局所有限(位相)

1 $\Rightarrow$ 2：$x$ の近傍 $N$ が $A_i$ と交わる添字が有限個なら、$N$ が交わる集合 $A_i$ も有限個である。空でない $S$ について $A_i=S$ となる $i$ が無限個あるとすると、$x\in S$ をとれば、$x$ のどの近傍も $S$ と交わるので無限個の $i$ について $A_i$ と交わり、1 に反する。
2 $\Rightarrow$ 1：$x$ の近傍 $N$ が集まりの成員 $S_1,\dots,S_k$ としか交わらないとする。$N\cap A_i\neq\emptyset$ なら $A_i$ は空でなく、ある $S_j$ に等しい。各 $S_j$ に等しい $A_i$ の添字は有限個なので、$N\cap A_i\neq\emptyset$ となる $i$ は有限個である。$\square$

各点 $x$ について、$\mathcal{A}$（$\mathcal{B}$）の有限個の成員としか交わらない $x$ の近傍を $N_{\mathcal{A}}$（$N_{\mathcal{B}}$）と書く。
1：$N_{\mathcal{A}}$ は部分集まりの有限個の成員としか交わらない。$N_{\mathcal{A}}\cap C_A\neq\emptyset$ なら $N_{\mathcal{A}}\cap A\neq\emptyset$ なので、そのような $A$ は有限個である。
2：$N:=N_{\mathcal{A}}\cap N_{\mathcal{B}}$ は $x$ の近傍である。$N$ が $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$ の成員と交わるのは、$\mathcal{A}$ の有限個と $\mathcal{B}$ の有限個に限る。$N\cap(A\cap B)\neq\emptyset$ なら $N\cap A\neq\emptyset$ かつ $N\cap B\neq\emptyset$ なので、そのような組 $(A,B)$ は有限個である。
3：$y\in Y$ について $N_{\mathcal{A}}\cap Y$ は $Y$ における $y$ の近傍であり、$(N_{\mathcal{A}}\cap Y)\cap(A\cap Y)\neq\emptyset$ なら $N_{\mathcal{A}}\cap A\neq\emptyset$ である。
4：$z\in Z$ について、$f(z)$ の近傍 $N_{\mathcal{A}}$ の逆像 $f^{-1}(N_{\mathcal{A}})$ は $z$ の近傍である（$f$ の連続性）。$f^{-1}(N_{\mathcal{A}})\cap f^{-1}(A)=f^{-1}(N_{\mathcal{A}}\cap A)$ が空でなければ $N_{\mathcal{A}}\cap A\neq\emptyset$ である。
5：$(x,x')\in X\times X'$ について $N_{\mathcal{A}}\times N'_{\mathcal{A}'}$ は近傍であり、$(N_{\mathcal{A}}\times N'_{\mathcal{A}'})\cap(A\times A')=(N_{\mathcal{A}}\cap A)\times(N'_{\mathcal{A}'}\cap A')$ が空でないのは両方の因子が空でないときに限る。そのような組 $(A,A')$ は有限個である。$\square$

$C\subset Y$ を閉集合とし、$C_i:=(f|_{F_i})^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cap F_i$ とおく。$f|_{F_i}$ の連続性により $C_i$ は $F_i$ の閉集合であり、$F_i$ は $X$ の閉集合なので、$C_i$ は $X$ の閉集合である。$C_i\subset F_i$ なので、prop-locfin-operations の 1 により $(C_i)_{i\in I}$ は局所有限な閉集合の族であり、その合併は閉集合である（開被覆の記事の命題「局所有限な族の閉包」）。$X=\bigcup_iF_i$ より
$$ f^{-1}(C)=\bigcup_{i\in I}\bigl(f^{-1}(C)\cap F_i\bigr)=\bigcup_{i\in I}C_i $$
なので $f^{-1}(C)$ は閉集合である。閉集合の逆像が閉集合なので $f$ は連続である（連続写像の記事の命題「閉集合による特徴づけ」）。$\square$

1：局所有限性により、$x$ の開近傍 $W$ で $\operatorname{supp}f_i$ と交わる添字 $i$ が有限個しかないものがある。その有限集合を $J$ とすると、$i\notin J$ と $y\in W$ について $y\notin\operatorname{supp}f_i$ なので $f_i(y)=0$ である。
2：1 により $W$ の上では $s|_W=\sum_{i\in J}f_i|_W$ であり、これは有限個の連続写像の和なので連続である。このような $W$ 全体は $X$ の開被覆をなすので、連続写像の記事の命題「開被覆の貼り合わせ補題」により $s$ は連続である。
3：滑らかさは各点の近傍で判定できる性質であり、$W$ の上で $s$ は有限個の $C^\infty$ 級関数の和である。$\square$

1：各 $x\in K$ について、有限個の成員としか交わらない $x$ の開近傍 $W_x$ をとる。$\{W_x\}_{x\in K}$ は $K$ を覆うので、$K$ のコンパクト性により有限個の $W_{x_1},\dots,W_{x_m}$ が $K$ を覆う。$K$ と交わる成員は $W_{x_1},\dots,W_{x_m}$ のいずれかと交わるので、有限個である。
2（コンパクトな近傍がある場合）：点 $x$ のコンパクトな近傍 $C$ は、仮定により有限個の成員としか交わらないので、$C$ が定義の近傍 $N$ の役をする。
2（第 1 可算の場合）：$\mathcal{A}$ がある点 $x$ で局所有限でないとして矛盾を導く。$x$ の可算な近傍基 $B_1,B_2,\dots$ をとり、$N_k:=B_1\cap\cdots\cap B_k$ とおくと、$N_1\supset N_2\supset\cdots$ は $x$ の近傍基である。各 $N_k$ は無限個の成員と交わるので、$k$ について帰納的に、$A_1,\dots,A_{k-1}$ と異なる成員 $A_k$ と点 $a_k\in N_k\cap A_k$ を選べる（可算回の選択を使う）。$K:=\{x\}\cup\{a_k\mid k\ge1\}$ はコンパクトである。実際、$K$ の開被覆が与えられたとき、$x$ を含む成員 $O$ はある $N_m$ を含み、$k\ge m$ の $a_k$ はすべて $N_k\subset N_m\subset O$ に属するので、$O$ と、$a_1,\dots,a_{m-1}$ をそれぞれ含む有限個の成員が $K$ を覆う。ところが $K$ は互いに異なる無限個の成員 $A_k$ と交わり、仮定に反する。$\square$

CW 複体は Hausdorff である（CW複体の記事の定理「CW 複体は Hausdorff」）。
局所有限 $\Rightarrow$ 局所コンパクト：点 $x$ の近傍 $N$ が胞体 $e_1,\dots,e_k$ としか交わらないとする。$X$ は胞体の互いに交わらない和集合なので $N\subset e_1\cup\cdots\cup e_k\subset C:=\overline{e_1}\cup\cdots\cup\overline{e_k}$ である。各 $\overline{e_j}$ はコンパクトである（CW複体の記事の系「胞体の閉包」）から、有限個の和 $C$ もコンパクトである。$C$ は $x$ の近傍 $N$ を含むので $x$ の近傍であり、$x$ のコンパクトな近傍である。
局所コンパクト $\Rightarrow$ 局所有限：点 $x$ のコンパクトな近傍 $C$ は、CW複体の記事の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」により有限個の胞体としか交わらない。よって $C$ が定義の近傍の役をする。$\square$