohen–Macaulay局所環はBuchsbaum環である。
$x_1,\ldots,x_d$ をパラメータ系とし、$I_{i-1}=(x_1,\ldots,x_{i-1})$ とする。正則性から $I_{i-1}:x_i=I_{i-1}$ である。また $A/I_{i-1}$ は正の深さをもつので、そのソクルは零、すなわち $I_{i-1}:\mathfrak m=I_{i-1}$ である。従って各 $i$ で二つのイデアル商が等しく、パラメータ系は弱列である。
$$
A=k[\![x,y]\!]/(x^2,xy)
$$
とする。$\sqrt{(x^2,xy)}=(x)$ なので $\dim A=1$ である。$A$ は $k[\![y]\!]$-加群として
$$
A\cong k[\![y]\!]\oplus kx
$$
と書け、$x\neq0$ かつ $\mathfrak m x=0$ だから深さは0である。それでも、下の計算により $A$ はBuchsbaum環である。
$a\in\mathfrak m$ を任意のパラメータとする。$A/(x)\cong k[\![y]\!]$ における $a$ の像は非零である。$ra=0$ なら、整域 $k[\![y]\!]$ へ移した像から $r\in(x)$ が従う。逆に $\mathfrak m(x)=0$ なので $(x)\subseteq(0:a)$ であり、
$$
(0:a)=(x)=(0:\mathfrak m)
$$
となる。一次元ではパラメータ系は一元 $a$ からなるので、すべてのパラメータ系が弱列である。
$$
B=k[\![x,y]\!]/(x^3,xy)
$$
とする。$\dim B=1$ で、$H^0_{\mathfrak m}(B)=(x)$ は長さ2をもつ。従って $B$ は一般化Cohen–Macaulayである。一方、$y$ はパラメータだが
$$
(0:y)=(x),\qquad (0:\mathfrak m)=(x^2)
$$
であり、両者は等しくない。従って $(y)$ は弱列でなく、$B$ はBuchsbaum環でない。これは「一般化Cohen–MacaulayならBuchsbaum」という含意の反例である。
弱列条件は元の選び方にも依存するが、Buchsbaum性は環の同型で保たれる。同型で極大イデアル、パラメータ・イデアル、colonイデアルが対応し、それぞれの包含条件が同じになるからである。したがって具体的な表示で計算した弱列条件は、その表示を使った環だけの偶然ではない。別の生成元を取って環を表示し直しても、すべてのパラメータ系を調べるという定義は変わらない。
ただし、極大イデアルの最小生成元の列とパラメータ系の列は区別する。極大イデアルの生成元の個数は埋込次元であり、パラメータ系の長さはKrull次元である。非CM例 $A$ の極大イデアルは $x,y$ の二つで生成されるが、次元は1なのでパラメータ系は一元である。$x$ は冪零で、$A/(x)$ は正次元のままだからパラメータでない。$y$ はパラメータだが極大イデアル全体を単独で生成しない。この違いを保つと、零因子であるパラメータが存在する例でも定義を直接適用できる。
数値的特徴づけ：長さと重複度の差
$Q=(x_1,\ldots,x_d)$ をパラメータ・イデアルとし、$e(Q,A)$ をHilbert–Samuel重複度とする。
正次元ネーター局所環 $A$ について、次は同値である。
- $A$ はBuchsbaum環である。
- 差
$$ \ell_A(A/Q)-e(Q,A) $$
がパラメータ・イデアル $Q$ の選び方によらない。
この一定値を $I(A)$ と書き、$A$ の Buchsbaum不変量という。
弱列条件と数値的不変性の一般的な同値は、この記事では証明しない。Goto1981 Definition (2.1), p.124 を参照。一次元の具体例で両条件を照合する計算は後述する。
Cohen–Macaulay環では $I(A)=0$ である。上の非Cohen–Macaulay例 $A=k[\![x,y]\!]/(x^2,xy)$ では、$Q=(y)$ とすると $\ell_A(A/(y))=2$、$e((y),A)=1$ なので $I(A)=1$ である。従って $I(A)$ は、パラメータ系が正則列でないことによる有限長のずれを測る。
弱列条件と数値的不変性の同値はGotoの Definition 2.1 Goto1981 に記されている。
局所コホモロジーと近接するクラス
局所コホモロジーは、Buchsbaum環がCohen–Macaulay環からどれだけ外れるかを次数ごとに記録する。
$A$ を $d$ 次元Buchsbaum局所環とする。このとき $0\leq i< d$ について
$$
\mathfrak m H^i_{\mathfrak m}(A)=0
$$
であり、各 $H^i_{\mathfrak m}(A)$ は有限長である。さらに
$$
I(A)=\sum_{i=0}^{d-1}\binom{d-1}{i}
\ell_A\bigl(H^i_{\mathfrak m}(A)\bigr)
$$
が成り立つ。この一般定理は、この記事では証明しない。Goto1981 式 (2.2), p.124 を参照。
特にBuchsbaum環は一般化Cohen–Macaulay環である。ただし、$\mathfrak mH^i_{\mathfrak m}(A)=0$ だけをBuchsbaum性と同値だと考えてはいけない。この消去条件を満たす環は quasi-Buchsbaum環と呼ばれ、一般にはBuchsbaum環より広い。
$$
\text{Cohen--Macaulay}
\Longrightarrow \text{Buchsbaum}
\Longrightarrow \text{quasi-Buchsbaum}
\Longrightarrow \text{一般化Cohen--Macaulay}.
$$
最初の逆向きが成り立たないことは $k[\![x,y]\!]/(x^2,xy)$ が示す。最後の逆向きが成り立たないことは $k[\![x,y]\!]/(x^3,xy)$ が示す。中央の逆向きも一般には成り立たない。Gotoは次元3以上のquasi-Buchsbaum整域でBuchsbaumでない例を構成している。Goto1984
Fiorentini–Hoaは一般化Cohen–Macaulay、Buchsbaum、quasi-Buchsbaumを局所コホモロジーと弱列で比較している。各クラスの消去条件は同論文 Definition 2.2, Remark 2.3 に記されている。FiorentiniHoa1994
$d$-列・完備化・多項式環
ネーター局所環 $A$ がBuchsbaum環であることと、すべてのパラメータ系が $d$-列をなすことは同値である。
$d$-列はRees代数や対称代数の関係式を制御するため、この特徴づけはBuchsbaum性をblow-up代数の研究へ結び付ける。ただし、ここで必要なのは一つのパラメータ系ではなくすべてのパラメータ系についての条件である。
この一般的な特徴づけは、この記事では証明しない。Huneke1982 Proposition 1.7, pp.260–261 を参照。
ネーター局所環 $A$ はBuchsbaum環であることと、その $\mathfrak m$-進完備化 $\widehat A$ がBuchsbaum環であることは同値である。
一方、Buchsbaum性は多項式を付け加える操作に無条件では安定でない。非Cohen–MacaulayなBuchsbaum局所環 $A$ に対し、$A[T]$ のすべての局所環がBuchsbaumになるとは限らない。完備化による保存と、多項式環の局所的な保存を混同してはいけない。
これらの一般的な保存・非保存の主張は、この記事では証明しない。多項式環の非保存は DaeppEvans1980 p.1246 の Notice、特定の平坦局所拡大は同論文の Theorem 3, pp.1246–1248、完備化は Addendum, p.1249 を参照。
一次元での完全な判定
一次元では下位局所コホモロジーは $H^0$ だけなので、弱列条件を有限長のイデアル一つで説明できる。$H^0_{\mathfrak m}(A)$ は、ある極大イデアルの冪で消される元の全体
$$H=\bigcup_{n\ge1}(0:_A\mathfrak m^n)$$
である。ネーター性によってこの昇鎖は停止する。従って $H$ は有限生成で、ある $N$ に対して $\mathfrak m^NH=0$。よって有限長である。
一次元ネーター局所環 $(A,\mathfrak m)$ はBuchsbaumであることと、$\mathfrak mH^0_{\mathfrak m}(A)=0$ となることは同値である。
$a\in\mathfrak m$ をパラメータとする。$(a)$ が $\mathfrak m$-準素であるため、ある $c$ で $\mathfrak m^c\subset(a)$。もし $ar=0$ なら $\mathfrak m^cr=0$ となるので、$(0:a)\subset H$ である。逆に $\mathfrak mH=0$ なら $aH=0$、従って $H\subset(0:a)$ である。また $(0:\mathfrak m)\subset H$ と $\mathfrak mH=0$ から $(0:\mathfrak m)=H$。よって全てのパラメータ $a$ について $(0:a)=(0:\mathfrak m)$ となり、$A$ はBuchsbaumである。
逆に $A$ がBuchsbaumとし、パラメータ $a$ を一つ選ぶ。$a^N$ もパラメータである。$H$ はある $\mathfrak m^N$ で消されるため $a^NH=0$。従って $H\subset(0:a^N)$ であり、Buchsbaum性から $\mathfrak m(0:a^N)=0$。この包含を使うと $\mathfrak mH=0$ を得る。
一次元ではquasi-Buchsbaum条件がBuchsbaum条件と一致する。一般次元での非同値性を、そのまま一次元の例に当てはめることはできない。上の証明では、パラメータが一元であることと、その任意の冪もパラメータであることが効いている。高次元では一つの有限長部分加群だけでなく、商を取った後の弱列条件を含めて扱う必要がある。
パラメータを変えた長さの計算
既出の $A=k[\![x,y]\!]/(x^2,xy)$ では、任意のパラメータを
$$a=f(y)+\lambda x,\qquad f(y)=y^qu(y),\quad q\ge1,\quad u(0)\neq0$$
と書ける。$u(y)$ は単元である。パラメータの定義から $f(y)\neq0$ であり、$q$ が定まる。$a$ に $x$ を掛けると零、$y$ を掛けると $yf(y)$ となる。従って単項イデアル $(a)$ の $k$-線形な構造は、$f(y)+\lambda x$ の一次元部分と $yf(y)k[\![y]\!]$ で記述できる。
上の $A,a$ について
$$\ell_A(A/(a))=q+1,\qquad e((a),A)=q,$$
従って $\ell_A(A/(a))-e((a),A)=1$ である。
$A$ は $k[\![y]\!]\oplus kx$ と一意に書ける。$(a)$ で割る際には、まず $yf(y)k[\![y]\!]$ を零にする。この商の $k$-次元は $(q+1)+1=q+2$ である。その中で $a=f(y)+\lambda x$ は非零で、これを零にすると次元が一つ下がる。従って長さは $q+1$ となる。ここでは局所環の剰余体が $k$ なので、有限長加群の長さは $k$-次元に等しい。
$n\ge2$ なら、$f(y)x=0$ と $x^2=0$ により $a^n=f(y)^n$。$f(y)^n k[\![y]\!]$ の商は長さ $nq$ で、$kx$ の一次元が残る。よって $\ell_A(A/(a^n))=nq+1$。一次元のHilbert–Samuel重複度は、この $n$ の一次係数なので $e((a),A)=q$ である。差は $q+1-q=1$ となり、$q$ と $\lambda$ の選び方によらない。
パラメータ $a$ の次数を大きくすると長さと重複度は両方増えるが、その差は有限長部分 $kx$ の分だけ残る。この例はBuchsbaum不変量が長さそのものではないことを示す。$a=y$ なら長さ2、$a=y^{10}$ なら長さ11となるが、差はどちらも1である。重複度を引かずにパラメータ商の長さだけを比較すると、Buchsbaum環でも一定にならない。
一つの弱列では足りない
$B=k[\![x,y]\!]/(x^3,xy)$ で、$a=x+y$ を選ぶと弱列になる。$B$ の元は $f(y)+ux+vx^2$ と一意に書け、$a$ を掛けた結果は
$$f(y)y+f(0)x+ux^2$$
である。これが零なら、$k[\![y]\!]$ 部分から $f(y)=0$、$x^2$ の係数から $u=0$。従って $(0:a)=kx^2=(0:\mathfrak m)$ である。また $B/(a)$ では $y=-x$、$xy=0$ から $x^2=0$ となるので有限長であり、$a$ はパラメータである。しかし先に計算したように $y$ という別のパラメータは弱列でない。この一つの環で、存在条件と全称条件の違いを直接確認できる。
さらに $a=x+y$ の商は長さ2、$e((a),B)=1$ なので差は1である。一方、$y$ の商は $k[x]/(x^3)$ で長さ3、$e((y),B)=1$ なので差は2である。重複度の値は $n\ge3$ で $a^n=y^n$、$y^n$ の商の長さが $n+2$ となることから分かる。Buchsbaum性がないと、この数値差もパラメータによって変わる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| すべてのパラメータ系が弱列 | $B$ で $x+y$ は弱列、$y$ は弱列でない | 一つの弱列だけからBuchsbaum性を導けない |
| 一般化CM環の下位コホモロジーが極大イデアルで消える | $B$ では $\mathfrak mH^0=(x^2)\neq0$ | 一般化CM性だけからBuchsbaum性は従わない |
| パラメータが非零因子 | $A$ の任意のパラメータは $x$ を消す | 弱列だから正則列という含意が失敗する |
| 長さの比較で重複度を引く | $A$ の $(y)$ と $(y^{10})$ | パラメータ商の長さそのものは一定でない |
商と完備化の役割
弱列の定義は、一段ずつ商 $A/(x_1,\ldots,x_{i-1})$ を取り、次のパラメータで消される部分を見る。そのため、一つの環の深さだけを調べる条件より多くの情報を含む。$d$-列による特徴づけも、商を取った後のcolon関係を全てのパラメータ系について要求する。数値的不変量や局所コホモロジーは、それらの商で生じる有限長の欠陥をまとめて記録する方法である。
完備化はパラメータ商の有限長構造を保つ操作だが、変数を追加する操作は次元を増やす。既出の $A$ に変数 $z$ を加えて $C=A[\![z]\!]$ とすると、$(y,z)$ はパラメータ系である。しかしその最初の元 $y$ の消去イデアルは $xk[\![z]\!]$ であり、$z$ を掛けると $xz\neq0$。従って $\mathfrak m_C(0:y)$ は零でなく、このパラメータ系は弱列でない。$C$ はBuchsbaumでない。一次元で剰余体上に閉じ込められていた欠陥が、新しい変数方向へ伸びるためである。完備化による保存と、形式的冪級数変数を追加することによる保存は異なる。
関連項目
- 前提: 局所環, 局所コホモロジー
- 比較: Cohen–Macaulay環, 一般化Cohen–Macaulay環
- 発展: 完備化, Krull次元
参考文献
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