弱コンパクト基数

増加列 $(f_\xi)_{\xi<\kappa}$ があったとする。各 $\xi$ について、$f_\xi$ と $f_{\xi+1}$ が初めて異なる位置を $\gamma_\xi<\lambda$ とすると、$f_\xi(\gamma_\xi)=0$、$f_{\xi+1}(\gamma_\xi)=1$ である。$\kappa=\bigcup_{\gamma<\lambda}\{\xi:\gamma_\xi=\gamma\}$ は $\lambda<\kappa$ 個の集合の合併なので、$\kappa$ の正則性から、ある $\gamma$ について $X=\{\xi:\gamma_\xi=\gamma\}$ の濃度は $\kappa$ である。
$X$ 上で $\xi\mapsto f_\xi|_\gamma$ が単射であることを示す。$\xi<\eta$ が $X$ に属し、$f_\xi|_\gamma=f_\eta|_\gamma=s$ だったとする。$f_{\xi+1}$ は位置 $\gamma$ の手前で $f_\xi$ と一致するので $f_{\xi+1}|_\gamma=s$、$f_{\xi+1}(\gamma)=1$ である。一方 $\gamma_\eta=\gamma$ より $f_\eta(\gamma)=0$ である。よって $f_\eta<_{\mathrm{lex}}f_{\xi+1}$ となるが、$\xi+1\leq\eta$ なので $f_{\xi+1}\leq_{\mathrm{lex}}f_\eta$ であり、矛盾する。
したがって $|X|\leq|{}^\gamma2|=2^{|\gamma|}<\kappa$ となり、$|X|=\kappa$ に反する。減少列については $0$ と $1$ の役割を入れ替えれば同じである。$\square$

$\kappa$ を弱コンパクト基数とする。非可算であることは定義に含まれる。
正則性。 $\kappa$ が特異なら ex-wcc-singular の塗り分けによって $\kappa\to(\kappa)^2_2$ が成り立たないので、$\kappa$ は正則である。
強極限性。 $2^\lambda\geq\kappa$ となる基数 $\lambda<\kappa$ があったとし、そのうち最小のものを $\lambda$ とする。$\lambda$ が有限なら $2^\lambda$ も有限なので $\lambda$ は無限であり、$\gamma<\lambda$ なら $|\gamma|<\lambda$ だから、$\lambda$ の最小性より $2^{|\gamma|}<\kappa$ である。$|{}^\lambda2|=2^\lambda\geq\kappa$ なので、相異なる $f_\alpha\in{}^\lambda2$（$\alpha<\kappa$）が取れる。$\alpha<\beta$ に対し、$f_\alpha<_{\mathrm{lex}}f_\beta$ なら $c(\{\alpha,\beta\})=1$、そうでなければ $c(\{\alpha,\beta\})=0$ とする。
大きさ $\kappa$ の単色集合 $H$ を取り、小さい順に $h_\xi$（$\xi<\kappa$）と並べる。色が $1$ なら $(f_{h_\xi})_{\xi<\kappa}$ は辞書式順序で狭義単調増加、色が $0$ なら狭義単調減少である。どちらも lem-wcc-lex に反する。したがってすべての $\lambda<\kappa$ について $2^\lambda<\kappa$ である。$\square$

要点：各段に全順序を一つずつ固定し、元 $x$ を列 $(x|_\alpha)_{\alpha\leq\operatorname{ht}(x)}$ とみて辞書式に比べる。

(1)⇒(2)。 $\kappa$ を弱コンパクト基数とする。到達不能であることは thm-wcc-inaccessible で示した。$T$ を $\kappa$-木とする。$T$ は $\kappa$ 個の段の合併で、各段は空でなく濃度 $\kappa$ 未満なので $|T|=\kappa$ であり、$T=\{t_\xi:\xi<\kappa\}$ と重複なく並べられる。lem-wcc-linear の $\prec$ を取り、$\xi<\eta$ に対して $t_\xi\prec t_\eta$ なら $c(\{\xi,\eta\})=1$、そうでなければ $0$ とする。大きさ $\kappa$ の単色集合 $H$ を取る。色が $0$ のときは $\prec$ の逆順序（これも (I) をもつ）に取り替えればよいので、色は $1$ とする。すなわち、$\xi<\eta$ が $H$ に属すれば $t_\xi\prec t_\eta$ である。
$x\in T$ に対して $H_x=\{\xi\in H:x\leq_Tt_\xi\}$ とおく。
主張：各 $\alpha<\kappa$ について、$|H_x|=\kappa$ となる $x\in T_\alpha$ がただ一つある。
存在：高さ $\alpha$ 未満の元は、濃度 $\kappa$ 未満の段 $\alpha$ 個の合併なので、$\kappa$ の正則性より $\kappa$ 個未満である。よって $\operatorname{ht}(t_\xi)\geq\alpha$ となる $\xi\in H$ が $\kappa$ 個あり、そのそれぞれは $H_{t_\xi|_\alpha}$ に属する。$|T_\alpha|<\kappa$ と $\kappa$ の正則性から、ある $x\in T_\alpha$ について $|H_x|=\kappa$ となる。
一意性：$x\ne y$ が $T_\alpha$ に属し、$|H_x|=|H_y|=\kappa$ だったとする。同じ段の相異なる元なので $x,y$ は比較不能であり、$x\prec y$ としてよい。$H_x$ は $\kappa$ の非有界な部分集合なので、$\xi\in H_y$ と、$\xi<\eta$ となる $\eta\in H_x$ が取れる。単色性より $t_\xi\prec t_\eta$ である。一方 $y\leq_Tt_\xi$、$x\leq_Tt_\eta$ と $x\prec y$ から、(I) により $t_\eta\prec t_\xi$ である。これは矛盾である。
この $x$ を $x_\alpha$ と書く。$\alpha<\beta$ なら $H_{x_\beta}\subseteq H_{x_\beta|_\alpha}$ なので $|H_{x_\beta|_\alpha}|=\kappa$ であり、一意性から $x_\beta|_\alpha=x_\alpha$、すなわち $x_\alpha\leq_Tx_\beta$ である。よって $\{x_\alpha:\alpha<\kappa\}$ は $T$ の共終枝である。
(2)⇒(1)。 $\kappa$ を木性質をもつ到達不能基数とし、$c\colon[\kappa]^2\to\{0,1\}$ を任意に取る。$\alpha<\kappa$ について、定義域が順序数の $\{0,1\}$ 値関数 $t_\alpha$ を $\alpha$ に関する超限帰納法で定める。$t_\alpha$ の値を位置 $\xi=0,1,2,\ldots$ の順に決める。$t_\alpha|_\xi$ まで決まったとき、$t_\gamma=t_\alpha|_\xi$ となる $\gamma<\alpha$ があれば（そのような $\gamma$ は後で示す単射性からただ一つ）$t_\alpha(\xi)=c(\{\gamma,\alpha\})$ とし、なければそこで止めて $t_\alpha$ の定義域を $\xi$ とする。この $\gamma$ を $\gamma_\xi$ と書く。
(a) $t_\alpha$ の定義域 $d_\alpha$ は $\kappa$ 未満である。$\xi< d_\alpha$ ごとに $t_{\gamma_\xi}$ の定義域は $\xi$ なので、$\xi\mapsto\gamma_\xi$ は $d_\alpha$ から $\alpha$ への単射である。よって $|d_\alpha|\leq|\alpha|<\kappa$ である。
(b) $\alpha\mapsto t_\alpha$ は単射である。$\alpha<\beta$ で $t_\alpha=t_\beta$ なら、$\xi=d_\alpha$ において $\gamma=\alpha<\beta$ が $t_\alpha=t_\beta|_\xi$ を満たすので $t_\beta(\xi)$ が定義され、$d_\beta>\xi$ となって矛盾する。
(c) $\xi< d_\alpha$ なら $t_\alpha|_\xi=t_{\gamma_\xi}$ なので、$T=\{t_\alpha:\alpha<\kappa\}$ は始切片をとる操作で閉じている。$T$ を包含（始切片の関係）で順序づけると木になり、第 $\xi$ 段は $T\cap{}^\xi2$ で、その濃度は $2^{|\xi|}<\kappa$ である（強極限性）。(b) より $|T|=\kappa$ である。$T$ の高さ $h$ が $\kappa$ 未満なら、$T$ は濃度 $\kappa$ 未満の段 $h$ 個の合併となり、正則性から $|T|<\kappa$ となって矛盾する。(a) と合わせて $T$ の高さは $\kappa$ であり、$T$ は $\kappa$-木である。
木性質から共終枝 $b$ が取れる。$b$ の元の合併 $B$ は $\kappa$ から $\{0,1\}$ への関数で、各 $\xi<\kappa$ について $B|_\xi\in T$ である。$B|_\xi=t_{\alpha_\xi}$ となる $\alpha_\xi$ を取る。$\xi<\eta$ なら $t_{\alpha_\xi}=t_{\alpha_\eta}|_\xi=t_\gamma$（$\gamma$ は $t_{\alpha_\eta}$ の構成で位置 $\xi$ に現れた $\gamma_\xi<\alpha_\eta$）なので、(b) より $\alpha_\xi=\gamma<\alpha_\eta$ であり、さらに
$$ c(\{\alpha_\xi,\alpha_\eta\})=t_{\alpha_\eta}(\xi)=B(\xi) $$
である。つまり $H=\{\alpha_\xi:\xi<\kappa\}$ の二元の色は、小さいほうの元の添字 $\xi$ だけで決まる。$i=0,1$ について $H_i=\{\alpha_\xi:B(\xi)=i\}$ とおくと、どちらかは濃度 $\kappa$ であり、それは色 $i$ の単色集合である。$\square$

$U$ を $\kappa$ 上の非主 $\kappa$-完備超フィルターとし、$c\colon[\kappa]^2\to\{0,1\}$ を任意に取る。$\alpha<\kappa$ と $i\in\{0,1\}$ について
$$ X^i_\alpha=\{\beta<\kappa:\beta>\alpha,\ c(\{\alpha,\beta\})=i\} $$
とおく。$X^0_\alpha\cup X^1_\alpha=\kappa\setminus(\alpha+1)$ は補集合の濃度が $\kappa$ 未満なので $U$ に属し、超フィルターの性質から $X^0_\alpha,X^1_\alpha$ のちょうど一方が $U$ に属する。その $i$ を $i_\alpha$ とする。同様に、$\{\alpha:i_\alpha=0\}$ と $\{\alpha:i_\alpha=1\}$ の一方が $U$ に属する。それを $Y$、対応する色を $i$ とする。
$h_\xi$（$\xi<\kappa$）を帰納的に定める。$h_\eta$（$\eta<\xi$）が定まったとき、
$$ Z_\xi=Y\cap\bigcap_{\eta<\xi}X^i_{h_\eta} $$
は $U$ の元 $\kappa$ 個未満の共通部分なので $U$ に属し、特に空でない。その最小元を $h_\xi$ とする。$X^i_{h_\eta}$ の元はすべて $h_\eta$ より大きいので、$\eta<\xi$ なら $h_\eta< h_\xi$ である。また $h_\xi\in X^i_{h_\eta}$ なので $c(\{h_\eta,h_\xi\})=i$ である。よって $H=\{h_\xi:\xi<\kappa\}$ は大きさ $\kappa$ の色 $i$ の単色集合である。可測基数は定義により非可算なので、$\kappa$ は弱コンパクトである。$\square$

この証明は、この記事では証明しない thm-wcc-embedding（Git11 Theorem 1.1 (6)）を使う。要点：閉非有界集合 $C$ を含むモデルに thm-wcc-embedding の埋め込み $j$ を当てると、$j(C)\cap\kappa=C$ が $\kappa$ で非有界なので $\kappa\in j(C)$ となる。$\kappa$ の性質を $N$ の中で読むと、$C$ が正則基数（さらに Mahlo 基数）を含むことが $M$ に反射する。

弱コンパクト基数 $\kappa$ の下の Mahlo 基数全体は定常集合なので、特に空でない。Mahlo 基数は到達不能なので、$\kappa$ の下には到達不能基数も Mahlo 基数もある。よって $\kappa$ は最小の到達不能基数でも最小の Mahlo 基数でもない。$\square$