接触多様体

$a(e_0)=1$ となる $e_0$ と $\ker a$ の基底 $e_1,\dots,e_{2n}$ をとり、双対基底を $e^0=a,e^1,\dots,e^{2n}$ とする。$b$ を基底 $e^i\wedge e^j$ で展開し、$e^0$ を含む項をまとめると $b=a\wedge\beta+b'$ と書ける。ここで $b'$ は $e^1,\dots,e^{2n}$ だけで書ける交代形式で、$\ker a$ の上では $b'=b$ である。$a\wedge b^n$ を展開すると $a\wedge\beta$ を因子にもつ項は $a\wedge a=0$ により消えるので、$a\wedge b^n=a\wedge(b')^n$ である。$(b')^n=c\,e^1\wedge\dots\wedge e^{2n}$ と書くと $a\wedge(b')^n=c\,e^0\wedge e^1\wedge\dots\wedge e^{2n}$ なので、$a\wedge b^n\ne0$ は $(b')^n\ne0$ と同値である。$2n$ 次元の空間 $\ker a$ の上の交代形式 $b'$ について、$(b')^n\ne0$ は $b'$ が非退化であることと同値である（シンプレクティック多様体 の定理「線形シンプレクティック形式の標準形」の 3）。$\square$

成分を比べると $\lambda_p(v)=\sum_j(x_jv_{y_j}-y_jv_{x_j})=\langle Jp,v\rangle$ である。$T_pS=p^\perp$ であり、$\langle Jp,p\rangle=-\langle p,Jp\rangle$ より $Jp\in T_pS$、$\alpha_p(Jp)=\lvert p\rvert^2=1$ なので $\alpha$ は至るところ $0$ でなく、$\xi_p=\{v\mid\langle v,p\rangle=\langle v,Jp\rangle=0\}$ である。$v\in\xi_p$ なら $\langle Jv,Jp\rangle=\langle v,p\rangle=0$、$\langle Jv,p\rangle=-\langle v,Jp\rangle=0$ なので $Jv\in\xi_p$ である。

$d\lambda=2\sum_jdx_j\wedge dy_j$ であり、基底で比べると $\sum_jdx_j\wedge dy_j(u,v)=\langle Ju,v\rangle$ である。引き戻しは外微分と可換なので $d\alpha$ は $d\lambda$ の引き戻しであり、$0\ne u\in\xi_p$ について $Ju\in\xi_p$ かつ $d\alpha(u,Ju)=2\langle Ju,Ju\rangle=2\lvert u\rvert^2\ne0$ である。よって $d\alpha_p$ は $\xi_p$ の上で非退化であり、lem-ct-linear により $\alpha$ は接触形式である。$\square$

各点 $p$ で線形写像 $A_p\colon T_pM\to T_p^*M$ を $A_p(v):=\iota_vd\alpha_p+\alpha_p(v)\,\alpha_p$ で定める。$A_p(v)=0$ なら、$v$ に値をとらせて $d\alpha_p(v,v)+\alpha_p(v)^2=\alpha_p(v)^2=0$ となり、$v\in\xi_p$ かつ $\iota_vd\alpha_p=0$ である。とくに $d\alpha_p(v,\cdot)$ は $\xi_p$ の上で $0$ なので、lem-ct-linear の非退化性から $v=0$ である。よって $A_p$ は同型であり、$A$ はベクトル束の滑らかな同型 $TM\to T^*M$ で、局所枠で表した行列の逆行列も滑らかである。

$R:=A^{-1}(\alpha)$ とおく。$\alpha(R)=c$ とすると、$\iota_Rd\alpha=(1-c)\alpha$ に $R$ を入れて $0=(1-c)c$ である。$c=0$ なら $R\in\xi$ かつ $\iota_Rd\alpha=\alpha$ であり、$\xi$ の上では右辺は $0$ なので非退化性から $R=0$、すると $\alpha=A(0)=0$ となり矛盾する。よって $c=1$、$\iota_Rd\alpha=0$ である。逆に 1 の条件をみたす $R'$ は $A(R')=\alpha$ をみたすので、$A$ の単射性から $R'=R$ である。

2：$\iota_vd\alpha_p=0$ なら $A_p(v)=\alpha_p(v)\alpha_p=A_p(\alpha_p(v)R_p)$ なので $v=\alpha_p(v)R_p$ である。$\alpha_p(R_p)=1$ なので $R_p\notin\xi_p$ であり、$\xi_p$ は超平面なので $T_pM=\xi_p\oplus\mathbb{R}R_p$ である。

3：Lie微分 の定理「Cartan の公式」により $\mathcal{L}_R\alpha=d(\iota_R\alpha)+\iota_Rd\alpha=d(1)+0=0$ である。同記事の命題「流れによる不変性と Lie 微分」により $\varphi_t^*\alpha=\alpha$ であり、$d\varphi_t$ は $\ker\alpha$ を $\ker\alpha$ に写す。$\square$

1：$\alpha(X)=\alpha(Y)=0$ なので、外微分の式から $\alpha([X,Y])=-d\alpha(X,Y)$ であり、$p$ で $0$ でない。空でない開集合 $U$ と $p\in U$ をとり、$p$ の近くの $\xi$ の局所枠 $X_1,\dots,X_{2n}$ をとる。lem-ct-linear により $d\alpha_p$ は $\xi_p$ の上で非退化なので（$n\ge1$ に注意）、定数 $a_i,b_i$ で $X:=\sum_ia_iX_i$、$Y:=\sum_ib_iX_i$ が $d\alpha_p(X_p,Y_p)\ne0$ をみたすものがある。$X,Y$ は $\xi$ に値をとるが $[X,Y]_p\notin\xi_p$ なので、$\xi$ は $U$ の上で包合的でない。

2：$q\in N$ のまわりで局所定義形式 $\alpha$ をとり、包含写像を $\iota$ とする。$T N\subset\xi$ なので $\iota^*\alpha=0$ であり、引き戻しと外微分の可換性から $\iota^*d\alpha=d\iota^*\alpha=0$ である。よって $W:=T_qN$ は $2n$ 次元のシンプレクティックベクトル空間 $(\xi_q,d\alpha_q)$ の等方部分空間（$W\subset W^{\omega}$）であり、シンプレクティック多様体 の定理「線形シンプレクティック形式の標準形」の 2 により $2\dim W\le\dim W+\dim W^\omega=2n$ である。$\square$

$\omega=e^t(dt\wedge\alpha+d\alpha)$ は完全形式なので閉じている。$A:=dt\wedge\alpha$、$B:=d\alpha$ は偶数次なので互いに可換で、$A\wedge A=0$ であるから、$(A+B)^{n+1}=B^{n+1}+(n+1)A\wedge B^n$ である。$B^{n+1}$ は $2n+1$ 次元の $M$ の上の $2n+2$ 次形式の引き戻しなので $0$ である。$A\wedge B^n=dt\wedge\alpha\wedge(d\alpha)^n$ は、$M$ の座標 $u$ と $t$ を合わせた座標で $dt$ と $0$ でない $(2n+1)$ 次形式 $\alpha\wedge(d\alpha)^n$ の外積なので $0$ でない。よって $\omega^{n+1}=(n+1)e^{(n+1)t}\,dt\wedge\alpha\wedge(d\alpha)^n\ne0$ であり、シンプレクティック多様体 の定理「線形シンプレクティック形式の標準形」の 3 により $\omega$ は各点で非退化である。

$N$ が Legendre 部分多様体なら、包含写像 $\iota\colon N\to M$ ははめ込みなので $\mathrm{id}\times\iota\colon\mathbb{R}\times N\to\mathbb{R}\times M$ もはめ込みである。$e^t\alpha$ の $\mathbb{R}\times N$ への引き戻しは $0$ なので $\omega$ の引き戻しも $0$ であり、$\dim(\mathbb{R}\times N)=n+1$ は $\dim(\mathbb{R}\times M)=2n+2$ の半分である。よって $\mathrm{id}\times\iota$ は Lagrange はめ込みである。$N$ が部分空間位相をもつ部分多様体なら、$\iota$ は像の上への同相写像なので $\mathrm{id}\times\iota$ もそうであり、$\mathbb{R}\times N$ は部分空間位相をもつ部分多様体（はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の定理「埋め込みの像は部分多様体」）で、Lagrange 部分多様体である。$\square$