双対化加群

任意の $A$ 加群 $M$ に対して
$$\operatorname{Hom}_A(M,D)\longrightarrow\operatorname{Hom}_k(M,k),\qquad f\longmapsto(m\mapsto f(m)(1))$$
を取る。逆写像は $\psi$ から $m\mapsto(a\mapsto\psi(am))$ を作る写像である。$A$ 線形性と二つの合成が恒等になることは代入により確かめられる。ここでは $M$ の有限生成性は不要である。ベクトル空間の部分空間上の線形形式は基底を延ばして全空間へ延長できるので $\operatorname{Hom}_k(-,k)$ は完全であり、$D$ は単射である。
有限次元 $M$ の評価写像 $M\to M^{**}$ は自然な $A$ 線形同型である。これを $M=A$ に使うと、$D$ の自己準同型を双対により $A$ の自己準同型へ戻せる。$A$ の自己準同型は $1$ の像 $a$ による乗法であり、評価の自然性から元の $D$ の自己準同型も $a$ による乗法である。従って実際の乗法写像が同型になる。$A$ と $D$ は有限次元だからそれぞれ Noether 環と有限生成加群である。単射性から正次数の Ext は消える。$\square$

非零元の零化イデアルの中で極大なものを取る。Noether条件により存在する。それを $\mathfrak p=\operatorname{Ann}(m)$ とする。$ab\in\mathfrak p$、$b\notin\mathfrak p$ なら $bm\ne0$。$\operatorname{Ann}(bm)$ は $\mathfrak p$ を含み、極大性から同じだから $a\in\mathfrak p$。従って $\mathfrak p$ は素であり、$Am\cong A/\mathfrak p$ である。
この巡回部分加群を商へ取り除いて同じ操作を続けると、$M$ の部分加群の厳密な上昇列になる。$M$ はNoetherなので有限回で停止し、有限フィルトレーションで各因子を $A/\mathfrak p_i$ と書ける。
短完全列 $0\to U\to V\to W\to0$ で $\operatorname{Ass}(V)\subset\operatorname{Ass}(U)\cup\operatorname{Ass}(W)$ を確認する。$v$ の零化素を $\mathfrak p$ とする。$Av\cap U=0$ なら $Av$ は $W$ に単射するので $\mathfrak p$ は $W$ の随伴素。交叉が非零なら $av\ne0$ をその中に選ぶ。$a\notin\mathfrak p$ なので $\operatorname{Ann}(av)=(\mathfrak p:a)=\mathfrak p$、従って $U$ の随伴素である。$A/\mathfrak p_i$ の随伴素は整域の非零元の消去から $\mathfrak p_i$ だけ。フィルトレーションへ反復すると有限性を得る。
$a$ が $M$ の非零元を零化するなら、$a$ で零化される非零元の中から零化イデアルが極大な元を取る。同じ素性の論証では $bm$ も $a$ で零化されるので、極大性はこの限定族でも使える。従って $a$ を含む随伴素が得られる。逆に随伴素に属する元はその素を零化イデアルにもつ非零元を零化する。これで零因子の和集合表示を得る。

正則元がなければ極大イデアル全体は $M$ の零因子の有限和集合に含まれる。有限素回避から $\mathfrak m$ は一つの随伴素に含まれる。その素は極大イデアルに含まれるので $\mathfrak m$ に等しい。従って極大イデアルに零化される非零元がある。
逆にそのような元があると、極大イデアルのどの元もその非零元を零化するので単射には作用しない。従って正則元を選べない。

$x\in\mathfrak m$ の自由解像度 $P_\bullet$ 上の掛算写像は、$k$ 上で零を誘導する。これが鎖ホモトピーで零になることを明示する。次数零では $xP_0$ は増大写像の核に入り、次の微分の像に入るので、自由性を使って写像 $h_0:P_0\to P_1$ へ持ち上げる。
$h_0,\ldots,h_{i-1}$ までできたなら、$x\operatorname{id}_{P_i}-h_{i-1}d_i$ の微分を取ると、前のホモトピー恒等式により零になる。従ってその像は次の微分の像に入り、自由性で $h_i:P_i\to P_{i+1}$ へ持ち上げる。こうして $dh+hd=x\operatorname{id}$ を得る。
Hom複体では $x$ の値域への掛算と、始域 $P_i$ 上の掛算による前合成は同じである。鎖ホモトピーはコホモロジー上で零だから、$x$ の作用は零となる。任意の $x\in\mathfrak m$ について成立するので主張を得る。

$0\to M\xrightarrow{x}M\to Q\to0$ へ前節の長完全列を適用する。二つの $M$ のExtの間の写像は $x$ 倍であり、極大イデアルの零化補題から零である。従って長完全列は表示した短完全列に分かれる。
$\operatorname{Hom}(k,M)$ の元の像は $\mathfrak m$ に零化されるので、特に $x$ に零化される。$x$ の作用が単射だからその像は零で、Homは零となる。

延長できない正則列を前に構成したように選び、その長さを $r$ とする。終端の商 $Q_r$ はsocleが非零なので、最初の非零Extは次数零である。正則商の短完全列を逆に一段ずつたどる。
商の最初の非零Extが次数 $s$ なら、元の加群の最初の非零Extは次数 $s+1$ となる。実際、元のHomは零で、$0\to E^i(M)\to E^i(Q)\to E^{i+1}(M)\to0$ を次数零から順に使えば、$i< s$ で次のExtも零となる。$i=s$ では左端はすでに零、中央が非零なので右端が非零になる。従って元の $M$ の最初の非零Extは次数 $r$ である。
Extは $M$ に固有のものだから、別の延長できない列も同じ長さ $r$ となる。任意の正則列は延長できない列へ有限回で延ばせるので、その長さは $r$ 以下となる。従って最大長の定義と一致する。正則元 $x$ についても同じ次数移動を使えば、商の深さが一つ下がる。

Extの長完全列の各次数で、両隣が零なら中央が零であることを使う。$i$ が $L,Q$ の深さより小さければ $E^i(L)=E^i(Q)=0$ なので $E^i(N)=0$。これが第一の不等式。
$i$ が $N$ の深さと $Q$ の深さに一を加えた値より小さければ、$E^{i-1}(Q)=E^i(N)=0$ なので $E^i(L)=0$。負次数のExtは零と約束し、次数零も含めて第二を得る。
$i$ が $L$ の深さから一を引いた値と $N$ の深さより小さければ、$E^i(N)=E^{i+1}(L)=0$ なので $E^i(Q)=0$。これが第三である。前の特徴づけで最初の非零次数へ戻せば、表示した深さの不等式になる。零加群ではExtが全次数零なので、無限大の規約も同じ計算と両立する。

増大解像度 $P_\bullet,Q_\bullet$ を取る。$P_0\to M$ を $Q_0\to M$ へ射影性で持ち上げる。$f_i$ まで作れば $f_i d_{i+1}$ は目標のサイクルに入る。目標の完全性と $P_{i+1}$ の射影性から次の持上げを選べる。
二つの写像 $f,g$ の差は次数零で増大写像の核に入るので、$h_0:P_0\to Q_1$ を選べる。既に $h_{i-1}$ まであれば、$f_i-g_i-h_{i-1}d_i$ の微分は前の恒等式から零となる。これを次へ持ち上げて $h_i$ を作ると $f-g=dh+hd$ となる。逆向きの比較も作れば合成は恒等とホモトピックである。
任意の加群をテンソルしてもこの恒等式は成立するので、ホモロジー上で比較写像は互いに逆になる。従って射影解像度にテンソルを適用したホモロジー、すなわちTorは選択によらない。テンソルが元の解像度の完全性を保存するとは限らない。保存されるのは比較のホモトピー恒等式である。

引戻し $W=\{(p,q)\in P\oplus Q\mid p,q\text{の像が等しい}\}$ を作る。$W\to P$ は全射で核が $L$、$W\to Q$ は全射で核が $K$ となる。始域へのこれらの全射は射影性から分裂する。従って $W\cong L\oplus P$ と $W\cong K\oplus Q$ が同時に成り立つ。
この操作を長さに関して反復する。最初の核が $K\oplus Q\cong L\oplus P$ となったら、$K$ の残りの解像度に $Q$ を次数零の射影直和として付加し、$L$ 側にも $P$ を付加する。同型の加群に対する一段短い解像度になり、再び同じ補題を使える。帰納すると最終の核は、それぞれに解像度の射影項の有限直和を加えた後に同型となる。一方の最終核が射影なら、他方も射影である。射影直和は射影であり、その直和因子も射影だからである。元の射影項は無限生成でもこの反復は成立する。
特に $\operatorname{pd}M\le n$ なら、別に構成した自由解像度の第 $n$ syzygyも射影になる。長さ $n$ の射影解像度の最後の項を最終核と見て上述の反復を使えばよい。$n=0$ は $M$ 自体が射影という定義に戻る。

$M/\mathfrak mM$ の基底を持ち上げ $F_0\to M$ を作る。有限余核へのNakayamaから全射であり、核の元は剰余体上で零になるので核は $\mathfrak mF_0$ に含まれる。核はNoether性により有限生成だから、核に同じ操作を反復する。これで各微分の行列要素が極大イデアルに入る自由解像度を得る。
$\operatorname{pd}M=n< \infty$ なら、第 $n$ syzygyは前の補題で射影、有限局所射影の結果から自由になる。これをそのまま最後の $F_n$ とすれば有限解像度が得られる。$n>0$ で $F_n=0$ ならすでに一段短い解像度があるため、射影次元の最小性に反する。
剰余体をテンソルすると全微分が零になるから、最後の $F_n\ne0$ に対して $\operatorname{Tor}_n^A(k,M)=k\otimes_A F_n\ne0$。一段短い射影解像度が存在すれば同じTorは零だが、比較独立性に反する。従って長さは正確に射影次元である。$n=0$ の場合は非零有限射影 $M$ 自体が非零自由である。
$n\ge1$ で $N=\ker(F_0\to M)$ とすれば、残りの最小解像度から $\operatorname{pd}N\le n-1$。より短い解像度が $N$ にあれば $F_0$ を連結して $M$ のより短い解像度が得られるので、実際に $\operatorname{pd}N=n-1$ である。

$d=\operatorname{depth}A$、$n=\operatorname{pd}M$ とし、$n$ について帰納する。$n=0$ なら $M$ は階数一以上の有限自由。Extは有限直和と交換するため、最初の非零Ext次数は $A$ と同じで、深さは $d$ となる。
$n\ge1$ では最小解像度の最初の短完全列 $0\to N\to F_0\to M\to0$ を使う。$N$ は非零有限で射影次元 $n-1$ である。帰納仮説から $s=\operatorname{depth}N=d-n+1$。
$n\ge2$ なら $s< d$。もし $s=0$ なら非零の $\operatorname{Hom}(k,N)$ が $\operatorname{Hom}(k,F_0)=0$ に単射するので矛盾。従って $s>0$。Ext長完全列において $i< s-1$ では $E^i(M)=0$、次数 $s-1$ では $E^{s-1}(M)\cong E^s(N)\ne0$ となる。ここで $E^i(F_0)=0$ は $i< d$ に使った。従って $\operatorname{depth}M=s-1=d-n$。
$n=1$ では $N$ は非零有限自由となる。最小性により $N\to F_0$ の行列要素はすべて $\mathfrak m$ に入り、極大イデアルは $\operatorname{Ext}^i(k,A)$ を零化する。従って $E^i(N)\to E^i(F_0)$ は全次数で零である。$d=0$ ならHomの単射性とこの零写像が矛盾するので $d\ge1$。次数 $d-1$ で $E^{d-1}(M)\to E^d(N)$ は全射で非零、下次数は零。従って深さは $d-1$ となる。すべての枝で $n+\operatorname{depth}M=d$ が成り立つ。

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ なら有限生成性は自明である。以下 $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。この部分加群が零なら $c=0$ とする。零でなければ、これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が次の長さ評価の反復を可能にする。

$d$ に関して帰納する。$d=0$ では $R/\mathfrak m^n$ が剰余体に全射するので $\chi_R(n)\ge1$ である。
$d>0$ とし、鎖を $\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_d$ と書く。$R/\mathfrak p_0$ への全射は各極大イデアルの冪による商にも全射を与える。従って商の長さを下から評価すれば元の長さも下から評価される。そこで $C_0=R/\mathfrak p_0$ と置き、局所整域の場合へ移る。その極大イデアルを $\mathfrak n$ と書く。$\mathfrak p_1/\mathfrak p_0$ から非零元 $z$ を選ぶ。$D=C_0/(\mathfrak p_1/\mathfrak p_0)$ には長さ $d-1$ の鎖が残るので、帰納によりある $c_1>0$ について $\chi_D(n)\ge c_1n^{d-1}$ が十分大きい $n$ で成り立つ。
完全列による長さの加法性から
$$\chi_{C_0}(n)=\operatorname{length}C_0/(zC_0+\mathfrak n^n)+\operatorname{length}zC_0/(zC_0\cap\mathfrak n^n).$$
第一項の商は $D/\mathfrak m_D^n$ に全射するので $\chi_D(n)$ 以上である。第二項では固定部分加群 $zC_0\subset C_0$ にArtin–Reesを適用する。ある固定整数 $a\ge1$ について、すべての十分大きい $n$ で
$$zC_0\cap\mathfrak n^n\subset z\mathfrak n^{n-a}$$
となる。$z$ は整域の非零元だから消去でき、
$$(\mathfrak n^n:z)\subset\mathfrak n^{n-a}$$
を得る。従って第二項は $\chi_{C_0}(n-a)$ 以上である。以上より
$$\chi_{C_0}(n)\ge\chi_{C_0}(n-a)+c_1n^{d-1}$$
が十分大きい $n$ で成立する。
この不等式を $n,n-a,n-2a,\ldots$ について反復する。$n$ が十分大きければ、少なくとも $n/(3a)$ 個の項について引数は $n/2$ 以上に保てる。従って
$$\chi_{C_0}(n)\ge\frac{c_1}{3a\,2^{d-1}}n^d.$$
各帰納段階で用いた $a$ は $n$ に依存しない。これで帰納が閉じる。
この証明は実際に与えられた有限鎖から下界を得た。次元が有限であること、Hilbert多項式の次数が次元に等しいこと、主イデアル定理のいずれも仮定していない。

$\mathfrak m$ の有限生成元を $v_1,\ldots,v_s$ とする。各 $v_i$ の適当な正整数冪は $I$ に属する。十分高い次数の $v_i$ の単項式は、そのいずれかの冪を因子にもつので $I$ に入る。従ってある $h$ について $\mathfrak m^h\subset I$ である。$R/I$ は $R/\mathfrak m^h$ の商なので有限長である。
$I^j/I^{j+1}$ は、$u_1,\ldots,u_r$ の総次数 $j$ の単項式で生成される。その個数は $\binom{j+r-1}{r-1}$ である。また $I$ はこの商を零化するから、対応する個数の $R/I$ の直和から全射がある。従って
$$\operatorname{length}(I^j/I^{j+1})\le L\binom{j+r-1}{r-1}.$$
$R/I^n$ の有限フィルトレーションに長さの加法性を適用し、$j=0,\ldots,n-1$ について和を取ると
$$\operatorname{length}(R/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}.$$
$I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $R/I^n$ は $R/\mathfrak m^n$ に全射する。これで主張を得る。

一般高さ定理を証明する。まず局所環 $(R,\mathfrak m)$ で $r$ 元生成イデアル $I$ が極大根基をもつ場合を考える。$r\ge1$ なら前の補題が $\chi_R(n)$ に次数 $r$ の多項式による上界を与える。一方、長さ $d>r$ の厳密素鎖があれば成長下界の補題によって $Cn^d$ が下界になる。$n$ を大きくすると両者は両立しない。従って長さ $r+1$ の鎖はなく、$\dim R\le r$ である。$r=0$ なら $\sqrt0=\mathfrak m$ である。すべての素イデアルは冪零元を含むから $\mathfrak m$ を含み、局所環では $\mathfrak m$ しかない。従って次元は零である。
一般の $A,I,\mathfrak p$ に戻る。$R=A_{\mathfrak p}$ とする。局所化による素イデアル対応で、$IR$ を含む素イデアルは $I$ を含み $\mathfrak p$ に含まれる素イデアルに対応する。極小性から該当する素イデアルは $\mathfrak p$ だけであり、$\sqrt{IR}=\mathfrak pR$ となる。局所化でNoether性は保たれ、$IR$ は元と同じ $r$ 元で生成される。局所の場合より
$$\operatorname{ht}_A\mathfrak p=\dim A_{\mathfrak p}\le r$$
を得る。主イデアル定理は $r=1$ とした場合である。

任意の $A$ 加群 $T$ に対する項別随伴は
$$\operatorname{Hom}_A(T,\operatorname{Hom}_S(A,I^j))\cong\operatorname{Hom}_S(T,I^j)$$
である。順方向は値を $1$ で評価し、逆方向は $\psi(t)$ から $a\mapsto\psi(at)$ を作る。右辺は $T$ に関して完全なので $D^j$ は $A$ 単射である。
有限 $A$ 加群は有限 $S$ 加群でもあり、長さ $n$ 以下の有限自由 $S$ 解像度を持つ。従って $H^j(D)=\operatorname{Ext}_S^j(A,S)$ は有限である。$J$ はこのコホモロジーを零化する。源の $A$ 上の零作用を自由解像度へ持ち上げると零写像とホモトピックになり、Hom 側のスカラー作用と一致するためである。
有限コホモロジーを持つ有界 $X$ は $S$ 上で有界有限自由複体 $P$ と準同型同値になる。一コホモロジーのときはその有限自由解像度を使う。複数のときは最上端のコホモロジーを取り出す切断の三角を用い、次数数の帰納を行う。必要な射は有界射影複体からの比較写像として持ち上がり、その錐の項も有限自由である。比較写像の違いはホモトピーであり、前節の非輪体に対する Hom 計算がその持上げを保証する。
$A$ 自由解像度と有界単射 $D$ による計算で、項別随伴は
$$\operatorname{RHom}_A(X,D)\simeq\operatorname{RHom}_S(X,S)$$
となる。右辺は $\operatorname{Hom}_S(P,S)$ で計算され、有限で有界なコホモロジーを持つ。もう一度同じ随伴を使うと二重双対は
$$\operatorname{Hom}_S(\operatorname{Hom}_S(P,S),S)\simeq P$$
である。有限自由項の二重双対同型が複体の同型になる。余鎖次数 $p$ の元 $v$ に対する評価は $f\mapsto(-1)^pf(v)$ と取り、双対の微分 $d(f)=(-1)^{|f|+1}fd$ に代入すれば微分と可換である。評価の自然性から $X=A$ の場合の写像は乗法による実際の同型である。$\square$

有限素因子列と源についての Ext 長完全列により $N=R/\mathfrak p$ に帰着する。次元零の場合は有限長であり、因子は剰余体だから深さの Ext 判定による。次元 $r>0$ の場合、$x\in\mathfrak m\setminus\mathfrak p$ を取る。$R/\mathfrak p$ 上で $x$ は単射であり、$R/(\mathfrak p,x)$ の次元は $r-1$ 以下である。その素鎖に $\mathfrak p$ を真に前置できるためである。次元帰納と
$$0\to R/\mathfrak p\xrightarrow{x}R/\mathfrak p\to R/(\mathfrak p,x)\to0$$
の長完全列から、要求する範囲の $\operatorname{Ext}_R^i(R/\mathfrak p,M)$ 上の $x$ 作用は全射になる。Ext は有限自由解像度の各項から計算される有限加群なので Nakayama により零である。随伴素については $\operatorname{Hom}_R(R/\mathfrak p,M)\ne0$ と次数零の消滅を組み合わせればよい。$\square$

まず $J$ 内に長さ $c$ の $S$ 正則列を作る。長さ $j< c$ の列 $y_1,\ldots,y_j$ ができているとし、$T=S/(y_1,\ldots,y_j)$ とする。正則商の深さの次数移動より $\operatorname{depth}T=n-j$。任意の $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_S T$ に $J\subset\mathfrak p$ が成り立つなら
$$d=\dim S/J\ge\dim S/\mathfrak p\ge n-j>d$$
となり矛盾する。有限素回避で $J$ 内から全随伴素を避ける元を選べる。それは $T$ 上非零因子で、$J\subset\mathfrak m_S$ により次の商は非零である。これで帰納が進む。$c=0$ なら空列である。
次に一元の次数移動を確認する。$y$ が $R$ の非零因子で $yN=0$ とする。$R$ の有界単射解像度 $I$ に対し $E=\operatorname{Hom}_R(R/yR,I)$ は $R/yR$ 単射複体である。$0\to R\xrightarrow y R\to R/yR\to0$ から、そのコホモロジーは次数1の $R/yR$ だけとなる。切断による準同型同値と項別随伴から
$$\operatorname{Ext}_R^i(N,R)\cong\operatorname{Ext}_{R/yR}^{i-1}(N,R/yR).$$
負次数は零とする。任意の $N$ について十分高い次数の右辺も零になるため、$R/yR$ 自身の単射次元は有限であり、この操作を次の元へ反復できる。作った列を $c$ 回使うと $\operatorname{Ext}_S^i(A,S)=0$ が $i< c$ で成立する。
$A$ 上の正則列は $S$ の極大イデアルから持ち上げられ、逆に $S$ の列を $A$ へ写すと各乗算・商・最終非零条件が同じである。従って $\operatorname{depth}_SA=\operatorname{depth}_AA=d$。有限射影次元の公式により $\operatorname{pd}_SA=n-d=c$ なので $i>c$ の Ext も零になる。最小有限自由解像度の最後の双対への行列は極大イデアル内にあるから、その余核は Nakayama により非零。従って $W\ne0$ である。
$D$ はただ一つの次数 $c$ にコホモロジーを持つため $D\simeq W[-c]$。これは下側を次数 $c$ の核で切り、その核を境界で割る二つの切断写像による。任意 $A$ 加群 $L$ の非正次数の自由解像度を取る。有界な $D$ とその切断の錐に対して前の有限幅の補正が適用できるので、項別随伴と $D\simeq W[-c]$ を使うと
$$\operatorname{Ext}_A^i(L,W)\cong\operatorname{Ext}_S^{i+c}(L,S).$$
右辺は $i+c>n$ で零なので $\operatorname{id}_AW\le n-c=d$。任意加群での Ext 消滅から単射解像度の末端を切れることは前に証明した。
最後に $A\simeq\operatorname{RHom}_A(D,D)$ へ $D\simeq W[-c]$ を代入する。二つの同じシフトが相殺され、$A\simeq\operatorname{RHom}_A(W,W)$ を得る。次数零は実際の乗法同型、正次数は自己 Ext の消滅である。$W$ の有限性は有限自由 $S$ 解像度から従うので、定義の三条件がそろう。$\square$

$a$ の代表 $y_0$ を取る。$f(y_0)\in\mathfrak m$ で、$f'(y_0)$ は単元である。帰納的に
$$ y_{j+1}=y_j-f(y_j)f'(y_j)^{-1} $$
と定める。$f(y_j)\in\mathfrak m^{2^j}$ なら、多項式のTaylor展開から $f(y_{j+1})\in\mathfrak m^{2^{j+1}}$ となる。一次の項が選んだ補正で消え、残りの項は補正の二乗を含むからである。すべての $y_j$ の剰余は $a$ なので導関数は毎回単元である。差 $y_{j+1}-y_j$ は $\mathfrak m^{2^j}$ に入り、完備性によって極限 $y$ が存在する。多項式評価は連続だから $f(y)=0$ である。
同じ剰余をもつ二つの根 $y,z$ について、多項式の因数分解により
$$ f(y)-f(z)=(y-z)(f'(z)+(y-z)c) $$
と書ける。$y-z\in\mathfrak m$、$f'(z)$ は単元なので括弧は単元である。左辺は零、従って $y=z$ となる。Noether性も、極大イデアルの有限生成も使っていない。$\square$

$k/F$ は代数拡大であり、標数零なので分離的である。有限部分拡大 $E/F$ を取る。有限個の代数生成元を順に加えれば、各段は $F_i[T]/(f_i)$ と書け、$f_i$ は分離的な既約モニック多項式である。すでに $F_i\to R$ が剰余包含を持ち上げていれば、次の生成元の剰余は $\overline f_i$ の単根なので、前の補題で一意な根を持ち上げられる。これにより $F_i[T]/(f_i)\to R$ が定まる。体からの単位を保つ写像は単射であり、すべての非零元の逆元も保存する。したがって有限拡大全体の埋込み $s_E:E\to R$ を得る。
これらの写像は生成元の選択によらず一意である。$a\in E$ の $F$ 上の最小多項式は分離的なので、$s_E(a)$ はその持ち上げた多項式の、剰余 $a$ をもつ唯一の根である。従って同じ $a$ について異なる有限部分拡大で構成しても値は一致する。
任意の有限個の $k$ の元はある有限 $E/F$ に入る。そこで和、積、単位、逆元が保存されるので、$s(a)=s_E(a)$ という定義は $k$ 全体の環準同型となる。$\pi s=\operatorname{id}_k$ であるから、その像は係数体である。これで標数零の場合が証明された。$\square$

まず、$p$ 制限単項式が $k^p$ 上線形独立になる集合を考える。独立性は有限関係で調べる条件なので、鎖の合併も独立性を保つ。Zornの補題によって極大な集合 $\mathcal B$ を選べる。
有限部分集合 $b_1,\ldots,b_r$ では、各 $b_i^p\in k^p$ であり、独立性から $k^p[b_1,\ldots,b_r]$ の次元は $p^r$ である。この環は有限次元整域だから体であり、$k^p(b_1,\ldots,b_r)$ と同じである。従って全制限単項式の線形包は体 $k^p(\mathcal B)$ になる。
もし $a\in k$ がこの体に入らなければ、$a^p\in k^p$ であるため $a$ のこの体上の次数は $p$ である。多項式 $T^p-a^p$ の唯一の根は $a$ で、その最小多項式の次数は一か $p$ であり、一なら $a$ はすでに体内にあるからである。よって $1,a,\ldots,a^{p-1}$ は独立で、$\mathcal B$ に $a$ を追加しても制限単項式は独立になる。これは極大性に反する。従って $k=k^p(\mathcal B)$ であり、生成性も成立する。
全反復の主張を帰納的に示す。$k/k^p$ の基底を $b^i$、$0\le i_b< p$ とする。Frobeniusは体として $k$ と $k^p$ を同型にし、$k^{p^n}$ と $k^{p^{n+1}}$ も対応させる。従って帰納仮説から $k^p/k^{p^{n+1}}$ の基底は $b^{p\beta}$、$0\le\beta_b< p^n$ となる。二つの基底を掛け合わせると、$k/k^{p^{n+1}}$ の基底は $b^{i+p\beta}$ となる。指数 $i+p\beta$ はちょうど $0,\ldots,p^{n+1}-1$ を一意に走る。どの関係も有限個の単項式しか含まないので、無限の $p$ 基底についてもこの独立性と生成性の議論が成立する。$\square$

二つの代表の差は $\mathfrak m$ に入り、その $p^n$ 乗は $\mathfrak m^{p^n}$ に入る。標数 $p$ では $(u+v)^{p^n}=u^{p^n}+v^{p^n}$ なので、代表の選択による差は指定した商で零になる。従って $s_n$ は定まる。剰余を取ればもとの基底表示へ戻るため、剰余との合成は恒等写像である。
加法について、二つの元を同じ有限な指数集合に合わせて表示すれば、係数の和の $p^n$ 乗根はそれぞれの根の和となる。その代表として $\widetilde c_\alpha+\widetilde d_\alpha$ を選べるので、標数 $p$ の二項式により $s_n(a+a')=s_n(a)+s_n(a')$ となる。
積の一つの項を調べる。指数の和を成分ごとに
$$ \alpha+\beta=\gamma+p^n\eta, \qquad 0\le\gamma_b< p^n $$
と分ける。係数は $c_\alpha^{p^n}d_\beta^{p^n}b^{p^n\eta}=(c_\alpha d_\beta b^\eta)^{p^n}$ となる。その根の代表として $\widetilde c_\alpha\widetilde d_\beta\widetilde b^\eta$ を選べば、$R$ 内で元の積の項と完全に一致する。複数の項が同じ $\gamma$ に集まる場合も、加法について示した式で係数を足せる。従って積が保存される。$1$ の表示は定数一項なので単位も保存される。
両立を示すため $s_{n+1}$ を小さい商 $R/\mathfrak m^{p^n}$ へ送った写像を $t$ とする。$n\ge1$ なので、基底の一元 $b$ は指数一の項であり、$t(b)=\widetilde b=s_n(b)$ である。また任意の $c\in k$ について $s_{n+1}(c)$ の任意の代表は $c$ の代表である。この代表と $\widetilde c$ の差は $\mathfrak m$ に入るので
$$ t(c^{p^n})=t(c)^{p^n}=\widetilde c^{p^n}=s_n(c^{p^n}). $$
$k$ の全元は $k^{p^n}$ の係数と $b$ の有限単項式で生成される。二つの環準同型はこれらの元で一致したから全体でも一致する。ここで両立は、各段で基底の代表を新たに選び直すことからではなく、最初に固定した $\widetilde b$ と、$p^n$ 乗で消える代表誤差によって得られる。$\square$

$p^n$ は無限に大きくなるので、イデアル $\mathfrak m^{p^n}$ は全冪 $\mathfrak m^r$ の中で余終である。各 $r$ に対して $p^n\ge r$ の段を選び、$s_n$ を $R/\mathfrak m^r$ へ送れば、選んだ十分大きい $n$ によらず同じ値となる。従って前の補題の両立族は
$$ s:k\longrightarrow\varprojlim_nR/\mathfrak m^{p^n} =\varprojlim_rR/\mathfrak m^r=R $$
を定める。
逆極限の和と積は各商で計算されるので、$s$ は単位を保つ環準同型である。その剰余は各元についてもとの元であるから $\pi s=\operatorname{id}_k$ となる。非零元 $a$ の逆元は $s(a^{-1})$ であり、$s(a)s(a^{-1})=1$ が全精度で成立して、分離性により $R$ 内でも成立する。従って像は係数体である。これで任意の剰余体について正の標数の場合が証明された。$\square$

$k$ の元を整列する。$\mathbb Z_p$ から出発し、後続段では前述の一元拡大を行い、極限段ではそれまでの環の合併を取る。剰余体は常に $k$ 内の部分体として同定するため、後の段への写像で非零剰余が零になることはない。
極限段の環は局所で、極大イデアルは $p$ の生成するイデアルである。$p$ の倍数でない元はある前の段で剰余が非零であり、その段ですでに単元だからである。$p$ の非零因子性も保たれる。$px=0$ という等式が合併で成立すれば、$x$ が属するある段でこの等式が成立して、そこで $p$ を約分できる。最後に得る環を $B$ とすると $B/pB=k$ である。これは固定した集合 $k$ の整列に沿う構成であり、すべての環の真の類を選択対象にしていない。
ここで $C=\varprojlim_n B/p^nB$ とする。$B$ はNoetherとは限らないので、一般Noether完成定理を適用するのではなく、各有限商で約分する。自然射 $C\to B/p^nB$ は全射であり、その核は $p^nC$ である。核の元の $r+n$ 番目の座標を $p^nb_r$ と書けば、$p$ の非零因子性から $b_r$ の $p^r$ を法とする値は一意である。座標の両立性から $b_{r+1}=b_r$ modulo $p^r$ となり、$b=(b_r)\in C$ によって元は $p^nb$ と書ける。従って $C/p^nC=B/p^nB$ で、$C$ は実際に $pC$ 進完備分離である。
同じ約分で $p$ は $C$ 上も非零因子となる。$C/pC=k$ であり、剰余が非零の $u$ について $uv=1-pz$ となる $v$ を選べる。幾何級数 $\sum_{j\ge0}(pz)^j$ は収束するので $u$ は単元である。従って $C$ の極大イデアルは $pC$ である。
非零元は分離性から有限の $p$ 進次数 $e$ をもち、核の等式から $p^eu$、$u$ 単元と書ける。各非零イデアルでこの指数の最小値を取ると、そのイデアルは $p^eC$ になる。全イデアルが有限生成だから $C$ はNoetherであり、非零元の積の次数は和となるから整域である。$p$ が非零で、$p$ と互いに素な整数は単元なので標数は零である。これで所望の完備DVRを得た。$\square$

元をまず剰余体で有限基底展開し、係数を $0,\ldots,p-1$ で戻す。差は $p$ の倍数なので、$p$ で割って同じ操作をする。これを $n$ 回行うと、商の元は選んだ代表の有限線形結合となる。各回の台は有限で、回数も有限だから、全体の台も有限である。
有限関係 $\sum_e a_ec_e\in p^nC$ を剰余体で見れば、すべての $a_e$ は $p$ の倍数である。$C$ 内で $p$ を約分し、同じ議論を $n$ 回反復すると、すべての係数は $p^n$ の倍数となる。従って自由基底である。これは加群の基底であり、積の構造を基底元ごとに保存するという主張ではない。$\square$

制限単項式が $k^p$ 上線形独立になる集合を $p$ 独立集合と呼ぶ。独立性を破る関係は有限台なので、鎖の合併も $p$ 独立である。Zornの補題によって極大な $p$ 独立集合 $\mathcal B$ を選ぶ。
その制限単項式の線形包 $F$ は部分環である。積で指数が $p$ 以上になる場合は $b^p\in k^p$ を係数へ移せばよく、和も有限台を保つ。非零元 $z\in F$ について $z^p\in k^p$ であるから、$z^{-1}=z^{p-1}/z^p\in F$ となる。従って $F$ は体である。この議論は $\mathcal B$ 全体が有限であることを使わない。
もし $a\in k\setminus F$ があれば、$a^p\in k^p\subset F$ で、$X^p-a^p$ は $F$ 上既約である。詳しくは、その既約因子 $g$ は $k$ 上では $X-a$ の冪となり、根は一つだけである。$g'\ne0$ なら既約性により $g$ は分離的なので、その次数は一となり $a\in F$ で矛盾する。$g'=0$ なら次数は $p$ の倍数で、正の次数が高々 $p$ なので次数は $p$ である。従って元の多項式が既約となる。
よって $1,a,\ldots,a^{p-1}$ は $F$ 上独立である。$\mathcal B$ の単項式が $k^p$ 上独立であることと合わせると、$\mathcal B\cup\{a\}$ も $p$ 独立となり極大性に反する。従って $F=k$ である。生成性を得たので基底となり、一意性は独立性から従う。$\square$

持上げ性があれば、平方零全射 $P/J^2\to S$ に対する切断 $\tau:S\to P/J^2$ を取れる。$D(a)=a-\tau(\overline a)$ は $M$ に値をもつ $R$ 導分である。積の差の二次項は $M^2=0$ により消え、Leibniz則が成立する。各 $j\in J$ では $D(j)=j$ modulo $J^2$ なので、$D$ の各変数の値から定まる $S$ 線形写像 $\sigma:F\to M$ が $\sigma d=\operatorname{id}_M$ を満たす。
逆に左逆 $\sigma$ があれば、図式 $S\to T/N$ の各変数像を $T$ へ戻して $g:P\to T$ を作る。$g(J)\subset N$、$g(J^2)=0$ なので $h:M\to N$ が定まる。$N$ の $S$ 作用は与えた商写像によって定まり、$h$ は線形である。各変数の値を $h\sigma(dX_t)$ とする $R$ 導分 $D:P\to N$ を作り、$g'=g-D$ とおく。平方零性から $g'$ は積を保存し、$j\in J$ では $g'(j)=0$ である。従って $S$ へ降りる持上げを得る。変数が無限でも一つの多項式は有限台なので、導分もこの計算も定まる。$\square$

前の多項式表示を選ぶ。$0\to J\to P\to S\to0$ を $R/I$ でテンソルすると、$S$ の平坦性から $J/IJ\to P/IP$ が単射になる。従って $J\cap IP=IJ$ である。$S/IS$ の多項式表示の核は $J/IJ$ となり、その関係加群は
$$ J/(IJ+J^2)=M/IM $$
である。変数微分の加群も $F/IF$ となる。前の分裂判定から、$\overline d:M/IM\to F/IF$ に左逆 $\overline\sigma$ がある。
$F$ は $S$ 上自由なので、基底の $\overline\sigma$ 像を $M$ に戻して $S$ 線形写像 $\sigma_0:F\to M$ を作れる。$T=\sigma_0d$ は $M/IM$ 上で恒等写像である。$\Delta=\operatorname{id}_M-T$ は像が $IM$ に入り、線形性と $I^2=0$ から $\Delta^2=0$ となる。従って $T=\operatorname{id}-\Delta$ は逆 $\operatorname{id}+\Delta$ をもち、
$$ \sigma=(\operatorname{id}+\Delta)\sigma_0 $$
は $d$ の左逆になる。分裂判定によって結論を得る。$M$ の有限生成や射影性を使ったのではなく、$F$ の自由性と平方零誤差の有限逆行列式を使っている。$\square$

$n=1$ では $S_1=k$ であり、素体上の任意の体について一精度の持上げを証明した。帰納的に $n$ で成立したとする。$R_{n+1}$ のイデアル $I=(p^n)$ は平方零である。$S_{n+1}$ は有限商の自由基底の補題から $R_{n+1}$ 上自由、従って平坦である。また $S_{n+1}/IS_{n+1}=S_n$、$R_{n+1}/I=R_n$ である。平坦平方零持上げの補題を適用して $n+1$ の結論を得る。これは $C$ 自身が $\mathbb Z_p$ 上離散位相で形式的に滑らかであるという主張ではなく、各有限商についての主張である。$\square$

$n=1$ で $\varphi_1:C/pC=k\to A/\mathfrak m=k$ を恒等写像とする。$\varphi_{n-1}$ が作られたら、商写像を合成して
$$ C/p^nC\longrightarrow C/p^{n-1}C\longrightarrow A/\mathfrak m^{n-1} $$
を得る。$p\in\mathfrak m$ なので $p^n\in\mathfrak m^n$ であり、$A/\mathfrak m^n$ は $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$-代数である。$A/\mathfrak m^n\to A/\mathfrak m^{n-1}$ の核は平方零である。$n\ge2$ なら $2(n-1)\ge n$ だからである。
前の命題によって上の図式を持ち上げる $\varphi_n:C/p^nC\to A/\mathfrak m^n$ が存在する。この写像は $\varphi_{n-1}$ と両立するよう選ばれる。逆極限を取ると
$$ \varphi:C=\varprojlim_nC/p^nC\longrightarrow \varprojlim_nA/\mathfrak m^n=A $$
を得る。各座標で和と積と単位が保存されるので環準同型であり、剰余写像は恒等である。従って $\varphi^{-1}(\mathfrak m)=pC$ となり、局所写像である。これでDVRの抽象的存在から、与えられた環への係数準同型の存在までを別に供給した。$\square$

剰余標数が $p$ の局所環では、$p$ と互いに素な整数は剰余で非零となり単元である。従って環の正の標数は必ず $p$ の冪である。整数 $N=p^hu$、$p$ と $u$ が互いに素で $N\cdot1=0$ なら、$u$ は単元なので $p^h\cdot1=0$ になるからである。
$C$ のすべてのイデアルは零または $p$ の冪であり、核もそのいずれかである。標数零なら $p$ の任意の正冪は $A$ で非零だから核は零である。標数 $p^h$ なら $p^h$ は核に入り、$p^{h-1}$ は入らないので核はちょうど $p^hC$ である。
従って像は $C$ または $C/p^hC$ と同型で、Noether完備局所環、極大イデアルは $p\Lambda$、剰余体は $k$ となる。$\Lambda\cap\mathfrak m=p\Lambda$ も、元を $C$ へ戻して剰余が零かどうかを調べれば分かる。すべての $A$ の剰余が $\Lambda$ の像で代表されるので $A=\Lambda+\mathfrak m$ でもある。像の完備性は $p\Lambda$ 進位相でのものであり、部分空間位相を証明なしに同一視していない。$\square$

級数評価は有限次数切断を $A/\mathfrak m^n$ で評価してから逆極限を取る。係数はすでに $A$ に含まれ、$y_i\in\mathfrak m$ なので各切断の評価は両立する。和と積は各精度で有限の計算になるため、環準同型が定まる。
$a\in A$ の剰余を $\lambda_0\in\Lambda$ で戻す。誤差が $\mathfrak m^n$ に入るまで近似できたとする。$\mathfrak m^n$ は次数 $n$ の有限単項式 $p^iy^\alpha$、$i+|\alpha|=n$ で生成される。各係数を剰余で同じ $\Lambda$ の元に替えると、誤差は $\mathfrak m^{n+1}$ に入る。これを繰り返して係数を選ぶ。
固定した $Y^\alpha$ の係数は、各段階から来る $p^i\lambda_{i,\alpha}$ の和となる。$\Lambda$ は $p$ 進完備なので $\sum_i p^i\lambda_{i,\alpha}$ が $\Lambda$ 内で定まる。これらを係数とする形式級数の評価は、各精度で上の近似と同じである。分離性によって極限は $a$ に等しい。$p$ の冪を級数変数へ誤って追加せず、係数環の完備性でまとめたことが重要である。
$C\to\Lambda$ は全射であり、各級数係数を $C$ に戻せば $C[\![Y]\!]\to\Lambda[\![Y]\!]$ も全射となる。従って最後の主張も成立する。$r=0$ なら係数環自身が $A$ 全体を生成する。$\square$

係数体または Cohen 環の構成、有限生成極大イデアルの逐次近似により、Noether 正則局所環 $S$ からの全射を得る。$S$ の正則パラメータ系、長さ $n$ の剰余体の Koszul 解像度、全有限加群の有限自由解像度、$S$ の有界単射解像度は上で示した。正則表示を持つ CM 環の構成定理を適用すればよい。$d=0$ でも $c=n$ として同じ証明が成り立つ。$A$ が体なら $S=A$、$n=d=0$ の表示を選べ、構成される加群は $A$ 自身である。$\square$

次の有限自由解像度を取る。
$$0\longrightarrow S\xrightarrow{(-y,x)}S^2\xrightarrow{(x^2,xy)}S\longrightarrow A\longrightarrow0.$$
右側の写像の核では $x^2a+xyb=x(xa+yb)=0$ である。$S$ は整域なので $xa+yb=0$。$S/(x)=k\llbracket y\rrbracket$ で $y$ は非零因子だから $b=xc$ と書け、$a=-yc$ となる。これが左側の像であり、左写像も整域性から単射である。
双対複体は $0\to S\xrightarrow{(x^2,xy)}S^2\xrightarrow{(-y,x)}S\to0$。次数一の核は $S(x,y)$ である。実際 $-yu+xv=0$ を $x$ で割った商で見ると $u=xc$ となり、整域性から $v=yc$。次数零からの像は $xS(x,y)$ なので、その商は $S/(x)$ である。次数二の余核は $S/(x,y)=k$ であり、表示した二つの Ext を得る。
$\sqrt{(x^2,xy)}=(x)$ なので $A$ の次元は $S/(x)=k\llbracket y\rrbracket$ の次元一である。$x$ の $A$ における像は非零である。もし $x=x^2f+xyg$ なら $S$ 内で $x$ を約分して $1=xf+yg$ となり、極大イデアル内で $1$ を表して矛盾する。この非零元は極大イデアル $(x,y)A$ に殺されるので socle が非零、従って深さは零である。
$W=S/(x)$ の $A$ 作用では $xA\ne0$ が全体を零化する。従って乗法写像 $A\to\operatorname{End}_A(W)$ は単射でなく、双対化加群の条件を満たさない。この計算が否定するのはこの標準加群との同義視であり、ここだけから全非 CM 環での不存在を結論するものではない。$\square$