有限群による商

1. $\pi$ が開写像であることは 商空間(位相) の命題「軌道空間の開性と有限群の場合の分離性」の 1 である（$G$ が有限であることは使わない）。$V'\subset V$ が開集合のとき、制限写像 $\mathcal{O}_X(\pi^{-1}V)\to\mathcal{O}_X(\pi^{-1}V')$ は $\sigma^\#$ と可換なので不変元を不変元に写し、$\mathcal{O}_Y$ は前層である。$V=\bigcup_iV_i$ を開被覆とし、$s_i\in\mathcal{O}_Y(V_i)$ が重なりで一致するとする。$\pi^{-1}V=\bigcup_i\pi^{-1}V_i$ は開被覆なので、$s_i$ は $s\in\mathcal{O}_X(\pi^{-1}V)$ に一意に貼り合う。$\sigma^\#(s)$ も $\sigma^\#(s)|_{\pi^{-1}V_i}=\sigma^\#(s_i)=s_i$ をみたすので、貼り合わせの一意性から $\sigma^\#(s)=s$ である。よって $s\in\mathcal{O}_Y(V)$ であり、$\mathcal{O}_Y$ は層である。
2. 単射性：$s\in\mathcal{O}_Y(V)$ の $x$ での芽が $0$ とする。$x$ の開近傍 $W\subset\pi^{-1}V$ で $s|_W=0$ となる。$\sigma\in G$ について $\sigma^\#$ は制限と可換なので、$s|_{\sigma^{-1}W}=\sigma^\#(s)|_{\sigma^{-1}W}=\sigma^\#(s|_W)=0$ である。よって $s$ は $W':=\bigcup_{\sigma\in G}\sigma^{-1}W$ 上で $0$ である。$W'=\pi^{-1}(\pi(W))$ であり、$\pi(W)$ は $y$ を含む開集合だから、$s$ の $y$ での芽は $0$ である。
局所性：$s\in\mathcal{O}_Y(V)$ について、$y$ での芽が $\mathcal{O}_{Y,y}$ の単元であることと、$\rho(s_y)=s_x$ が $\mathcal{O}_{X,x}$ の単元であることが同値であることを示す。前者から後者は明らかである。逆に $s_x$ が単元とし、
$$ D:=\{x'\in\pi^{-1}V\mid s_{x'}\text{ は }\mathcal{O}_{X,x'}\text{ の単元}\} $$
とおく。芽が単元なら近傍で逆元をもつので $D$ は開集合である。$\sigma$ は自己同型なので茎の写像 $\sigma^\#_{x'}\colon\mathcal{O}_{X,\sigma(x')}\to\mathcal{O}_{X,x'}$ は同型で、$s_{\sigma(x')}$ を $(\sigma^\#s)_{x'}=s_{x'}$ に写す。よって $D$ は $G$ で安定である。$D$ 上で $s$ の逆元 $t\in\mathcal{O}_X(D)$ が一意に存在し、$\sigma^\#(t)$ も $\sigma^\#(s)=s$ の逆元なので $\sigma^\#(t)=t$ である。$D=\pi^{-1}(\pi(D))$ で $\pi(D)$ は $y$ を含む開集合だから、$t$ は $\mathcal{O}_Y(\pi(D))$ の元で $s|_{\pi(D)}$ の逆元である。
したがって $\mathcal{O}_{Y,y}$ の非単元全体は $\rho^{-1}(\mathfrak{m}_x)$ に一致する。これはイデアルであり、$\rho(1)=1\notin\mathfrak{m}_x$ なので真のイデアルである。非単元全体がイデアルをなす環は局所環なので、$\mathcal{O}_{Y,y}$ は局所環で $\mathfrak{m}_y=\rho^{-1}(\mathfrak{m}_x)$ である。左辺は $x$ によらないので、右辺も軌道上の $x$ の選び方によらない。
3. 2 により $(Y,\mathcal{O}_Y)$ は局所環付き空間であり、$\rho$ は局所準同型なので $\pi$ は局所環付き空間の射である。$G$ 不変性：位相空間の写像として $\pi\circ\sigma=\pi$ である。構造層については、$(\pi\circ\sigma)^\#$ は $s\in\mathcal{O}_Y(V)$ を $\sigma^\#(s)=s$ に写すので $\pi^\#$ と一致する。
普遍性：$f\colon X\to Z$ を $G$ 不変な射とする。$f$ は軌道の上で一定なので、写像 $h\colon Y\to Z$ で $f=h\circ\pi$ となるものがただ 1 つある。$W\subset Z$ が開集合なら $\pi^{-1}(h^{-1}W)=f^{-1}W$ は開集合なので、$h$ は連続である。$f\circ\sigma=f$ の構造層の部分は、$f^\#\colon\mathcal{O}_Z(W)\to\mathcal{O}_X(f^{-1}W)$ の像が $\sigma^\#$ で不変であることを意味する。$f^{-1}W=\pi^{-1}(h^{-1}W)$ だから、$f^\#$ は $h^\#\colon\mathcal{O}_Z(W)\to\mathcal{O}_Y(h^{-1}W)$ を経由し、$f^\#=\pi^\#\circ h^\#$ となる。茎では $\rho\circ h^\#_y=f^\#_x$ であり、$f^\#_x$ は局所準同型だから、$t\in\mathfrak{m}_{h(y)}$ について $h^\#_y(t)\in\rho^{-1}(\mathfrak{m}_x)=\mathfrak{m}_y$ となり、$h^\#_y$ も局所準同型である。一意性：位相空間の写像としての $h$ は $\pi$ の全射性から一意であり、$\pi^\#$ は単射なので $h^\#$ も $f^\#=\pi^\#\circ h^\#$ から一意に決まる。$\square$

1. $a\in A$ について $P_a(T):=\prod_{\sigma\in G}(T-\sigma(a))\in A[T]$ とおく。$\tau\in G$ を係数に作用させると因子が並べ替わるだけなので、$P_a$ の係数は $A^G$ に入る。$P_a$ はモニックで、$\sigma=\mathrm{id}$ の因子から $P_a(a)=0$ である。
2. $\sigma$ は $A^G$ を固定するので、$\sigma(\mathfrak{P})\cap A^G=\sigma(\mathfrak{P}\cap A^G)=\mathfrak{P}\cap A^G$ である。逆に $\mathfrak{p}:=\mathfrak{P}\cap A^G=\mathfrak{Q}\cap A^G$ で、すべての $\sigma$ について $\mathfrak{Q}\neq\sigma(\mathfrak{P})$ と仮定する。各 $\sigma(\mathfrak{P})$ も $\mathfrak{p}$ の上にあるので、$\mathfrak{Q}\subset\sigma(\mathfrak{P})$ なら、1 と 整拡大 の定理「lying over と going up」の 2（incomparability）により $\mathfrak{Q}=\sigma(\mathfrak{P})$ となって矛盾する。よって $\mathfrak{Q}$ は有限個の素イデアル $\sigma(\mathfrak{P})$ のどれにも含まれず、素イデアル回避補題 により、どの $\sigma(\mathfrak{P})$ にも属さない $a\in\mathfrak{Q}$ がある。$N:=\prod_{\sigma\in G}\sigma(a)$ は $G$ で不変であり、$\sigma=\mathrm{id}$ の因子 $a$ を含むので $N\in\mathfrak{Q}\cap A^G=\mathfrak{p}\subset\mathfrak{P}$ である。$\mathfrak{P}$ は素イデアルなので、ある $\sigma$ について $\sigma(a)\in\mathfrak{P}$、すなわち $a\in\sigma^{-1}(\mathfrak{P})$ となり、$a$ の選び方に反する。
3. 全射性は 1 と lying over（同じ定理の 1）による。閉写像であること：$A$ のイデアル $J$ について $\pi(V(J))=V(J\cap A^G)$ を示す。$\subset$ は明らかである。$\mathfrak{p}\supset J\cap A^G$ とすると、$A^G/(J\cap A^G)\to A/J$ は単射であり、$A/J$ はその上で整である（整拡大 の命題「剰余環と局所化で保たれること」）。lying over により $\mathfrak{p}/(J\cap A^G)$ の上にある $A/J$ の素イデアルがあり、その $A$ への逆像は $V(J)$ の点で $\mathfrak{p}$ に写る。連続な閉全射は商写像である（商写像 の命題「連続な開全射と閉全射」）。$q\colon X\to X/G$ を標準射影とすると、2 により $\pi$ は連続な全単射 $h\colon X/G\to\operatorname{Spec}A^G$ で $\pi=h\circ q$ となるものを引き起こす。$U\subset X/G$ が開集合なら $\pi^{-1}(h(U))=q^{-1}(U)$ は開集合なので、$\pi$ が商写像であることから $h(U)$ は開集合である。よって $h$ は同相写像である。
4. $\pi^{-1}(D(f))=D(fA)$ は $\mathfrak{P}\cap A^G\not\ni f\iff f\notin\mathfrak{P}$ による。$(A^G)_f\to(A_f)^G$ は単射である。実際、$a/f^n$（$a\in A^G$）が $A_f$ で $0$ なら $f^ma=0$ となる $m$ が $A$ でとれ、これは $A^G$ の中の等式なので $(A^G)_f$ でも $0$ である。全射性：$a/f^n\in(A_f)^G$ とする。各 $\sigma$ について $\sigma(a)/f^n=a/f^n$ なので $f^{m_\sigma}(\sigma(a)-a)=0$ となる $m_\sigma$ がある。$G$ は有限なので $m:=\max_\sigma m_\sigma$ がとれ、$b:=f^ma$ は $\sigma(b)=f^m\sigma(a)=f^ma=b$ をみたす。よって $a/f^n=b/f^{n+m}$ で $b\in A^G$ である。
5. $\sigma$ は $A^G$ を固定するので $\pi\circ\operatorname{Spec}(\sigma)=\pi$ であり、$\pi$ は $G$ 不変である。thm-qfg-lrs の商を $q\colon X\to X/G$ とすると、普遍性から $\pi=h\circ q$ となる局所環付き空間の射 $h\colon X/G\to\operatorname{Spec}A^G$ が得られる。3 により $h$ は同相写像である。$f\in A^G$ について、$h^\#$ の基本開集合 $D(f)$ 上の成分は、4 の $\pi^{-1}(D(f))=D(fA)$ と $\mathcal{O}_X(D(fA))=A_f$ により、包含 $(A^G)_f\to(A_f)^G$ である。ここで $\operatorname{Spec}(\sigma^{-1})^\#$ は $A_f$ 上の $\sigma^{-1}$ なので、$\mathcal{O}_X(D(fA))$ の不変元は $(A_f)^G$ である。4 によりこれは同型である。茎は点を含む基本開集合の上の切断の帰納極限として計算できるので、$h^\#$ は各点の茎で同型であり、したがって層の同型である。よって $h$ は局所環付き空間の同型である。$\operatorname{Spec}A^G$ はスキームなので、$\pi$ はスキームの圏での商でもある。$\square$

要点：1 は、軌道を含むアフィン開集合の中で素イデアル回避により軌道を含む基本開集合をとり、その $G$ 共役の共通部分をとる（アフィンスキームは分離的なので共通部分はアフィン）。2 は、安定なアフィン開集合の上で thm-qfg-affine を使い貼り合わせる。

要点：1 は周期多項式が定数であること、2 は有限個の閉点の集合が平行移動で安定にならないことと 1 から従い、3 は生成点が固定点であることと 2 による。