Cohen環

$k$ の元を整列する。$\mathbb Z_p$ から出発し、後続段では前述の一元拡大を行い、極限段ではそれまでの環の合併を取る。剰余体は常に $k$ 内の部分体として同定するため、後の段への写像で非零剰余が零になることはない。
極限段の環は局所で、極大イデアルは $p$ の生成するイデアルである。$p$ の倍数でない元はある前の段で剰余が非零であり、その段ですでに単元だからである。$p$ の非零因子性も保たれる。$px=0$ という等式が合併で成立すれば、$x$ が属するある段でこの等式が成立して、そこで $p$ を約分できる。最後に得る環を $B$ とすると $B/pB=k$ である。これは固定した集合 $k$ の整列に沿う構成であり、すべての環の真の類を選択対象にしていない。
ここで $C=\varprojlim_n B/p^nB$ とする。$B$ はNoetherとは限らないので、一般Noether完成定理を適用するのではなく、各有限商で約分する。自然射 $C\to B/p^nB$ は全射であり、その核は $p^nC$ である。核の元の $r+n$ 番目の座標を $p^nb_r$ と書けば、$p$ の非零因子性から $b_r$ の $p^r$ を法とする値は一意である。座標の両立性から $b_{r+1}=b_r$ modulo $p^r$ となり、$b=(b_r)\in C$ によって元は $p^nb$ と書ける。従って $C/p^nC=B/p^nB$ で、$C$ は実際に $pC$ 進完備分離である。
同じ約分で $p$ は $C$ 上も非零因子となる。$C/pC=k$ であり、剰余が非零の $u$ について $uv=1-pz$ となる $v$ を選べる。幾何級数 $\sum_{j\ge0}(pz)^j$ は収束するので $u$ は単元である。従って $C$ の極大イデアルは $pC$ である。
非零元は分離性から有限の $p$ 進次数 $e$ をもち、核の等式から $p^eu$、$u$ 単元と書ける。各非零イデアルでこの指数の最小値を取ると、そのイデアルは $p^eC$ になる。全イデアルが有限生成だから $C$ はNoetherであり、非零元の積の次数は和となるから整域である。$p$ が非零で、$p$ と互いに素な整数は単元なので標数は零である。これで所望の完備DVRを得た。$\square$

元をまず剰余体で有限基底展開し、係数を $0,\ldots,p-1$ で戻す。差は $p$ の倍数なので、$p$ で割って同じ操作をする。これを $n$ 回行うと、商の元は選んだ代表の有限線形結合となる。各回の台は有限で、回数も有限だから、全体の台も有限である。
有限関係 $\sum_e a_ec_e\in p^nC$ を剰余体で見れば、すべての $a_e$ は $p$ の倍数である。$C$ 内で $p$ を約分し、同じ議論を $n$ 回反復すると、すべての係数は $p^n$ の倍数となる。従って自由基底である。これは加群の基底であり、積の構造を基底元ごとに保存するという主張ではない。$\square$

制限単項式が $k^p$ 上線形独立になる集合を $p$ 独立集合と呼ぶ。独立性を破る関係は有限台なので、鎖の合併も $p$ 独立である。Zornの補題によって極大な $p$ 独立集合 $\mathcal B$ を選ぶ。
その制限単項式の線形包 $F$ は部分環である。積で指数が $p$ 以上になる場合は $b^p\in k^p$ を係数へ移せばよく、和も有限台を保つ。非零元 $z\in F$ について $z^p\in k^p$ であるから、$z^{-1}=z^{p-1}/z^p\in F$ となる。従って $F$ は体である。この議論は $\mathcal B$ 全体が有限であることを使わない。
もし $a\in k\setminus F$ があれば、$a^p\in k^p\subset F$ で、$X^p-a^p$ は $F$ 上既約である。詳しくは、その既約因子 $g$ は $k$ 上では $X-a$ の冪となり、根は一つだけである。$g'\ne0$ なら既約性により $g$ は分離的なので、その次数は一となり $a\in F$ で矛盾する。$g'=0$ なら次数は $p$ の倍数で、正の次数が高々 $p$ なので次数は $p$ である。従って元の多項式が既約となる。
よって $1,a,\ldots,a^{p-1}$ は $F$ 上独立である。$\mathcal B$ の単項式が $k^p$ 上独立であることと合わせると、$\mathcal B\cup\{a\}$ も $p$ 独立となり極大性に反する。従って $F=k$ である。生成性を得たので基底となり、一意性は独立性から従う。$\square$

持上げ性があれば、平方零全射 $P/J^2\to S$ に対する切断 $\tau:S\to P/J^2$ を取れる。$D(a)=a-\tau(\overline a)$ は $M$ に値をもつ $R$ 導分である。積の差の二次項は $M^2=0$ により消え、Leibniz則が成立する。各 $j\in J$ では $D(j)=j$ modulo $J^2$ なので、$D$ の各変数の値から定まる $S$ 線形写像 $\sigma:F\to M$ が $\sigma d=\operatorname{id}_M$ を満たす。
逆に左逆 $\sigma$ があれば、図式 $S\to T/N$ の各変数像を $T$ へ戻して $g:P\to T$ を作る。$g(J)\subset N$、$g(J^2)=0$ なので $h:M\to N$ が定まる。$N$ の $S$ 作用は与えた商写像によって定まり、$h$ は線形である。各変数の値を $h\sigma(dX_t)$ とする $R$ 導分 $D:P\to N$ を作り、$g'=g-D$ とおく。平方零性から $g'$ は積を保存し、$j\in J$ では $g'(j)=0$ である。従って $S$ へ降りる持上げを得る。変数が無限でも一つの多項式は有限台なので、導分もこの計算も定まる。$\square$

前の多項式表示を選ぶ。$0\to J\to P\to S\to0$ を $R/I$ でテンソルすると、$S$ の平坦性から $J/IJ\to P/IP$ が単射になる。従って $J\cap IP=IJ$ である。$S/IS$ の多項式表示の核は $J/IJ$ となり、その関係加群は
$$ J/(IJ+J^2)=M/IM $$
である。変数微分の加群も $F/IF$ となる。前の分裂判定から、$\overline d:M/IM\to F/IF$ に左逆 $\overline\sigma$ がある。
$F$ は $S$ 上自由なので、基底の $\overline\sigma$ 像を $M$ に戻して $S$ 線形写像 $\sigma_0:F\to M$ を作れる。$T=\sigma_0d$ は $M/IM$ 上で恒等写像である。$\Delta=\operatorname{id}_M-T$ は像が $IM$ に入り、線形性と $I^2=0$ から $\Delta^2=0$ となる。従って $T=\operatorname{id}-\Delta$ は逆 $\operatorname{id}+\Delta$ をもち、
$$ \sigma=(\operatorname{id}+\Delta)\sigma_0 $$
は $d$ の左逆になる。分裂判定によって結論を得る。$M$ の有限生成や射影性を使ったのではなく、$F$ の自由性と平方零誤差の有限逆行列式を使っている。$\square$

$n=1$ では $S_1=k$ であり、素体上の任意の体について一精度の持上げを証明した。帰納的に $n$ で成立したとする。$R_{n+1}$ のイデアル $I=(p^n)$ は平方零である。$S_{n+1}$ は有限商の自由基底の補題から $R_{n+1}$ 上自由、従って平坦である。また $S_{n+1}/IS_{n+1}=S_n$、$R_{n+1}/I=R_n$ である。平坦平方零持上げの補題を適用して $n+1$ の結論を得る。これは $C$ 自身が $\mathbb Z_p$ 上離散位相で形式的に滑らかであるという主張ではなく、各有限商についての主張である。$\square$

$n=1$ で $\varphi_1:C/pC=k\to A/\mathfrak m=k$ を恒等写像とする。$\varphi_{n-1}$ が作られたら、商写像を合成して
$$ C/p^nC\longrightarrow C/p^{n-1}C\longrightarrow A/\mathfrak m^{n-1} $$
を得る。$p\in\mathfrak m$ なので $p^n\in\mathfrak m^n$ であり、$A/\mathfrak m^n$ は $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$-代数である。$A/\mathfrak m^n\to A/\mathfrak m^{n-1}$ の核は平方零である。$n\ge2$ なら $2(n-1)\ge n$ だからである。
前の命題によって上の図式を持ち上げる $\varphi_n:C/p^nC\to A/\mathfrak m^n$ が存在する。この写像は $\varphi_{n-1}$ と両立するよう選ばれる。逆極限を取ると
$$ \varphi:C=\varprojlim_nC/p^nC\longrightarrow \varprojlim_nA/\mathfrak m^n=A $$
を得る。各座標で和と積と単位が保存されるので環準同型であり、剰余写像は恒等である。従って $\varphi^{-1}(\mathfrak m)=pC$ となり、局所写像である。以上で、DVRの抽象的な存在とは別に、与えられた環への係数準同型の存在が示された。$\square$

剰余標数が $p$ の局所環では、$p$ と互いに素な整数は剰余で非零となり単元である。従って環の正の標数は必ず $p$ の冪である。整数 $N=p^hu$、$p$ と $u$ が互いに素で $N\cdot1=0$ なら、$u$ は単元なので $p^h\cdot1=0$ になるからである。
$C$ のすべてのイデアルは零または $p$ の冪であり、核もそのいずれかである。標数零なら $p$ の任意の正冪は $A$ で非零だから核は零である。標数 $p^h$ なら $p^h$ は核に入り、$p^{h-1}$ は入らないので核はちょうど $p^hC$ である。
従って像は $C$ または $C/p^hC$ と同型で、Noether完備局所環、極大イデアルは $p\Lambda$、剰余体は $k$ となる。$\Lambda\cap\mathfrak m=p\Lambda$ も、元を $C$ へ戻して剰余が零かどうかを調べれば分かる。すべての $A$ の剰余が $\Lambda$ の像で代表されるので $A=\Lambda+\mathfrak m$ でもある。像の完備性は $p\Lambda$ 進位相でのものであり、部分空間位相との一致はここでは主張しない。$\square$

級数評価は有限次数切断を $A/\mathfrak m^n$ で評価してから逆極限を取る。係数はすでに $A$ に含まれ、$y_i\in\mathfrak m$ なので各切断の評価は両立する。和と積は各精度で有限の計算になるため、環準同型が定まる。
$a\in A$ の剰余を $\lambda_0\in\Lambda$ で戻す。誤差が $\mathfrak m^n$ に入るまで近似できたとする。$\mathfrak m^n$ は次数 $n$ の有限単項式 $p^iy^\alpha$、$i+|\alpha|=n$ で生成される。各係数を剰余で同じ $\Lambda$ の元に替えると、誤差は $\mathfrak m^{n+1}$ に入る。これを繰り返して係数を選ぶ。
固定した $Y^\alpha$ の係数は、各段階から来る $p^i\lambda_{i,\alpha}$ の和となる。$\Lambda$ は $p$ 進完備なので $\sum_i p^i\lambda_{i,\alpha}$ が $\Lambda$ 内で定まる。これらを係数とする形式級数の評価は、各精度で上の近似と同じである。分離性によって極限は $a$ に等しい。$p$ の冪を級数変数へ誤って追加せず、係数環の完備性でまとめたことが重要である。
$C\to\Lambda$ は全射であり、各級数係数を $C$ に戻せば $C[\![Y]\!]\to\Lambda[\![Y]\!]$ も全射となる。従って最後の主張も成立する。$r=0$ なら係数環自身が $A$ 全体を生成する。$\square$