Borel–Cantelliの補題

1．$x\in\limsup_nE_n$ は「すべての $m$ について、ある $n\ge m$ で $x\in E_n$」と同じで、これは $x\in E_n$ となる $n$ が上に有界でない、すなわち無限個あることである。下極限は「ある $m$ があって、すべての $n\ge m$ で $x\in E_n$」である。2 は de Morgan の法則による。3 は、$\sigma$-代数が可算個の和集合・共通部分で閉じていること（σ-代数 の命題「σ-代数で閉じている演算」）による。4 は、両辺の値が $1$ になる条件がどちらも「$x\in E_n$ となる $n$ が無限個ある」ことであることから従う。$\square$

すべての $m$ について $\limsup_nE_n\subset\bigcup_{n\ge m}E_n$ なので、測度の単調性と可算劣加法性（測度 の命題「測度の基本性質」）により
$$ \mu\Bigl(\limsup_{n\to\infty}E_n\Bigr)\le\mu\Bigl(\bigcup_{n\ge m}E_n\Bigr)\le\sum_{n\ge m}\mu(E_n) $$
である。右辺は収束する級数の第 $m$ 項以降の和なので、$m\to\infty$ で $0$ に近づく。左辺は $m$ によらないので $0$ である。$\square$

prop-bc-limsup-basic の 2 により、補事象 $\liminf_nA_n^c=\bigcup_m\bigcap_{n\ge m}A_n^c$ の確率が $0$ であることを示せばよい。可算劣加法性により、各 $m$ について $P\bigl(\bigcap_{n\ge m}A_n^c\bigr)=0$ を示せば十分である。
$m\le N$ とする。独立な事象をその補事象に取り替えても独立なので（独立性(確率論) の定理「補事象に取り替えても独立」）、$A_m^c,\dots,A_N^c$ は互いに独立であり、
$$ P\Bigl(\bigcap_{n=m}^NA_n^c\Bigr)=\prod_{n=m}^N\bigl(1-P(A_n)\bigr)\le\prod_{n=m}^Ne^{-P(A_n)}=\exp\Bigl(-\sum_{n=m}^NP(A_n)\Bigr) $$
である。ここで実数 $t$ についての不等式 $1-t\le e^{-t}$（$e^{-t}$ は凸で、$t=0$ での接線が $1-t$）を使った。$\sum_nP(A_n)=\infty$ なので、右辺は $N\to\infty$ で $0$ に近づく。$\bigcap_{n=m}^NA_n^c$ は $N$ について減少し、共通部分は $\bigcap_{n\ge m}A_n^c$ なので、確率の連続性（確率空間 の命題「確率の連続性」）により $P\bigl(\bigcap_{n\ge m}A_n^c\bigr)=\lim_{N\to\infty}P\bigl(\bigcap_{n=m}^NA_n^c\bigr)=0$ である。$\square$

和が有限なら thm-bc-first、無限なら thm-bc-second による。$\square$

要点：分散が $s_n$ 以下であることから Chebyshev の不等式で $S_n/s_n$ が $1$ に近いことを確率で評価し、$s_{n_k}\approx k^2$ となる部分列では評価の和が有限になるので第 1 の補題が使える。部分列の間は $S_n$ と $s_n$ の単調性で挟む。

$k=1,2,\dots$ について順に、$n_k>n_{k-1}$（$n_0:=0$）かつ $P(\lvert X_{n_k}-X\rvert>1/k)\le2^{-k}$ となる $n_k$ をとる（確率収束の定義から、十分大きい $n$ はこれを満たす）。$\sum_k2^{-k}<\infty$ なので、thm-bc-first により、ほとんどすべての $\omega$ について $\lvert X_{n_k}(\omega)-X(\omega)\rvert>1/k$ となる $k$ は有限個しかない。そのような $\omega$ では、十分大きいすべての $k$ で $\lvert X_{n_k}(\omega)-X(\omega)\rvert\le1/k$ なので、$X_{n_k}(\omega)\to X(\omega)$ である。$\square$

指定した $r$ 個の桁を $1$ とする事象の確率は $2^{-r}$ であり、互いに交わらない桁の集まりについてのそうした事象は互いに独立である（ex-bc-binary の 2 と同じ計算）。
上からの評価．$m$ 回目から始まる表の連続の長さを $\ell_m:=\max\{j\ge0\mid d_m=\cdots=d_{m+j-1}=1\}$ とする（$d_k$ の定義から、$\omega$ の 2 進展開は 1 が限りなく続くことがないので有限）。$\varepsilon>0$ を固定し、$k_m:=\lceil(1+\varepsilon)\log_2m\rceil$ とおくと
$$ P(\ell_m\ge k_m)=2^{-k_m}\le2^{-(1+\varepsilon)\log_2m}=m^{-(1+\varepsilon)} $$
であり、これは $m$ について和が有限である。thm-bc-first により、ほとんど確実に、ある $M$ があって $m\ge M$ なら $\ell_m<(1+\varepsilon)\log_2m$ である。$C:=\max_{m< M}\ell_m$（$M=1$ なら $C:=0$）とおくと、$n\ge M$ のとき最初の $n$ 回の中の連続は、$m< M$ から始まるなら長さ $C$ 以下、$m\ge M$ から始まるなら長さ $(1+\varepsilon)\log_2n$ 未満なので、$L_n\le\max\{C,(1+\varepsilon)\log_2n\}$ である。よって $\limsup_nL_n/\log_2n\le1+\varepsilon$ であり、$\varepsilon=1/j$（$j=1,2,\dots$）について合わせて $\limsup_nL_n/\log_2n\le1$ を得る。
下からの評価．$0<\varepsilon<1$ を固定する。$n\ge2$ について $k:=\lfloor(1-\varepsilon)\log_2n\rfloor+1$ とおき、最初の $n$ 回を長さ $k$ の互いに交わらない $r:=\lfloor n/k\rfloor$ 個の区間に分ける。どの区間もすべて表ではない事象は、各区間がすべて表である（確率 $2^{-k}$ の、互いに独立な）事象の補事象の共通部分なので、独立性(確率論) の定理「補事象に取り替えても独立」により
$$ P(L_n< k)\le(1-2^{-k})^r\le\exp(-r2^{-k}) $$
である。$2^{-k}\ge2^{-(1-\varepsilon)\log_2n-1}=\frac12n^{-(1-\varepsilon)}$、$k\le\log_2n+1\le2\log_2n$ であり、$n$ が大きければ $r\ge\frac n{2\log_2n}-1\ge\frac n{4\log_2n}$ なので、
$$ P\bigl(L_n< (1-\varepsilon)\log_2n\bigr)\le P(L_n< k)\le\exp\Bigl(-\frac{n^\varepsilon}{8\log_2n}\Bigr) $$
である。$n$ が大きければ $\frac{n^\varepsilon}{8\log_2n}\ge2\ln n$（$\ln$ は自然対数）なので、右辺は $n^{-2}$ 以下で、和は有限である。thm-bc-first により、ほとんど確実に、十分大きいすべての $n$ で $L_n\ge(1-\varepsilon)\log_2n$ である。$\varepsilon=1/j$（$j\ge2$）について合わせて $\liminf_nL_n/\log_2n\ge1$ を得る。$\square$