Dieudonné加群とBarsotti–Tate群
概要
Dieudonné加群とBarsotti–Tate群（Dieudonné modules and Barsotti–Tate groups）とは、標数 $p$ の完全体 $k$ 上の $p$-可除群（Barsotti–Tate 群）を、Witt環 $W(k)$ 上の有限自由加群と半線形作用素 $F,V$ の組へ移す反変分類理論の対象である。Dieudonné環は $FV=VF=p$ を満たし、有限可換 $p$-群スキームは有限長加群に、Barsotti–Tate群は有限自由加群に対応する。高さ $h$ の群の加群は階数 $h$ の自由加群で、有限レベルは $M(G[p^n])\cong M(G)/p^nM(G)$ で復元される。$\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ では $F$ が、$\mu_{p^\infty}$ では $V$ が全単射である。
前提知識: 群スキーム, Wittベクトル, Frobenius写像, Cartier双対, Dieudonné加群
定義
以下、$p$ を素数、$k$ を標数 $p$ の完全体、$W:=W(k)$ を $p$-Witt 環とする。$W$ は $p$ を素元とする完備離散付値環で、剰余体は $k$ である。$W$ の Frobenius 自己同型を $\sigma$ と書く。この記事では有限可換群スキームと Barsotti–Tate 群を fppf 層として扱い、Dieudonné 加群については反変な規約を採用する（Dieudonné加群 の記事と同じ規約）。共変な規約では $F$ と $V$ の役割が入れ替わるため、文献を比較するときは規約を確認する必要がある。
$S$ をスキームとする。$S$ 上の可換 fppf 群層 $G$ が素数 $p$ に関する Barsotti–Tate 群（Barsotti–Tate group）、または $p$-可除群（$p$-divisible group）であるとは、ある局所定数関数 $h\colon S\to\mathbb Z_{\geq0}$ が存在して次を満たすことをいう。
- $p$ 倍写像 $[p]\colon G\to G$ は fppf 層として全射である。
- 各 $n\geq1$ に対し、$G[p^n]:=\ker([p^n]\colon G\to G)$ は $S$ 上有限局所自由な可換群スキームで、各点 $s\in S$ での階数は $p^{nh(s)}$ である。
- $G$ は $p$ 冪ねじれである。すなわち $G=\bigcup_nG[p^n]$（各切断は fppf 局所的にある $p^n$ で消える）。
この局所定数関数 $h$ を $G$ の高さという。$S$ が非空かつ連結なら高さは一定で、その値も高さと呼ぶ。特に以下の $k$ 上の群では高さは整数である。有限レベル $G[p^n]$ は $G$ の $p^n$-捩れ部分群スキームであり、包含 $G[p^n]\hookrightarrow G[p^{n+1}]$ により
$$G[p]\subset G[p^2]\subset\cdots\subset G$$
という帰納系をなす。しばしば $G$ 自身をこの帰納系 $(G[p^n])_{n\geq1}$ と同一視する。
高さを局所定数関数として扱うこの定義は、Grothendieck が Barsotti–Tate 群と名づけた対象の定義であり（Gro70 §1、p. 431。条件 1 を「$p$-可除」、条件 3 を「$p$-捩れ」と呼んでいる）、高さは同所で「階数」とも呼ばれる。条件 3 は外せない（下の反例「反例：乗法群は $p$ 冪ねじれでない」）。
Dieudonné 環 $D_k$ とは、$W$、記号 $F,V$ から生成され、すべての $a\in W$ に対して
$$FV=VF=p,\qquad Fa=\sigma(a)F,\qquad aV=V\sigma(a)$$
を関係式としてもつ結合的環である（MilAG §13.k、p. 222）。最後の関係式は $Va=\sigma^{-1}(a)V$ と同値である。$\sigma(a)\neq a$ となる $a\in W$ があれば $Fa-aF=(\sigma(a)-a)F$ なので、$k\neq\mathbb F_p$ なら $D_k$ は非可換である。
$k$ 上の Dieudonné 加群（Dieudonné module）とは左 $D_k$-加群のことである。言い換えると、$W$-加群 $M$ と加法写像 $F,V\colon M\to M$ の組であって
$$F(am)=\sigma(a)F(m),\qquad V(am)=\sigma^{-1}(a)V(m),\qquad FV=VF=p$$
を満たすものである。
有限可換 $p$-群スキームに対応するのは $W$-加群として有限長の Dieudonné 加群であり、Barsotti–Tate 群に対応するのは $W$-加群として有限階数自由な Dieudonné 加群である。
直感
標数が $p$ と異なるとき、アーベル多様体の $p$-冪捩れは幾何点上の有限アーベル群としてかなり多くの情報を保つ。しかし標数 $p$ では、$\mu_p$ や $\alpha_p$ のように幾何点が一つしかない非被約群スキームが現れ、点の集合だけでは群スキームを区別できない（群スキーム の命題「標数 $p$ の $\mu_p$ は被約でない」）。Dieudonné 理論は、この見えにくい無限小構造を Witt 環上の半線形代数へ移す。
群スキーム側の二つの基本操作は相対 Frobenius と Verschiebung である。$k$ 上の可換群スキーム $H$ には
$$F_H\colon H\longrightarrow H^{(p)},\qquad V_H\colon H^{(p)}\longrightarrow H$$
があり、合成は両向きとも $p$ 倍写像になる（MilAG Proposition 13.54、p. 219）。有限な $H$ では、$V_H$ は Cartier 双対 $H^D$ の Frobenius を双対化したものとして定義される（同 p. 218）。反変 Dieudonné 関手を施すと、これらは加群側の $F,V$ に移り、$FV=VF=p$ という単純な関係式になる。幾何的対象の列 $G[p],G[p^2],\dots$ は、極限を通して一つの有限自由 $W$-加群へ圧縮される（下の命題「高さと加群の階数」）。
ここで「反変」は重要である。群スキームの射 $G\to H$ は加群の射 $M(H)\to M(G)$ を誘導する。Cartier 双対も $F$ と $V$ を交換するので、エタール部分と乗法型部分が互いに双対であることが線形代数に明瞭に現れる。
群の側の基本性質
$G$ を Barsotti–Tate 群とする。$m,n\ge1$ に対し、fppf 層の列
$$
0\longrightarrow G[p^m]\longrightarrow G[p^{m+n}]\xrightarrow{\ [p^m]\ }G[p^n]\longrightarrow0
$$
は完全である。特に $[p]\colon G[p^{n+1}]\to G[p^n]$ は全射である。
$x\in G[p^{m+n}](T)$ なら $p^n(p^mx)=0$ なので、$[p^m]$ は $G[p^{m+n}]$ を $G[p^n]$ に写す。その核は $p^mx=0$ となる $x$、すなわち $G[p^m]$ であり、包含は単射である。全射性を示す。$y\in G[p^n](T)$ を取る。条件 1 から $[p^m]=[p]^m$ も fppf 層として全射なので、fppf 被覆 $T'\to T$ と $x\in G(T')$ で $p^mx=y|_{T'}$ となるものがある。すると $p^{m+n}x=p^ny=0$ なので $x\in G[p^{m+n}](T')$ であり、$y$ は fppf 局所的に $[p^m]$ の像に入る。$m=1$ とすれば最後の主張を得る。$\square$
この完全列と条件 2 から、各点 $s\in S$ で $G[p^{m+n}]$ の階数 $p^{(m+n)h(s)}$ は $G[p^m]$ と $G[p^n]$ の階数の積になっており、高さ $h$ は各レベルで整合している。Grothendieck は、条件 1 と 3 のもとでは $G[p]$ が有限局所自由であれば各 $G[p^n]$ も有限局所自由になると注意している（Gro70 p. 431）。この記事では証明しない。
有限レベルの分類
Barsotti–Tate 群の分類は、有限レベルの分類から組み立てられる。有限レベルでは次が Dieudonné 理論の主定理である。
$k$ を標数 $p$ の完全体とする。反変 Dieudonné 関手 $H\mapsto M(H)$ は
- $k$ 上の位数が $p$ の冪である有限可換群スキームの圏
- $W(k)$-加群として有限長である左 $D_k$-加群の圏
の間の加法的反同値を与え、$H$ の位数は $p^{\operatorname{length}_WM(H)}$ である。
これは MilAG Theorem 13.61（p. 223）であり、この記事では証明しない。Dieudonné加群 の記事の定理「Dieudonné理論の主定理（有限レベル）」も同じ主張を、Frobenius・Verschiebung との対応とともに述べている。可換代数群の圏はアーベル圏であり（MilAG Theorem 5.41、p. 91）、位数が $p$ の冪である有限可換群スキームはその中で部分・商・拡大で閉じているので、それらの圏もアーベル圏である。アーベル圏の間の反同値は核と余核を入れ替えて保つので、$M$ は完全である。すなわち短完全列 $0\to H'\to H\to H''\to0$ は短完全列 $0\to M(H'')\to M(H)\to M(H')\to0$ に移る。ここで群スキームの短完全列とは、fppf 層として完全な列のことである（忠実平坦な準同型と fppf 層としての全射が同じことは MilAG Proposition 5.15、p. 84）。
位数 $p$ の三つの基本例の Dieudonné 加群は次のとおりである（MilAG p. 223、Dieudonné加群 の命題「位数 $p$ の3つの群スキームのDieudonné加群」）。いずれも台は $k=W/(p)$ で、基底 $e$ 上の作用は
$$
\begin{array}{c|cc}
H&F(e)&V(e)\\ \hline
\underline{\mathbb Z/p\mathbb Z}&e&0\\
\mu_p&0&e\\
\alpha_p&0&0
\end{array}
$$
である。ここで $\alpha_p:=\ker(F\colon\mathbb G_a\to\mathbb G_a)$ は加法群の Frobenius 核である。三者は幾何点だけでは十分に区別できないが、$F,V$ の作用は直ちに区別する。Cartier 双対で互いに移り合う $\underline{\mathbb Z/p\mathbb Z}$ と $\mu_p$（Cartier双対 の命題「定数群の双対は対角化可能群である」）では $F$ と $V$ の役割が入れ替わり、自己双対な $\alpha_p$（同 命題「$\alpha_p$ の自己双対性」）では両方とも $0$ である。$F$ が全単射か冪零か、$V$ が全単射か冪零かでエタール・連結・乗法型・冪単を判定できることは、Dieudonné加群 の命題「エタール・連結・乗法型・冪単の判定」にまとめられている。
Barsotti–Tate 群の分類
$k$ を標数 $p$ の完全体とする。Barsotti–Tate 群 $G$ に $M(G):=\varprojlim_nM(G[p^n])$ を対応させる反変関手は
- $k$ 上の Barsotti–Tate 群の圏
- $W(k)$-加群として有限階数自由な左 $D_k$-加群の圏
の間の反同値を与える。
Grothendieck は、完全体上では古典的な Dieudonné 理論によりこの関手が圏同値になると述べている（Gro70 §3、p. 433）。この記事では反同値そのものは証明しない（Dieudonné加群 の定理「$p$ 可除群の分類」も参照）。以下の命題は、反同値を仮定せずに、有限レベルの分類だけから $M(G)$ が有限階数自由であることと有限レベルとの整合を導く。
$G$ を高さ $h$ の Barsotti–Tate 群とし、$M_n:=M(G[p^n])$ とおく。包含 $\iota_n\colon G[p^n]\hookrightarrow G[p^{n+1}]$ が導く $M(\iota_n)\colon M_{n+1}\to M_n$ について、次が成り立つ。
- $M_n$ は $W/p^nW$ 上階数 $h$ の自由加群である。
- $M(\iota_n)$ は全射で、その核は $p^nM_{n+1}$ である。すなわち $M_{n+1}/p^nM_{n+1}\cong M_n$。
- $M(G)=\varprojlim_nM_n$ は $W$ 上階数 $h$ の自由加群であり、$M(G)/p^nM(G)\cong M(G[p^n])$ が $D_k$-加群として成り立つ。
定理「有限可換 $p$-群スキームの Dieudonné 分類」とその所在の注意にある完全性を使う。$G[p^n]$ の位数は $p^{nh}$ なので、$M_n$ の長さは $nh$ である。また $[p^n]$ は $G[p^n]$ 上で $0$ であり、$M$ は加法的なので $p^n\cdot\operatorname{id}=M([p^n])=0$、すなわち $M_n$ は $p^n$ で消える。
段 1（$M_{n+1}$ の自由性）．$G[p^{n+1}]$ 上の $[p]$ は、命題「有限レベルの完全列」の全射 $\pi\colon G[p^{n+1}]\to G[p^n]$ と包含 $\iota_n$ の合成 $\iota_n\circ\pi$ である。反変で完全な $M$ は、単射 $\iota_n$ を全射 $M(\iota_n)$ に、全射 $\pi$ を単射 $M(\pi)$ に写す。よって $M_{n+1}$ 上の $p$ 倍は $M(\pi)\circ M(\iota_n)$ であり、その像 $pM_{n+1}$ は $M(\pi)(M_n)\cong M_n$ と同型で、長さ $nh$ をもつ。$M_{n+1}$ の長さは $(n+1)h$ だから、$M_{n+1}/pM_{n+1}$ の長さ、すなわち $k$ 上の次元は $h$ である。$W$ は離散付値環なので、有限長加群 $M_{n+1}$ は $\bigoplus_{i=1}^rW/p^{a_i}W$ と分解し、$r=\dim_kM_{n+1}/pM_{n+1}=h$、各 $a_i\le n+1$（$p^{n+1}$ で消える）、$\sum_ia_i=(n+1)h$ である。これらから $a_i=n+1$ がすべての $i$ で成り立ち、$M_{n+1}\cong(W/p^{n+1}W)^h$ となる。$M_1$ についても $\dim_kM_1=h$ で $p$ で消えるので同様である。
段 2（核）．命題「有限レベルの完全列」の完全列 $0\to G[p^n]\xrightarrow{\iota_n}G[p^{n+1}]\xrightarrow{[p^n]}G[p]\to0$ に $M$ を施すと、完全列 $0\to M_1\to M_{n+1}\xrightarrow{M(\iota_n)}M_n\to0$ を得る。特に $M(\iota_n)$ は全射で、核の長さは $h$ である。一方 $M(\iota_n)$ は $W$-線形で $M_n$ は $p^n$ で消えるので、$p^nM_{n+1}\subset\ker M(\iota_n)$ である。段 1 から $p^nM_{n+1}\cong(p^nW/p^{n+1}W)^h$ の長さは $h$ なので、両者は一致する。
段 3（極限）．$M_1$ の基底 $e^{(1)}_1,\ldots,e^{(1)}_h$ を取り、$M_{n+1}$ の元 $e^{(n+1)}_i$ を $M(\iota_n)(e^{(n+1)}_i)=e^{(n)}_i$ となるように順に持ち上げる。$M_{n+1}$ は $(W/p^{n+1})^h$ と同型で、持ち上げは $p M_{n+1}$ を法として $M_{n+1}/pM_{n+1}\cong M_1$ の基底になるから、中山の補題により $M_{n+1}$ を生成する。$h$ 個の元で生成される $(W/p^{n+1})^h$ の生成系は、全射 $(W/p^{n+1})^h\to M_{n+1}$ が長さの等しい加群の間の全射なので同型となり、基底である。こうして得られる整合的な基底の族は同型 $W^h\cong\varprojlim_nM_n$ を与え、$M(G)/p^nM(G)\cong M_n$ となる。$F,V$ は各 $M_n$ 上の作用が $M(\iota_n)$ と可換なので極限に作用し、この同型は $D_k$-加群の同型である。$\square$
命題の 3 から、高さ $h$ の Barsotti–Tate 群の Dieudonné 加群は $W$ 上階数 $h$ の自由加群であり、有限レベルは $M(G[p^n])\cong M(G)/p^nM(G)$ で復元される。したがって、Dieudonné 加群の側で「階数」を読めば、群の側の「高さ」が分かる。
例
定数有限エタール群スキーム $\underline{\mathbb Z/p^n\mathbb Z}$ と、$x\bmod p^n\mapsto px\bmod p^{n+1}$ で与えられる包含からなる帰納系
$$\underline{\mathbb Z/p\mathbb Z}\subset\underline{\mathbb Z/p^2\mathbb Z}\subset\cdots$$
は高さ $1$ の Barsotti–Tate 群であり、$\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ と書く。
抽象群 $\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ 上の $p$ 倍写像は全射である。実際、$x\in\mathbb Q_p$ の類の原像として $x/p$ の類を取れるので、対応する定数 fppf 層上でも $[p]$ は全射である。$[p^n]$ の核はちょうど $p^n$ 個の元をもつ巡回群 $p^{-n}\mathbb Z_p/\mathbb Z_p\cong\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ の定数群スキームであり、これは有限エタール、したがって有限局所自由で階数 $p^n$ である。$\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ の各元はある $p^n$ で消えるので、定数層としても $p$ 冪ねじれである。def-dieudonne-bt-group の条件を $h=1$ で満たすから、高さは $1$ である。$\square$
命題「高さと加群の階数」により $M:=M(\mathbb Q_p/\mathbb Z_p)$ は $W$ 上階数 $1$ の自由加群 $We$ であり、$M/pM\cong M(\underline{\mathbb Z/p\mathbb Z})$ では $F$ が全単射、$V=0$ である。よって $F(e)=ue$ と書くと $u$ の還元は $0$ でなく、$u\in W^\times$ である。$FV=p$ から $V(e)=be$ とおくと $F(be)=\sigma(b)ue=pe$、すなわち $V(e)=p\,\sigma^{-1}(u)^{-1}e$ となる。$F$ は全単射で、$V$ は $p$ 倍と単数倍の合成である。
$k$ が代数閉体なら、任意の $v\in W^\times$ に対し $\sigma(c)=cv$ を満たす $c\in W^\times$ が存在する。
$c$ を $p$ 進的に順に近似する。まず剰余体 $k$ で $\bar c^{\,p}=\bar c\,\bar v$、すなわち $\bar c^{\,p-1}=\bar v$ を満たす $\bar c\in k^\times$ を取る（$k$ は代数閉体）。その持ち上げを $c_0\in W^\times$ とすると $\sigma(c_0)\equiv c_0v\pmod p$ である（$\sigma$ は剰余体上で $p$ 乗写像を誘導する）。
$\sigma(c_n)=c_nv(1+p^{n+1}y)$（$y\in W$）となる $c_n\in W^\times$ があるとき、$c_{n+1}:=c_n(1+p^{n+1}x)$ とおく。すると
$$
\sigma(c_{n+1})=c_nv(1+p^{n+1}y)(1+p^{n+1}\sigma(x)),\qquad c_{n+1}v=c_nv(1+p^{n+1}x)
$$
なので、$\sigma(c_{n+1})\equiv c_{n+1}v\pmod{p^{n+2}}$ となる条件は $y+\sigma(x)\equiv x\pmod p$、すなわち剰余体で $\bar x^{\,p}-\bar x=-\bar y$ である。代数閉体ではこの方程式は解をもつので $x$ を選べる。$c_{n+1}\equiv c_n\pmod{p^{n+1}}$ だから $(c_n)$ は $W$ で収束し、極限 $c\in W^\times$ は $\sigma(c)=cv$ を満たす。$\square$
$k$ が代数閉体なら、この補題で $v=u^{-1}$ とし、基底を $e':=ce$ に取り替えると $F(e')=\sigma(c)ue=ce=e'$ となる。したがって $M(\mathbb Q_p/\mathbb Z_p)\cong We'$、$F(e')=e'$、$V(e')=pe'$ と正規化できる。$F$ が全単射であることは、$\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ がエタールであることの加群側の表れである。
$p^n$ 乗写像の核 $\mu_{p^n}:=\ker([p^n]\colon\mathbb G_m\to\mathbb G_m)=\operatorname{Spec}k[x]/(x^{p^n}-1)$ は階数 $p^n$ の有限局所自由群スキームである。帰納系 $\mu_p\subset\mu_{p^2}\subset\cdots$ の和 $\mu_{p^\infty}$ は高さ $1$ の Barsotti–Tate 群である。実際、$[p]\colon\mu_{p^{n+1}}\to\mu_{p^n}$ の全射性は、fppf 位相の Kummer 完全列（fppf位相 の命題「fppf位相でのKummer完全列」）で $x\in\mu_{p^n}(T)$ を fppf 局所的に $x=y^p$（$y\in\mathbb G_m$）と書くと $y^{p^{n+1}}=1$ となることから従い、$p$ 冪ねじれは定義から明らかである。
上と同じ議論で $M(\mu_{p^\infty})=We$ は階数 $1$ で、$M/pM\cong M(\mu_p)$ では $F=0$、$V$ が全単射なので、$V(e)=we$（$w\in W^\times$）、$F(e)=p\,\sigma(w)^{-1}e$ である。$k$ が代数閉体なら補題「代数閉体上での正規化」で $F(e)=pe$、$V(e)=e$ と正規化できる。各レベルで $\mu_{p^n}$ は $\underline{\mathbb Z/p^n\mathbb Z}$ の Cartier 双対であり（Cartier双対 の命題「定数群の双対は対角化可能群である」）、Dieudonné 加群の側でも $F$ と $V$ の役割が $\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ と入れ替わっている。
$k$ 上の $g$ 次元アーベル多様体 $A$ に対し
$$A[p^\infty]:=\varinjlim_n A[p^n]$$
は高さ $2g$ の Barsotti–Tate 群である（Gro70 §1、p. 432。より一般にアーベルスキームについて述べている）。命題「高さと加群の階数」により、反変 Dieudonné 加群 $M(A[p^\infty])$ は $W$ 上階数 $2g$ の自由加群であり、標数 $p$ における $p$-進 Tate 加群の代替物として働く。楕円曲線（$g=1$）の場合の $F,V$ の形と、通常・超特異の区別は Dieudonné加群 の命題「通常楕円曲線と超特異楕円曲線のDieudonné加群」で扱われる。
完全体上の Barsotti–Tate 群は、連結な部分 $G^0$（無限小の部分）とエタールな商の拡大
$$0\longrightarrow G^0\longrightarrow G\longrightarrow G^{\mathrm{et}}\longrightarrow0$$
になっている（Gro70 §2、p. 432）。$\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ はエタールで、$\mu_{p^\infty}$ は連結である。各有限レベルでは、Dieudonné加群 の命題「エタール・連結・乗法型・冪単の判定」により、エタール部分で $F$ は全単射、連結部分で $F$ は冪零である。射影極限の有限自由 $W$-加群では、連結部分の $F$ は各 $p^n$ 進還元で冪零になるが、作用素そのものは、連結部分が零でない限り冪零ではない。実際、$FV=VF=p$ と $p$ が非零因子であることから $F$ は単射である。
反例
$\alpha_p$ と定数群 $\underline{\mathbb Z/p\mathbb Z}$ は有限可換 $p$-群スキームであり、対応する有限長 Dieudonné 加群もあるが、Barsotti–Tate 群ではない。どちらでも $[p]=0$ なので、自明でない群の上の $p$ 倍写像は全射でない。したがって破れる含意は
$$\text{有限可換 $p$-群スキーム}\Longrightarrow\text{Barsotti–Tate 群}$$
である。正しい関係は、Barsotti–Tate 群の各切断 $G[p^n]$ が有限可換 $p$-群スキームになる、という逆向きの包含である。Dieudonné 加群の側では、$k=W/pW$ は $p$ で消えるので $W$ 上自由でない、という形で同じことが見える。
$G=\mathbb G_m$ は def-dieudonne-bt-group の条件 1 と 2 を $h=1$ で満たすが、条件 3 を満たさず、Barsotti–Tate 群でない。
条件 1：$[p]\colon\mathbb G_m\to\mathbb G_m$ は fppf 層として全射である（fppf位相 の命題「fppf位相でのKummer完全列」）。条件 2：$\mathbb G_m[p^n]=\mu_{p^n}=\operatorname{Spec}k[x]/(x^{p^n}-1)$ は階数 $p^n$ の有限局所自由群スキームである。条件 3：座標 $x\in\mathbb G_m(\operatorname{Spec}k[x,x^{-1}])$ はどの $n$ についても $x^{p^n}\neq1$ であり、fppf 被覆へ引き戻しても（忠実平坦な環準同型は単射なので）$x^{p^n}\neq1$ のままである。よって $x$ はどの $\mathbb G_m[p^n]$ にも fppf 局所的に入らない。$\square$
この反例では $\mathbb G_m$ の $p$ 冪ねじれ部分 $\bigcup_n\mu_{p^n}=\mu_{p^\infty}$ が Barsotti–Tate 群になる。条件 3 を落とすと、「Barsotti–Tate 群は有限レベルの帰納系で決まる」という性質が崩れる。
外した条件ごとにまとめる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $p$ 可除性と全レベルの階数条件（条件 1・2） | $\alpha_p$、$\underline{\mathbb Z/p\mathbb Z}$（条件 3 は満たす） | 有限可換 $p$-群スキームは Barsotti–Tate 群 |
| $p$ 冪ねじれ（条件 3） | $\mathbb G_m$ | $G=\bigcup_nG[p^n]$ で有限レベルから決まる |
| 代数閉性（正規化） | $k=\mathbb F_p$ | 基底の取り替えで $u=1$ にできる |
有限群の例では条件 1 と条件 2 がともに破れるため、条件 1 だけの必要性を示す例ではない。実際、どの $n\geq1$ でも $G[p^n]=G$ の階数は $p$ であり、全レベルで $p^{nh}$ となる固定の整数 $h$ はない。
3 行目では、$k=\mathbb F_p$ だと $W=\mathbb Z_p$、$\sigma=\operatorname{id}$ なので、基底を $e'=ce$ に取り替えても $F(e')=\sigma(c)ue=ue'$ となり、$u$ は変わらない。したがって $u$ は基底によらない量であり、補題「代数閉体上での正規化」の結論は $k=\mathbb F_p$ では一般の単数 $u$ について成り立たない。
関連項目
参考文献
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