2次形式

1. 存在：上の $A$ について $x^{\top}Ax=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j=\sum_ia_{ii}x_i^2+\sum_{i< j}2a_{ij}x_ix_j=\sum_{i\le j}c_{ij}x_ix_j$ である。一意性：対称行列 $A,B$ がすべての $x$ で $x^{\top}Ax=x^{\top}Bx$ を満たすとする。$C:=A-B$ は対称で $x^{\top}Cx=0$ である。$x=e_i$（標準基底）とすると $c_{ii}=0$、$x=e_i+e_j$（$i\ne j$）とすると $c_{ii}+2c_{ij}+c_{jj}=2c_{ij}=0$ であり、$2\ne0$ なので $c_{ij}=0$ である。よって $A=B$ である。
2. $(Py)^{\top}A(Py)=y^{\top}P^{\top}APy$（行列 の記事の命題「転置と演算の関係」）であり、$(P^{\top}AP)^{\top}=P^{\top}A^{\top}P=P^{\top}AP$ である。$\square$

変数の可逆な 1 次変換を続けて行っても、合成はまた可逆な 1 次変換である（正則行列の積は正則。正則行列 の記事の命題「逆行列と演算」）ので、$q$ を可逆な 1 次変換で平方の重み付き和に直せばよい。$n$ についての数学的帰納法で示す。$n=1$ では $q=c_{11}x_1^2$ で既に平方の形である。$n\ge2$ とし、$n-1$ 変数では正しいとする。$q=0$ なら $P=I_n$ でよいので、$q\ne0$ とする。
場合 1：ある $a_{ii}\ne0$ のとき。変数の番号を入れ替えて（これも可逆な 1 次変換である）$a_{11}\ne0$ としてよい。$q$ のうち $x_1$ を含む項は $a_{11}x_1^2+\sum_{j\ge2}2a_{1j}x_1x_j$ なので
$$ q(x)=a_{11}\Bigl(x_1+\sum_{j\ge2}\frac{a_{1j}}{a_{11}}x_j\Bigr)^2+q'(x_2,\dots,x_n) $$
と書ける。ここで $q'$ は $q$ から右辺第 1 項を引いたもので、$x_1$ を含む項が打ち消し合うので $x_2,\dots,x_n$ だけの 2 次形式である。$z_1:=x_1+\sum_{j\ge2}(a_{1j}/a_{11})x_j$、$z_j:=x_j$（$j\ge2$）は可逆な 1 次変換（逆は $x_1=z_1-\sum_{j\ge2}(a_{1j}/a_{11})z_j$）で、$q=a_{11}z_1^2+q'(z_2,\dots,z_n)$ となる。帰納法の仮定により $z_2,\dots,z_n$ の可逆な 1 次変換で $q'$ を平方の重み付き和にでき、$z_1$ はそのままにすれば全体も可逆である。
場合 2：すべての $a_{ii}=0$ のとき。$q\ne0$ なので $a_{ij}\ne0$（$i< j$）がある。$x_i=u+v$、$x_j=u-v$ とおき、他の変数はそのままにする。これは可逆な 1 次変換（逆は $u=\frac{x_i+x_j}2$、$v=\frac{x_i-x_j}2$。ここで $2\ne0$ を使う）であり、新しい 2 次形式の $u^2$ の係数は、$u=1$、他の新しい変数を $0$ としたときの値、すなわち $x_i=x_j=1$、他を $0$ としたときの $q$ の値 $a_{ii}+2a_{ij}+a_{jj}=2a_{ij}\ne0$ である。よって新しい 2 次形式は場合 1 に帰着する。$\square$

第 1 段：固有値は実数であり、実の固有ベクトルがある。$\lambda\in\mathbb{C}$ を $A$ の固有多項式 $p_A$ の複素数の根とし（代数学の基本定理）、$A$ を複素行列とみて $Av=\lambda v$ となる $v\in\mathbb{C}^n$、$v\ne0$ をとる（固有値 の記事の命題「固有空間と特性方程式」の 2）。$v^*:=\overline{v}^{\top}$ とすると $v^*Av=\lambda\,v^*v$ で、$v^*v=\sum_i|v_i|^2>0$ である。一方、$A$ は実対称なので $\overline{v^*Av}=v^{\top}A\overline{v}=(v^{\top}A\overline{v})^{\top}=\overline{v}^{\top}A^{\top}v=v^*Av$（$1\times1$ 行列は転置で変わらない）であり、$v^*Av$ は実数である。よって $\lambda=v^*Av/v^*v$ は実数である。$\lambda$ が実数なので $\det(\lambda I_n-A)=0$ を実行列の等式とみて、同じ命題により $Au=\lambda u$ となる $u\in\mathbb{R}^n$、$u\ne0$ がとれる。$u$ を長さ $1$ に正規化しておく。
第 2 段：$n$ についての帰納法。$n=1$ では $Q=(1)$ でよい。$n\ge2$ とする。第 1 段の $u$ を、内積空間 の記事の定理「Gram–Schmidtの直交化法」により $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底 $u,w_2,\dots,w_n$ に延長し、これらを列とする行列を $Q_1$ とする。$Q_1$ は直交行列である（正規直交基底 の記事の定理「正規直交基底の取り替えとユニタリ行列」を標準基底に当てはめる）。$B:=Q_1^{\top}AQ_1$ は対称であり（$B^{\top}=Q_1^{\top}A^{\top}Q_1=B$）、$Q_1^{\top}Q_1=I_n$ から $Q_1^{\top}u=e_1$ なので、$B$ の第 1 列は $Be_1=Q_1^{\top}Au=\lambda Q_1^{\top}u=\lambda e_1$ である。$B$ は対称なので第 1 行も $(\lambda,0,\dots,0)$ であり、
$$ B=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&A'\end{pmatrix}\qquad(A'\in M_{n-1}(\mathbb{R})\text{ は対称}) $$
となる。帰納法の仮定により直交行列 $Q'$ で $Q'^{\top}A'Q'$ は対角行列になる。$S:=\begin{pmatrix}1&0\\0&Q'\end{pmatrix}$ は列が正規直交なので直交行列であり、$Q:=Q_1S$ も直交行列である（$(Q_1S)^{\top}(Q_1S)=S^{\top}Q_1^{\top}Q_1S=S^{\top}S=I_n$）。区分けした行列の積により $Q^{\top}AQ=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&Q'^{\top}A'Q'\end{pmatrix}$ は対角行列である。
最後に、$Q^{\top}=Q^{-1}$ なので $Q^{\top}AQ$ は $A$ に相似(行列)であり、固有多項式は等しい（固有値 の記事の命題「固有多項式の相似不変性」）。対角行列 $D=\operatorname{diag}(\lambda_i)$ の固有多項式は $\prod_i(x-\lambda_i)$ なので、$\lambda_i$ は重複を込めた $A$ の固有値である。$AQ=QD$ の第 $i$ 列を比べて $Au_i=\lambda_iu_i$ である。$\square$

$d_i>0$ となる $i$ の個数を $p$、$d'_i>0$ となる $i$ の個数を $p'$ とし、$p>p'$ と仮定して矛盾を導く。$U:=\operatorname{span}\{f_i\mid d_i>0\}$、$W:=\operatorname{span}\{g_i\mid d'_i\le0\}$ とおくと、$\dim U=p$、$\dim W=n-p'$ である。$u=\sum_{d_i>0}y_if_i\in U$ が $0$ でなければ、ある $y_i\ne0$ なので $q(u)=\sum_{d_i>0}d_iy_i^2>0$ である。$w=\sum_{d'_i\le0}y_ig_i\in W$ なら $q(w)=\sum_{d'_i\le0}d'_iy_i^2\le0$ である。基底と次元 の記事の命題「部分空間の和と共通部分の次元」と $\dim(U+W)\le n$ により
$$ \dim(U\cap W)=\dim U+\dim W-\dim(U+W)\ge p+(n-p')-n=p-p'>0 $$
なので、$0$ でない $v\in U\cap W$ がある。すると $q(v)>0$ かつ $q(v)\le0$ となり矛盾する。よって $p\le p'$ であり、2 つの基底の役割を入れ替えて $p'\le p$ を得る。負の係数の個数については $-q$ に同じ議論を使えばよい。
後半は、thm-qf-principal-axis により $x=Qy$（$Q$ の列 $u_1,\dots,u_n$ が基底）で $q=\sum\lambda_iy_i^2$ と対角化され、係数が重複を込めた固有値であることから従う。$\square$

1 ⇔ 2：thm-qf-principal-axis により $x=Qy$ で $x^{\top}Ax=\sum_i\lambda_iy_i^2$ である。$Q$ は正則なので $x\ne0$ と $y\ne0$ は同値である。すべての $\lambda_i>0$ なら $y\ne0$ で右辺は正である。ある $\lambda_i\le0$ なら $y=e_i$ で右辺は $\lambda_i\le0$ である。
1 ⇒ 3：$x=(x',0,\dots,0)$（$x'\in\mathbb{R}^k$）とすると $x^{\top}Ax=x'^{\top}A_kx'$ なので、$A_k$ も正定値である。1 ⇒ 2 を $A_k$ に使うと $A_k$ の固有値はすべて正で、$A_k$ は主軸定理により対角行列に相似なので $\det A_k$ は固有値の積であり（相似な行列の行列式は等しい）、正である。
3 ⇒ 1：$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では $A=(a_{11})$、$a_{11}=\det A_1>0$ である。$n\ge2$ とすると、$A_{n-1}$ は $\det(A_{n-1})_k=\det A_k>0$（$k\le n-1$）を満たすので、帰納法の仮定により正定値である。主軸定理の正規直交基底 $u_1,\dots,u_n$ と固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ をとる。$0$ 以下の固有値が 2 つ以上、たとえば $\lambda_1,\lambda_2\le0$ だとする。$W:=\operatorname{span}\{u_1,u_2\}$（2 次元）の元 $w=c_1u_1+c_2u_2$ では $w^{\top}Aw=\lambda_1c_1^2+\lambda_2c_2^2\le0$ である（$u_i^{\top}Au_j=\lambda_j\delta_{ij}$）。$H:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid x_n=0\}$（$n-1$ 次元）とすると、thm-qf-sylvester の証明と同じく $\dim(W\cap H)\ge2+(n-1)-n=1$ なので、$0$ でない $w\in W\cap H$ がある。ところが $H$ の $0$ でない元 $x=(x',0)$ では $x^{\top}Ax=x'^{\top}A_{n-1}x'>0$ であり、矛盾する。よって $0$ 以下の固有値は高々 1 つである。ちょうど 1 つなら、$\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n$ は正の数と $0$ 以下の数 1 つの積で $0$ 以下となり、$\det A=\det A_n>0$ に反する。よって固有値はすべて正であり、1 ⇔ 2 により $A$ は正定値である。$\square$