単体的空間の実現のホモトピー不変性

同義語：homotopy invariance of the realization of simplicial spaces

概要

前提知識: 単体的空間の幾何学的実現, コファイブレーション, CW複体, 弱ホモトピー同値

単体的空間の実現のホモトピー不変性（homotopy invariance of the realization of simplicial spaces）は、単体的空間の射 $f\colon X\to Y$ が各次数でホモトピー同値 $f_n\colon X_n\to Y_n$ なら、単体的空間の幾何学的実現 $\lvert f\rvert\colon\lvert X\rvert\to\lvert Y\rvert$ も弱ホモトピー同値になる、という主張である。ただしこれは無条件には成り立たず、退化写像の像（退化部分）の付き方に条件が要る。この記事では、各次数が CW 複体で退化写像の像が部分複体である単体的空間（CW 単体的空間）について、実現の次数 $n$ 以下の部分がホモトピー同値で対応し、全体が弱ホモトピー同値で対応することを証明する。
退化の同一視をしない fat 実現 $\| X\|$ については、各次数の空間にも条件をつけずに同じ結論が成り立つ。証明はどちらも、実現を次数の順に押し出しで組み立て、各段でコファイブレーションに沿う押し出しのホモトピー不変性を使い、最後にコンパクト集合が有限の段に入ることで全体に移る、という筋である。

設定と定義

空間はすべてコンパクト生成空間（弱 Hausdorff な $k$-空間）とし、記号は単体的空間の幾何学的実現に従う。単体的空間 $X$ について、退化部分 $D_nX=\bigcup_{j=0}^{n-1}s_j(X_{n-1})$、
$$ L_nX=\bigl(X_n\times\partial\lvert\Delta^n\rvert\bigr)\cup\bigl(D_nX\times\lvert\Delta^n\rvert\bigr)\subseteq X_n\times\lvert\Delta^n\rvert, $$
次数 $n$ 以下の点からなる閉集合 $F_n\lvert X\rvert$ をとる。同記事の定理「実現の位相と骨格」の 4 により、$F_n\lvert X\rvert$ は商写像の制限 $L_nX\to F_{n-1}\lvert X\rvert$ に沿って $F_{n-1}\lvert X\rvert$ に $X_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ を貼った押し出しであり、$F_0\lvert X\rvert\cong X_0$ である。$\lvert\Delta^n\rvert$ はコンパクト Hausdorff なので、$k$ 化した積 $X_n\times_k\lvert\Delta^n\rvert$ は直積位相の積と一致する（同記事の補題「積の位相についての三つの事実」の 1）。

CW 単体的空間

単体的空間 $X$ が CW 単体的空間 であるとは、各 $X_n$ に CW 複体の構造が与えられ、$n\ge1$ と $0\le j\le n-1$ のすべてについて退化写像の像 $s_j(X_{n-1})$ が $X_n$ の部分複体であることをいう。面写像・退化写像が胞体写像であることは要求しない。

各次数が離散空間の単体的空間、すなわち単体的集合は CW 単体的空間である。CW 複体は Hausdorff な $k$-空間なので（CW複体の定理「CW 複体は Hausdorff」、Hat02 Appendix, p. 523）、コンパクト生成空間である。単体的空間の射 $f\colon X\to Y$ は、すべての $n$ で $f_n$ がホモトピー同値写像のとき 次数ごとのホモトピー同値 であるという。

fat 実現

空間の列 $X_n$（$n\ge0$）と、$\Delta$ の単射 $\delta\colon[m]\to[n]$ ごとの連続写像 $\delta^*\colon X_n\to X_m$ で $\mathrm{id}^*=\mathrm{id}$、$(\delta\delta')^*=\delta'^*\delta^*$ を満たすものを 半単体的空間 という（単体的空間から退化写像を忘れたもの）。$\coprod_nX_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ を、単射 $\delta$ についての $(\delta^*x,t)\sim(x,\lvert\delta\rvert(t))$ が生成する同値関係で割った商空間を $\| X\|$ と書き、$X$ の fat 実現（太った実現）という。$k\le n$ の $X_k\times\lvert\Delta^k\rvert$ の像を $F_n\| X\|$ と書く。単体的空間の fat 実現は、面写像だけを使ってこう作ったものである。

主定理

CW 単体的空間の実現

$X,Y$ を CW 単体的空間、$f\colon X\to Y$ を次数ごとのホモトピー同値とする。

すべての $n\ge0$ について、$f$ が誘導する $F_n\lvert X\rvert\to F_n\lvert Y\rvert$ はホモトピー同値である。
$\lvert f\rvert\colon\lvert X\rvert\to\lvert Y\rvert$ は弱ホモトピー同値である。
$\lvert X\rvert$ と $\lvert Y\rvert$ がそれぞれある CW 複体とホモトピー同値なら、$\lvert f\rvert$ はホモトピー同値である。

証明の所在

1 と 2 は節「退化部分の比較」の最後で、prop-hirs-stage に帰着させて証明する。3 は下の段落で述べる。

fat 実現

$X,Y$ を半単体的空間、$f\colon X\to Y$ を各次数がホモトピー同値写像の射（すべての $\delta^*$ と可換な写像の族）とする。このとき、すべての $n$ で $F_n\| X\|\to F_n\| Y\|$ はホモトピー同値であり、$\| f\|\colon\| X\|\to\| Y\|$ は弱ホモトピー同値である。

証明の所在

節「fat 実現の場合」で、退化を自由に足した単体的空間に prop-hirs-stage を当てて証明する。

thm-hirs-main の 3 は 2 と弱ホモトピー同値の系「CW 複体のホモトピー型をもつ空間」から直ちに従う。たとえば単体的集合の実現は CW 複体である（幾何学的実現の定理「幾何学的実現の CW 構造」）。

段ごとの比較

二つの主定理は、次の判定法に帰着する。

段ごとの判定

$X,Y$ を単体的空間、$f\colon X\to Y$ を単体的空間の射とし、すべての $n\ge0$ について次を仮定する。

(a) 包含 $L_nX\hookrightarrow X_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ と $L_nY\hookrightarrow Y_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ は閉コファイブレーション（像が閉集合のコファイブレーション）である。
(b) $f_n$ と、$f_n\times\mathrm{id}$ の制限 $L_nf\colon L_nX\to L_nY$ はホモトピー同値写像である。
このとき、すべての $n$ で $F_n\lvert f\rvert\colon F_n\lvert X\rvert\to F_n\lvert Y\rvert$ はホモトピー同値写像であり、$\lvert f\rvert$ は弱ホモトピー同値である。

証明の筋

証明は次の補題のあとで行う。段の比較は押し出しのホモトピー不変性で、全体への移行はコンパクト集合が有限の段に入ることで行う。

$f_n\times\mathrm{id}$ が $L_nX$ を $L_nY$ に写すのは、$f$ が退化写像と可換で $D_nX$ を $D_nY$ に写すからである。

コンパクト集合は有限の段に入る

単体的空間 $X$ の実現 $\lvert X\rvert$ のコンパクト集合は、ある $F_n\lvert X\rvert$ に含まれる。

離散な閉集合を作る

$C\subseteq\lvert X\rvert$ をコンパクト集合とし、どの $F_n\lvert X\rvert$ にも含まれないとする。$C$ の点 $c_1$ をとり、その次数を $m_1$ とする。$c_1,\dots,c_k$ まで選んだら、$C\not\subseteq F_{m_k}\lvert X\rvert$ なので、次数が $m_{k+1}>m_k$ の点 $c_{k+1}\in C$ がとれる。$S:=\{c_1,c_2,\dots\}$ の任意の部分集合 $T$ について、$T\cap F_n\lvert X\rvert$ は有限集合である。$\lvert X\rvert$ は弱 Hausdorff なので一点は閉集合であり（一点はコンパクト Hausdorff 空間の像）、有限集合 $T\cap F_n\lvert X\rvert$ は $F_n\lvert X\rvert$ の閉集合である。単体的空間の幾何学的実現の定理「実現の位相と骨格」の 3 により $T$ は $\lvert X\rvert$ の閉集合である。よって $S$ は $C$ の閉集合でコンパクトであり、その部分集合がすべて閉なので離散でもある。無限個の点からなるコンパクトな離散空間はないので矛盾する。$\square$

押し出しを段ごとに比べる

段のホモトピー同値． $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ では $F_0\lvert X\rvert\cong X_0$、$F_0\lvert Y\rvert\cong Y_0$ のもとで $F_0\lvert f\rvert=f_0$ である。$n\ge1$ とし、$F_{n-1}\lvert f\rvert$ がホモトピー同値だとする。単体的空間の幾何学的実現の定理「実現の位相と骨格」の 4 により、$F_n\lvert X\rvert$ は
$$ F_{n-1}\lvert X\rvert\xleftarrow{\ \varphi_X\ }L_nX\hookrightarrow X_n\times\lvert\Delta^n\rvert $$
（$\varphi_X$ は商写像の制限）の押し出しであり、$Y$ も同様である。$f$ はこの図式の間の可換な射 $(F_{n-1}\lvert f\rvert,\ L_nf,\ f_n\times\mathrm{id})$ を与え、押し出しの間の誘導写像は $F_n\lvert f\rvert$ である。$f_n\times\mathrm{id}$ はホモトピー逆写像とホモトピーに $\mathrm{id}$ を並べればホモトピー同値であり、$L_nf$ は (b) によりホモトピー同値である。(a) により右の脚は閉コファイブレーションなので、コファイブレーションの定理「コファイブレーションに沿う押し出しのホモトピー不変性」により $F_n\lvert f\rvert$ はホモトピー同値である。
全体の弱ホモトピー同値． $F_n\lvert f\rvert$ はホモトピー同値なので、すべての点で弧状連結成分とすべてのホモトピー群に同型を誘導する（弱ホモトピー同値の命題「ホモトピー同値は弱ホモトピー同値」）。$\lvert X\rvert$ の各点はある段に入り、球面・円板・区間のコンパクトな像は lem-hirs-compact によりある段に入り、段は増大列で、各段は部分空間なので像を段に制限した写像も連続である。

$\pi_0$ の全射：$y\in\lvert Y\rvert$ の段を $N$ とすると、$F_N\lvert f\rvert$ の $\pi_0$ の全射性から、$F_N\lvert Y\rvert$ の中で $y$ と道で結ばれる点 $\lvert f\rvert(a)$ がある。
$\pi_0$ の単射：$\lvert f\rvert(a)$ と $\lvert f\rvert(a')$ を結ぶ道の像と $a,a'$ を含む段 $N$ をとると、$F_N\lvert f\rvert$ の $\pi_0$ の単射性から $a,a'$ は $F_N\lvert X\rvert$ の中で道で結ばれる。
$\pi_n$（$n\ge1$、基点 $a$）の全射：$\lvert f\rvert(a)$ を基点とする球面の写像の像と $a$ を含む段 $N$ をとると、$F_N\lvert f\rvert$ が誘導する $\pi_n(F_N\lvert X\rvert,a)\to\pi_n(F_N\lvert Y\rvert,\lvert f\rvert(a))$ は同型なので、その類は $F_N\lvert X\rvert$ から来る。
$\pi_n$ の単射：$a$ を基点とする球面の写像 $g$ で、$\lvert f\rvert\circ g$ が $\lvert Y\rvert$ の中で基点を止めて零ホモトピックなものをとる。$g$ の像とその零ホモトピーの像を含む段 $N$ をとると、$F_N\lvert f\rvert\circ g$ は $F_N\lvert Y\rvert$ の中で零ホモトピックであり、同型性から $g$ は $F_N\lvert X\rvert$ の中で、したがって $\lvert X\rvert$ の中で零ホモトピックである。
よって $\lvert f\rvert$ は弱ホモトピー同値である。$\square$

退化部分の比較

この節では、CW 単体的空間が prop-hirs-stage の (a)(b) を満たすことを示す。鍵は、二つの退化写像の像の共通部分がまた退化写像の像になることである。$-1\le k\le n-1$ について $D_{n,k}X:=\bigcup_{j=0}^{k}s_j(X_{n-1})$（$D_{n,-1}X:=\emptyset$）とおくと、$D_nX=D_{n,n-1}X$ である。

退化写像の像の共通部分

任意の単体的空間（単体的集合でもよい）$X$ と $0\le j< k\le n-1$ について
$$ s_j(X_{n-1})\cap s_k(X_{n-1})=s_k\bigl(s_j(X_{n-2})\bigr) $$
である。したがって $0\le k\le n-1$ について $D_{n,k-1}X\cap s_k(X_{n-1})=s_k\bigl(D_{n-1,k-1}X\bigr)$ である。

単体的恒等式で根を下ろす

使う単体的恒等式は、単体圏の命題「余単体的恒等式」の双対の $d_ks_k=d_{k+1}s_k=\mathrm{id}$、$d_js_{j+1}=s_jd_j$、$d_ks_j=s_jd_{k-1}$（$k>j+1$）、$s_ks_j=s_js_{k-1}$（$j< k$）である。$\supseteq$：$s_ks_jy=s_js_{k-1}y$ は両方の像に入る。$\subseteq$：$x=s_kz=s_jw$ とする。$k>j+1$ なら $z=d_kx=d_ks_jw=s_jd_{k-1}w$ である。$k=j+1$ なら $z=d_{j+1}x=d_{j+1}s_jw=w$ なので $x=s_jz=s_{j+1}z$ であり、$z=d_jx=d_js_{j+1}z=s_jd_jz$ である。どちらの場合も $z\in s_j(X_{n-2})$ で、$x=s_kz\in s_k(s_j(X_{n-2}))$ である。後半は $j=0,\dots,k-1$ について前半の和集合をとればよい。$\square$

CW 単体的空間の退化部分

$X,Y$ を CW 単体的空間、$f\colon X\to Y$ を次数ごとのホモトピー同値とする。

$D_{n,k}X$ は $X_n$ の部分複体であり、$f_n$ の制限 $D_{n,k}X\to D_{n,k}Y$ はホモトピー同値写像である。とくに $D_nf\colon D_nX\to D_nY$ はホモトピー同値写像である。
$X_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ に積の CW 構造を入れると $L_nX$ は部分複体であり、包含 $L_nX\hookrightarrow X_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ は閉コファイブレーション、$L_nf$ はホモトピー同値写像である。

部分複体の和に貼り合わせを当てる

要点：$D_{n,k}X=D_{n,k-1}X\cup s_k(X_{n-1})$ の共通部分は lem-hirs-intersection により $s_k(D_{n-1,k-1}X)$ で、$s_k$ は像への同相写像なので一つ下の次数の場合に帰着する。和は部分複体の和の貼り合わせで扱う。

詳しい証明を開く

1．部分複体の有限個の和と共通部分は部分複体である。$n$ について帰納法で、各 $n$ では $k$ について帰納法で示す。$k=-1$ では両辺が空集合で、空集合の恒等写像はホモトピー同値である。$0\le k\le n-1$ とし、$U:=D_{n,k-1}X$、$V:=s_k(X_{n-1})$ とおき、$Y$ の側も $U',V'$ とする。$U,V$ は部分複体で、lem-hirs-intersection により $U\cap V=s_k(D_{n-1,k-1}X)$ である。$f$ は退化写像と可換なので $f_n$ は $U,V,U\cap V$ をそれぞれ $U',V',U'\cap V'$ に写す。$s_k\colon X_{n-1}\to V$ は同相写像である（単体的空間の幾何学的実現の補題「退化写像の像」）。$f_n\circ s_k=s_k\circ f_{n-1}$ なので、$f_n|_V=s_k\circ f_{n-1}\circ s_k^{-1}$ はホモトピー同値写像であり、$f_n|_{U\cap V}$ は $s_k$ で $D_{n-1,k-1}X\to D_{n-1,k-1}Y$ と共役なので、$n$ についての帰納法の仮定によりホモトピー同値写像である。$f_n|_U$ は $k$ についての帰納法の仮定によりホモトピー同値写像である。コファイブレーションの系「CW 複体の部分複体の有限個の和」を二つの部分複体 $U,V$ に当てると、$f_n|_{U\cup V}$ はホモトピー同値写像である。$n=0$ では $k=-1$ だけである。

2．$\lvert\Delta^n\rvert$ には面の内部を胞体とする CW 構造を入れ、$\partial\lvert\Delta^n\rvert$ はその部分複体である。$\lvert\Delta^n\rvert$ はコンパクトなので、積の胞体は直積位相の $X_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ の CW 構造を与え（Hat02 Appendix, Theorem A.6, p. 524）、$X_n\times\partial\lvert\Delta^n\rvert$ と $D_nX\times\lvert\Delta^n\rvert$ は部分複体である。よって $L_nX$ は部分複体であり、CW 対はホモトピー拡張性質をもつので（コファイブレーションの例「CW 対と良い基点」）、包含は閉コファイブレーションである。$f_n\times\mathrm{id}$ の、$X_n\times\partial\lvert\Delta^n\rvert$、$D_nX\times\lvert\Delta^n\rvert$、その共通部分 $D_nX\times\partial\lvert\Delta^n\rvert$ への制限は、それぞれ $f_n$、1 の $D_nf$、$D_nf$ と恒等写像の積なのでホモトピー同値写像であり、同じ系により $L_nf$ はホモトピー同値写像である。$\square$

CW 単体的空間の場合

thm-hirs-main を示す。lem-hirs-latching の 2 により $X,Y,f$ は prop-hirs-stage の (a)(b) を満たすので、1 と 2 が従う。3 は主定理の直後に述べたとおりである。$\square$

fat 実現の場合

fat 実現は、退化写像を自由に付け加えた単体的空間の実現として書ける。単体圏の補題「射は像とつぶれる位置で決まる」の (R1) により、$\Delta$ の射は全射と単射の合成にただ 1 通りに分解される。

退化を自由に足した単体的空間

半単体的空間 $X$ について、$(LX)_n:=\coprod_{\sigma}X_k$（$\sigma$ は順序を保つ全射 $[n]\to[k]$ を動き、$\sigma$ の成分の点を $(x,\sigma)$ と書く）とし、$\Delta$ の射 $\alpha\colon[m]\to[n]$ について、$\sigma\alpha=\delta\sigma'$（$\sigma'$ は全射、$\delta$ は単射）と分解して $\alpha^*(x,\sigma):=(\delta^*x,\sigma')$ と定める。

$LX$ は単体的空間であり、半単体的空間の射 $f$ から $(Lf)_n:=\coprod_\sigma f_k$ が単体的空間の射を定める。
$\Phi[x,t]:=[(x,\mathrm{id}_{[n]}),t]$ と $\Psi[(x,\sigma),t]:=[x,\lvert\sigma\rvert(t)]$ は互いに逆の同相写像 $\| X\|\cong\lvert LX\rvert$ を与え、$F_n\| X\|$ を $F_n\lvert LX\rvert$ に写し、$f$ について自然である。
$D_n(LX)$ は $\sigma\ne\mathrm{id}_{[n]}$ の成分の和で、$(LX)_n$ の開かつ閉な部分集合である。したがって $L_n(LX)=\bigl(X_n\times\partial\lvert\Delta^n\rvert\bigr)\sqcup\bigl(D_n(LX)\times\lvert\Delta^n\rvert\bigr)$ である。

全射と単射への分解

要点：分解の一意性から関手性が、$\lvert\sigma\alpha\rvert=\lvert\sigma\rvert\lvert\alpha\rvert$ から二つの写像が同値関係を保つことが、成分の上で計算して互いに逆であることが分かる。

詳しい証明を開く

1．$\alpha^*$ は各成分の上で連続な写像 $\delta^*$ なので連続である。$\beta\colon[l]\to[m]$ について $\sigma\alpha=\delta\sigma'$、$\sigma'\beta=\delta'\sigma''$ と分解すると $\sigma\alpha\beta=(\delta\delta')\sigma''$ はまた全射と単射への分解なので、一意性により $(\alpha\beta)^*(x,\sigma)=((\delta\delta')^*x,\sigma'')=\beta^*\alpha^*(x,\sigma)$ である。恒等射は $\sigma\cdot\mathrm{id}=\mathrm{id}\cdot\sigma$ と分解され、$\mathrm{id}^*=\mathrm{id}$ である。$f$ は $\delta^*$ と可換なので $Lf$ は $\alpha^*$ と可換である。

2．$\Phi$ が関係を保つこと：単射 $\delta\colon[m]\to[n]$ について $\mathrm{id}_{[n]}\delta=\delta\,\mathrm{id}_{[m]}$ なので $\delta^*(x,\mathrm{id}_{[n]})=(\delta^*x,\mathrm{id}_{[m]})$ であり、$(\delta^*x,t)$ と $(x,\lvert\delta\rvert t)$ の像は $\lvert LX\rvert$ で等しい。$\Psi$ が関係を保つこと：$\alpha^*(x,\sigma)=(\delta^*x,\sigma')$ の点 $t$ の像は $[\delta^*x,\lvert\sigma'\rvert t]=[x,\lvert\delta\rvert\lvert\sigma'\rvert t]=[x,\lvert\sigma\rvert\lvert\alpha\rvert t]$ で、$((x,\sigma),\lvert\alpha\rvert t)$ の像と等しい。どちらも非交和の各成分の上で連続な写像から来るので、商空間の間の連続写像である。$\Psi\Phi[x,t]=[x,t]$ であり、$\sigma^*(x,\mathrm{id}_{[k]})=(x,\sigma)$（$\mathrm{id}\cdot\sigma$ の分解）から $\Phi\Psi[(x,\sigma),t]=[(x,\mathrm{id}_{[k]}),\lvert\sigma\rvert t]=[(x,\sigma),t]$ である。段については、$\Psi$ が $(LX)_m\times\lvert\Delta^m\rvert$（$m\le n$）の像を $k\le m$ の $X_k\times\lvert\Delta^k\rvert$ の像に写し、$\Phi$ が逆に写すことから従う。自然性は式から明らかである。

3．$s_j(x,\tau)=(x,\tau\sigma^j)$ なので、$s_j$ の像は $\sigma(j)=\sigma(j+1)$ となる全射 $\sigma$ の成分の和であり、$D_n(LX)$ は $\mathrm{id}_{[n]}$ 以外の全射の成分の和である（$\sigma\ne\mathrm{id}$ ならある $j$ で $\sigma(j)=\sigma(j+1)$）。非交和の成分の和は開かつ閉である。$(LX)_n=X_n\sqcup D_n(LX)$ から後半が従う。$\square$

fat 実現の場合

thm-hirs-fat を示す。lem-hirs-free の 2 により、$Lf$ に prop-hirs-stage を当てればよい。(b)：$(Lf)_n=\coprod_\sigma f_k$ はホモトピー同値写像の非交和なのでホモトピー同値写像であり、lem-hirs-free の 3 により $L_n(Lf)$ は $f_n\times\mathrm{id}_{\partial\lvert\Delta^n\rvert}$ と $D_n(Lf)\times\mathrm{id}$ の非交和で、どちらもホモトピー同値写像の積なのでホモトピー同値写像である。(a)：同じ分解により、包含 $L_n(LX)\hookrightarrow(LX)_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ は $X_n\times\partial\lvert\Delta^n\rvert\hookrightarrow X_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ と恒等写像の非交和である。$(X_n,\emptyset)$ と $(\lvert\Delta^n\rvert,\partial\lvert\Delta^n\rvert)$（CW 対）はホモトピー拡張性質をもつ閉集合の対なので、コファイブレーションの系「積の対のホモトピー拡張性質」により前者は閉コファイブレーションであり、非交和もそうである。$\square$

例

位相群の bar 構成

$G,H$ を局所コンパクトな位相群で、単位元が $0$ 胞体となる CW 構造をもつものとし、$\varphi\colon G\to H$ を連続な準同型でホモトピー同値写像であるものとする。単体的空間の幾何学的実現の節「例：位相群の bar 構成」の単体的空間 $B_\bullet G$（$B_nG=G^n$、$s_i$ は $i$ 番目の成分の後に単位元を挿入する）について、$G^n$ は積の CW 構造で CW 複体であり（Hat02 Appendix, Theorem A.6, p. 524）、$s_i$ の像 $G^i\times\{e\}\times G^{n-1-i}$ は部分複体なので、$B_\bullet G$ は CW 単体的空間である。$\varphi$ は準同型なので $B_n\varphi:=\varphi^n$ は面写像・退化写像と可換で、各次数でホモトピー同値写像である。thm-hirs-main により、$BG=\lvert B_\bullet G\rvert\to BH$ は弱ホモトピー同値であり、各段 $F_nBG\to F_nBH$ はホモトピー同値である。

包含 $S^1\hookrightarrow\mathbb{C}^\times$ は準同型で、$z\mapsto z/\lvert z\rvert^{u}$（$u\in I$）が $\mathbb{C}^\times$ から $S^1$ への変位レトラクトを与えるのでホモトピー同値である。$\mathbb{C}^\times$ は $z\mapsto(z/\lvert z\rvert,\log\lvert z\rvert)$ で $S^1\times\mathbb{R}$ と同相なので、$1$ を $0$ 胞体とする CW 構造をもつ。よって $BS^1\to B\mathbb{C}^\times$ は弱ホモトピー同値である。
$\mathbb{R}$ は整数を $0$ 胞体とする CW 複体で可縮なので、自明な群への準同型 $\mathbb{R}\to\{e\}$ はホモトピー同値である。$\lvert B_\bullet\{e\}\rvert$ は一点なので（同記事の例「定値単体的空間」）、$B\mathbb{R}$ は弱可縮である。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
すべての $n$ で $f_n$ がホモトピー同値（thm-hirs-main）	単体的集合の射 $f\colon\Delta^1/\partial\Delta^1\to\Delta^0$（$f_0$ だけがホモトピー同値）	$\lvert f\rvert$ が弱ホモトピー同値であること
全体の位相が段についての弱位相（lem-hirs-compact）	$[0,1]$ と閉集合の増大列 $A_n:=[0,1-\frac1{n+1}]\cup\{1\}$	コンパクト集合がある段に入ること

反例の確かめ

各行の確かめを開く

単体的集合は CW 単体的空間である。$X:=\Delta^1/\partial\Delta^1$ は $0$ 単体が $1$ つ、$1$ 単体が $2$ つ（退化したものと $\Delta^1$ の像）なので、$f_0$ は一点から一点への写像でホモトピー同値だが、$f_1$ は二点から一点への写像でホモトピー同値でない。実現は余極限を保つので（幾何学的実現の系「余極限の保存」）、$\lvert X\rvert$ は $\lvert\Delta^1\rvert=[0,1]$ の両端（$\lvert\partial\Delta^1\rvert$。同記事の例「境界とホーンの実現」）を一点につぶした円周であり、$\lvert\Delta^0\rvert$ は一点である。$\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ なので $\lvert f\rvert$ は弱ホモトピー同値でない。
$A_n$ は閉集合の増大列で和は $[0,1]$ だが、コンパクト集合 $[0,1]$ はどの $A_n$ にも含まれない。弱位相の条件は成り立たない：$[0,1)$ と各 $A_n$ の交わり $[0,1-\frac1{n+1}]$ は $A_n$ の閉集合だが、$[0,1)$ は $[0,1]$ の閉集合でない。

補足

一般の単体的空間：Seg74 Appendix A の Proposition A.1（p. 308）は、次数ごとのホモトピー同値が fat 実現のホモトピー同値を誘導すること（同書は自明として証明を省く）と、包含 $s_i(A_{n-1})\to A_n$ がすべて閉コファイブレーションである単体的空間（同書 Definition A.4、p. 309 の「good」）では fat 実現と実現がホモトピー同値であることを述べ、後者を Lemma A.5 とその証明（pp. 309–310）で示している。同書 p. 308 は、条件をおかないと次数ごとのホモトピー同値が実現のホモトピー同値を誘導するとは限らないことも注意している。この記事ではこれらを証明しない。thm-hirs-fat は、同書の Proposition A.1 の (ii) の結論を弱ホモトピー同値に弱めた形である。
特異単体的集合：特異単体的集合の実現の弱同値の主定理の証明も、押し出しのホモトピー不変性で段ごとに比べる同じ型の議論を使う。